中频率和实际频率的关系（快速傅里叶变换）

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一  四个名词：实际物理频率，角频率，圆周频率，归一化频率

$ `+ V4 Y/ c. A
· 实际物理频率表示AD采集物理信号的频率，fs为采样频率，由奈奎斯特采样定理可以知道，fs必须≥信号最高频率的2倍才不会发生信号混叠，因此fs能采样到的信号最高频率为fs/2。
+ e9 F- V3 T5 p8 f; v0 J* I

6 T( `7 r6 j- J  v8 s- f
· 角频率是物理频率的2*pi倍，这个也称模拟频率。（卢注：由于一个信号周期（如交流电）是360度，即2pi。故角频率就是转了多少个2pi。设置角频率纯粹为了便于计算。）3 Z& d7 C, G: `3 a& j$ J% U* V
# i8 ?4 F+ e! x: y8 R+ A
0 L9 c9 @4 i4 L- j" d
· 归一化频率是将实际物理频率按fs归一化之后的结果，最高的信号频率为fs/2对应归一化频率0.5，这也就是为什么在matlab的fdtool工具中归一化频率为什么最大只到0.5的原因。
* b/ k( C3 z/ g# D
* N, u1 R) Z1 B7 |
- x6 |) w% }* c2 G/ n6 j" I· 圆周频率是归一化频率的2*pi倍，这个也称数字频率。也就是归一化的角频率。% G# U$ |7 X7 T5 E( q1 x( H' e9 A
2 V- y8 f* p1 y+ i9 R+ e# ^, G/ _0 t  Q# _- f& P5 S9 D
. d( P" ?+ |* W4 Q' o7 w
二  有关FFT频率与实际物理频率的分析
( J; g- ~/ `4 R8 ^# ]) o  A9 d3 P做n个点的FFT，表示在时域上对原来的信号取了n个点来做频谱分析，n点FFT变换的结果仍为n个点。


. O# q( f( q9 R8 ]换句话说，就是将2pi数字频率w分成n份，而整个数字频率w的范围覆盖了从0-2pi*fs的模拟频率范围。这里的fs是采样频率。而我们通常只关心0-pi中的频谱，因为根据奈科斯特定律，只有f=fs/2范围内的信号才是被采样到的有效信号。那么，在w的范围内，得到的频谱肯定是关于n/2对称的。* S, }( ?& Z, K/ Z8 D3 D( H
7 A% P, q# ~5 l. v" L  ^) E2 q+ N' P4 E% e
5 |& K4 R6 q" U' t- a9 f, Z* ?1 Z
举例说，如果做了16个点的FFT分析，你原来的模拟信号的最高频率f=32kHz，采样频率是64kHz，n的范围是0,1,2...15。（卢注：这意味着已经将原来的模拟信号采样了8遍。）这时，64kHz的模拟频率被分成了16分，每一份是4kHz，这个叫频率分辨率（卢注：做FFT用的点越多，频率分辨率越高）。那么在横坐标中，n=1时对应的f是4kHz, n=2对应的是8kHz, n=15时对应的是60kHz，你的频谱是关于n=8对称的。你只需要关心n=0到7以内的频谱就足够了，因为，原来信号的最高模拟频率是32kHz。
3 [, S6 C$ X0 @  V+ |3 c  z
, A. e, c5 C1 L8 r4 k
% p5 s) S0 X; S2 S& s6 F这里可以有两个结论。


6 P. V# O9 T1 Z8 t· 第一，必须知道原来信号的采样频率fs是多少，才可以知道每个n对应的实际频率是多少，第k个点的实际频率的计算为f(k)=k*(fs/n)

, t" S# R. I9 D) Q/ p# z8 J: T1 c& Q# _
" @  z1 v% R: B* D& |3 D  Z" j· 第二，你64kHz做了16个点FFT之后，因为频率分辨率是4kHz，如果原来的信号在5kHz或者63kHz有分量，你在频谱上是看不见的，这就表示你越想频谱画得逼真，就必须取越多的点数来做FFT，n就越大，你在时域上就必须取更长的信号样本来做分析。但是无论如何，由于离散采样的原理，你不可能完全准确地画出原来连续时间信号的真实频谱，只能无限接近（就是n无限大的时候），这个就叫做频率泄露。在采样频率fs不变得情况下，频率泄漏可以通过取更多的点来改善，也可以通过做FFT前加窗来改善，这就是另外一个话题了。
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; I2 O* N  u2 r0 P
$ F6 X: E1 Y' G5 }0 M5 j' u三 离散信号傅里叶变换的周期性讨论
+ l$ {1 W8 K" Y) J8 p（从下图可以看出：S平面，相当于直角坐标系，它的实轴是复数的实部，虚轴是复数的虚部。在这里可以理解为信号的在此频率下的幅值；Z平面，相当于极坐标系，与Re轴的夹角相当于频率，向量长度相当于幅值。）" x' m( k. i+ t5 a4 |6 ]2 z
, h* D. }1 n  a' t, U要分析这个，我们先从Laplace变换与Z变换之间的关系谈起。5 X8 T4 i% P6 X& h  I& k

由，得z平面与s平面的关系图

7 B8 o+ ^" F3 S. `* w8 o1 A

) ]. c! v  L, i

图中的关系有以下几点：

· s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上$ y3 e. U8 H2 [/ A6 y8 H6 {  J- z
0 D: ~5 X, u% c6 B$ Z# b. e· s平面的负半轴映射到z平面的单位圆内4 Y) \4 B2 c' ~6 u7 ?
+ C4 ^1 A" K6 x+ n· s平面的正半轴映射到z平面的单位圆外0 N$ _. d  `/ J1 g

. _! c8 F& Z  k' ?% f7 S0 D' h& @
& b1 D0 m; x$ D# E! ?2 vLaplace变换是用于连续信号的变换，相对应的z变换是应用到z平面的变换。因此从另一个角度，上面谈到的角频率

（模拟频率）对应的是s平面，圆周频率

对应的是z平面（也是为什么称为圆周频率的原因）。# o- A2 m2 c5 ~: q+ @; Q


) U) c/ n" V" E现在我们来看一下s平面虚轴上模拟频率的变换将会导致z平面单位圆上如何变化：
! m, h5 U$ _2 V) [· 当模拟频率在s平面的虚轴上从0变到fs 时，数字频率在z平面单位圆上从0变到2 pi。. E' M& S5 |7 K6 n/ t
1 G; j& ]. b2 K* N7 m$ H3 R$ `. T; _4 s8 }' Z# G  ~+ f/ M

2 E" {  Q2 h8 _/ a! v! f1 \· 当模拟频率在s平面的虚轴上从2fs变到4fs时，数字频率在z平面单位圆上仍然从0变到2 pi。8 U% x# G- X( ?) ^+ @

9 @- P" y$ N8 E0 m6 n6 M$ a) x+ W
( b& L/ c/ F; ^( n* p! O。。。。。。z平面如此循环重复
, [5 j! ~: D6 z8 q
- f; A. {, A6 t4 z  c8 }$ A. d
我们知道离散信号的傅里叶变换对应到单位圆上的z变换，因此上面的结论就验证了为什么离散信号的傅里叶变换是周期性：根本原因所是单位圆上的周期性。
6 ~. Y( E7 l' n  }, |  c5 a
4 T4 k$ |3 @- J3 X% r8 X/ F2 n% F0 _. J$ b
考虑到我们实际应用中可选择一个周期，这也能够解释：因为实际信号的频率总是在fs/2以下，这就对应到z平面单位圆上的0~pi，在一个周期范围内就可以进行信号分析了。5 d' d- I
+ Y* h$ M1 @; V. m9 O