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FFT是离散傅立叶变换的快速算法,可以将一个信号变换
0 J6 X- \9 _' a; k6 Q到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的,但是如
: F# ]8 U$ w, i. S+ M2 `. c c9 l果变换到频域之后,就很容易看出特征了。这就是很多信号
+ K% M( x5 J* h分析采用FFT变换的原因。另外,FFT可以将一个信号的频谱
" ?; }) \) I9 s; D提取出来,这在频谱分析方面也是经常用的。
3 F% x5 U, Z. f- f 虽然很多人都知道FFT是什么,可以用来做什么,怎么去
3 Q, {$ O4 H$ ^做,但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用
6 L' M# U% t( {! \" I, w) g多少点来做FFT。6 U; M6 M( y5 O; q3 h* c5 t
& H8 X! A, N( f: p) |9 Y9 V2 ?. I3 o 现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。6 v9 Y2 i" P+ o/ C8 Z2 h
一个模拟信号,经过ADC采样之后,就变成了数字信号。采样6 a- l" e& v: q1 X% J& p
定理告诉我们,采样频率要大于信号频率的两倍,这些我就
* v3 x U4 K) Q3 P, @不在此罗嗦了。8 b0 }- ~" A( i$ f7 T2 C3 ^/ E, P7 b
. L/ J. H, A3 [' G( } 采样得到的数字信号,就可以做FFT变换了。N个采样点,2 N2 i+ B! h, P, d/ y
经过FFT之后,就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT
2 W$ P6 t0 V% a% A/ I运算,通常N取2的整数次方。
0 T- F& D! N& P9 j# D5 T( v, r0 \
: P0 D& }$ Q, M% k- K 假设采样频率为Fs,信号频率F,采样点数为N。那么FFT2 R% ?! ?7 {- d& ?
之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率8 r2 P1 j3 Z7 ]. L* ]5 |) t
点。这个点的模值,就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始+ Q6 V5 ?# l- h. R
信号的幅度有什么关系呢?假设原始信号的峰值为A,那么FFT
0 K& u; @; n6 e& ]4 [* f, |的结果的每个点(除了第一个点直流分量之外)的模值就是A( ]6 N! G5 u! R( O5 s1 Q+ G
的N/2倍。而第一个点就是直流分量,它的模值就是直流分量0 U0 H9 \0 e( Y5 t3 }
的N倍。而每个点的相位呢,就是在该频率下的信号的相位。
) D9 m6 }5 b8 z) B0 p( S- D第一个点表示直流分量(即0Hz),而最后一个点N的再下一个, g3 P* I' o/ C8 p1 B2 W
点(实际上这个点是不存在的,这里是假设的第N+1个点,也& K% f( p l8 J$ {! S
可以看做是将第一个点分做两半分,另一半移到最后)则表示( R7 @ {# S* n5 {
采样频率Fs,这中间被N-1个点平均分成N等份,每个点的频率
: u7 K8 S2 m) w) l0 F. ]+ G5 ?依次增加。例如某点n所表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N。
1 T8 A- _3 e3 H" T' P; ~由上面的公式可以看出,Fn所能分辨到频率为为Fs/N,如果
+ t; c0 ?) D0 G# ]! R采样频率Fs为1024Hz,采样点数为1024点,则可以分辨到1Hz。
' x0 P+ p1 J/ \! b9 K: b1024Hz的采样率采样1024点,刚好是1秒,也就是说,采样1秒' }) ^/ d& Y* j5 `- j3 h' h1 A
时间的信号并做FFT,则结果可以分析到1Hz,如果采样2秒时
, b1 p8 `- Q; v7 _+ U间的信号并做FFT,则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率- {# w1 K% \5 k: T4 Q- m
分辨力,则必须增加采样点数,也即采样时间。频率分辨率和
2 _3 H! D1 c8 D! z9 ]& m; F采样时间是倒数关系。
: P, g8 a3 ]" F5 i, u 假设FFT之后某点n用复数a+bi表示,那么这个复数的模就是
" g* C+ H* i2 G- G- ?An=根号a*a+b*b,相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果,, s% L2 N! I+ S. v2 J9 F8 j
就可以计算出n点(n≠1,且n<=N/2)对应的信号的表达式为:
3 {9 F( M& `4 k2 UAn/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn),即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
% O0 R7 Z. c8 f2 s. j对于n=1点的信号,是直流分量,幅度即为A1/N。- E; _6 s, F* \! j* D, M
由于FFT结果的对称性,通常我们只使用前半部分的结果,7 P& K( t, I# { Z1 X/ e
即小于采样频率一半的结果。% }6 q) ^: U* |% b
# j# I0 C6 R" @( K ` 好了,说了半天,看着公式也晕,下面圈圈以一个实际的8 \: k+ h) W2 K& W, o5 L, T* g
信号来做说明。" \/ Q4 g2 }/ C* i& T
) `3 _ V$ m: M: r
假设我们有一个信号,它含有2V的直流分量,频率为50Hz、
0 E% W9 ~3 a" J& R相位为-30度、幅度为3V的交流信号,以及一个频率为75Hz、 r" K5 \$ W! _( m$ v
相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下:# E. ^8 k' `: u! Z6 i2 ~
* o, R; u6 q) vS=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
0 Q4 u# H# |' X3 _
$ k' N3 C& ?& b# L 式中cos参数为弧度,所以-30度和90度要分别换算成弧度。 s$ q+ r: G- T4 X8 Z5 M
我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样,总共采样256点。3 Q) T) x( Z6 u. F: J" R6 l+ W
按照我们上面的分析,Fn=(n-1)*Fs/N,我们可以知道,每两个
8 ` Q0 [9 b$ x @8 J6 [- x点之间的间距就是1Hz,第n个点的频率就是n-1。我们的信号, C( p' K( k( i* T8 y3 c, d
有3个频率:0Hz、50Hz、75Hz,应该分别在第1个点、第51个点、
! E& S+ d6 ?5 s' G0 z第76个点上出现峰值,其它各点应该接近0。实际情况如何呢?
) D7 ^( x7 b# p( s9 N; ] ]我们来看看FFT的结果的模值如图所示。8 D4 v/ \3 O. N, t# c. o$ G
4 s" E( ^% ~8 ^/ K! k
4 ]' O2 _+ S& z9 s
# t, b4 w# q( J J 图1 FFT结果. w9 ^+ j# t z9 t% S
从图中我们可以看到,在第1点、第51点、和第76点附近有& K5 L% h( }+ ~$ [5 S9 s
比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看:
6 T, U' X/ F8 V5 ]' B: ?* F* J1点: 512+0i1 |+ }3 B0 T6 s4 O9 N9 {
2点: -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
8 D" h2 y" [' Q F! m4 Z- y3点: -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
" w9 G9 D4 G0 V) g8 l
8 ` w) j G1 Y& c. J/ ?+ p50点:-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
) l( n( P4 E$ s! j51点:332.55 - 192i
0 I4 M( a, [! ]8 b" K" w) j- ~52点:-1.6707E-12 - 1.5241E-12i8 X- }0 H9 k; V- j
' ^6 E+ g* W* i/ \75点:-2.2199E-13 -1.0076E-12i# V8 ?& t. h# Y t* ^0 _, v9 y3 s, r' |
76点:3.4315E-12 + 192i
& D* D! R4 h" H0 r4 x+ v& U77点:-3.0263E-14 +7.5609E-13i" Q/ `- D9 Z b/ |
' _0 `: Q8 h# v8 T 很明显,1点、51点、76点的值都比较大,它附近的点值, { c; }: ]" m& W. O) C: E
都很小,可以认为是0,即在那些频率点上的信号幅度为0。# z* N4 w7 q, y/ M3 h0 ]
接着,我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值,
: K6 X) g" h+ |) K+ Q结果如下:1 w3 G2 g+ ? a, T
1点: 512
, Z; P1 Q$ s+ c L9 O! y51点:384( R# R1 d6 J9 G8 @' d
76点:192
9 c- C( m' Y- [' R( Q& L8 L! f 按照公式,可以计算出直流分量为:512/N=512/256=2;
. \5 g" F; Z! m" i) z50Hz信号的幅度为:384/(N/2)=384/(256/2)=3;75Hz信号的) l9 n( |( T) Q8 [8 B& D' H& w
幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见,从频谱分析出来
- _) X: D7 B2 n' u O的幅度是正确的。# F- u% K6 f6 {: C! r) m* x
然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言,不用管: R# C# e3 }! L
它。先计算50Hz信号的相位,atan2(-192, 332.55)=-0.5236,. B+ L/ b0 N1 G
结果是弧度,换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
% Z' W3 b% r/ ]计算75Hz信号的相位,atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度,
9 |/ N( _* d3 G2 i. d换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见,相位也是对的。
2 ^4 j" y1 ^- |+ h根据FFT结果以及上面的分析计算,我们就可以写出信号的表达" i% ~* N; s5 |4 H6 ~' V) e
式了,它就是我们开始提供的信号。1 l- z; N5 y7 ?2 F7 q' a$ n
" N6 {- ~$ ], Z% P
总结:假设采样频率为Fs,采样点数为N,做FFT之后,某% [2 f7 `: Y! f6 v! f" p
一点n(n从1开始)表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N;该点的模值
6 ^ E1 V5 J" w A0 g$ U" [3 }+ Z2 N除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度(对于直流信号是除以; n& _7 E: @6 J! l9 L4 b- s" X9 D' c
N);该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算
- U, a1 v" d3 U- Y可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角8 _3 Q/ B! `" | f
度值,范围从-pi到pi。要精确到xHz,则需要采样长度为1/x秒
2 X6 z2 [; M+ m, L- s4 O z9 Q的信号,并做FFT。要提高频率分辨率,就需要增加采样点数,# p( K0 M* O6 |0 F( _& j. `
这在一些实际的应用中是不现实的,需要在较短的时间内完成9 H( Y7 ~4 `/ i$ X$ N, i
分析。解决这个问题的方法有频率细分法,比较简单的方法是6 M1 \8 l( \/ E8 n5 L
采样比较短时间的信号,然后在后面补充一定数量的0,使其长度* ^- u2 S& }# Z7 W1 }2 T1 x$ V
达到需要的点数,再做FFT,这在一定程度上能够提高频率分辨力。
4 M( K8 E0 b- S/ w& ?具体的频率细分法可参考相关文献。# ^+ G1 h0 [' ^/ i A$ Q
2 k; h8 u$ W" a' ]& q$ R4 T3 l
[附录:本测试数据使用的matlab程序]0 {, _+ g. S2 @8 p* i
close all; %先关闭所有图片! n% j4 z. r/ e `
Adc=2; %直流分量幅度
3 Y. c2 u0 c$ ?$ F2 QA1=3; %频率F1信号的幅度8 i r. n* E; N3 m% p
A2=1.5; %频率F2信号的幅度( v, o! d" D& h) G" {3 b5 g+ e
F1=50; %信号1频率(Hz)8 [* s/ G' E& j3 Z- F7 d
F2=75; %信号2频率(Hz)0 \/ Z7 A, D. `% f ^
Fs=256; %采样频率(Hz)3 q% h+ K3 b1 p( k& i6 y( C' Q
P1=-30; %信号1相位(度)+ z- h$ T, ?' W" K
P2=90; %信号相位(度)
0 ^! _- N I" P) x. j, t0 C9 _N=256; %采样点数- m+ {, m, Q! K3 r% u2 ^! J
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻' h/ R/ I$ C8 ~; W* }. ?
) M/ e- J; S) t! A/ t: r4 n%信号
3 r5 ^& i4 V8 K6 f W- N: V' nS=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
1 D2 z/ U; i- f7 M: w0 ^ ~4 o%显示原始信号
/ [ E1 B% w3 aplot(S);
% ?. Z* a* h1 O( k' Wtitle('原始信号');
j/ `, C: J" k0 _+ z% D
1 a4 l8 |+ I) {" W4 b- R' y2 zfigure;5 Z! f5 X5 R6 o; B7 C e
Y = fft(S,N); %做FFT变换/ P& @! s5 b# {
Ayy = (abs(Y)); %取模
2 n! k7 ?; E% v; Q; q X5 i3 }plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果+ Y6 u/ g3 E; _' S6 Y+ V
title('FFT 模值');
7 p6 Z- Y3 K9 W4 \" E' d2 `$ V
- M2 I# Y$ ]5 }& b3 o" t' v% Q" n7 U( Ufigure;
, K9 i1 c/ R% A2 t, g) U8 O6 g! VAyy=Ayy/(N/2); %换算成实际的幅度3 u% b# p+ W3 z6 T
Ayy(1)=Ayy(1)/2;. d+ g; q; k+ {, E5 D0 b
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值 I) \1 `% H! P Y1 k$ G8 e
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %显示换算后的FFT模值结果
, ~' E2 ? J; @0 v( ^% ititle('幅度-频率曲线图');
. Y7 A4 a1 @6 E8 s+ ?- F# \2 A# ~$ C& e: |4 b" X+ F! I0 {7 p
figure;
$ {" q2 n: f4 G' {4 { e* cPyy=[1:N/2];
7 a. _+ N1 S- q3 {; yfor i="1:N/2"
; Z8 A4 Z0 Y5 ~/ a. }, OPyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位0 Y3 f8 P3 `7 N: J4 X! N. a% G! x
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
* y0 h+ Q. e2 ~ z7 W( K3 Mend;
0 d# G! S: Y8 u Dplot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %显示相位图
4 ?# {8 F3 I$ D+ p) wtitle('相位-频率曲线图');
6 d/ ~3 _# n: h& c: c8 t9 ]+ Q0 W! o2 \+ Q- E7 t
看完这个你就明白谐波分析了。) ?0 }7 O n$ A/ Z
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