FFT的详细解释，你看了就明白了

monsterskyy

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换
到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如
' y5 L3 y. `* p# j" y  V8 O8 w( [果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号
分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱
  ]4 a. C+ [8 B; T1 S# L提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
7 I' K" k5 u0 t9 |    虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去
  S' O0 T$ N' w: n  }) n1 m做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用
多少点来做FFT。

- E1 N0 |; ?9 c% H    现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。
: Y7 |; q  T; e3 r" n, S一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样
  S1 c, Y! P, c( e+ X! e定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就
  a* A. Z0 L, ]6 H2 h! Y不在此罗嗦了。

    采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，
经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT
9 B3 \+ t7 Z. N# t2 |4 X运算，通常N取2的整数次方。

    假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT
之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率
+ l& k# L$ J' V" p' F8 e点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始
2 E4 ^% J- D4 E4 Y信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT
的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A
" F; |+ ]8 g  e& Z( l的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量
- e3 f5 d+ y3 A9 U. i* l" q3 A* o的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。
第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个
点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也
可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示
采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率
9 O  i5 S4 [# M) _! y依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果
采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。
* J: }" R8 k( d8 h& @" O4 d5 s1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒
时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时
间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率
* ?$ A; I2 g, @分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和
+ z: \8 P/ Q" b) f8 }" ]' n采样时间是倒数关系。
  假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是
& w( O1 h$ t2 t% H- P: ]# n3 K* ^, eAn=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，
, N2 h! N( ?  m4 w就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：
. L, y# W; [! e) l$ ~An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。
    由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，
即小于采样频率一半的结果。

    好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的
信号来做说明。

    假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、
, O$ `2 ?' b# K; A7 C; |1 Y相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、
相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：
8 U1 i( O  M# B4 ?, I, A
S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
- Q4 E7 j. k8 g& R; V. A
* Z" P. R6 q( B% [  E    式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。
我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。
按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个
+ a3 r( o5 q" E* Z- I7 @0 m4 ]点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号
. d1 m$ c/ A: F/ i有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、
" A2 ^5 N8 c0 m/ h第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？
我们来看看FFT的结果的模值如图所示。

5 W, \. f& \6 {' \

' O, I( i8 y7 @2 s                      图1 FFT结果
    从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有
) B9 }6 D2 w/ w% a2 f* M比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
8 _* I8 d: M" O0 D1 z1点： 512+0i
2 J: o1 L% d: v7 b2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
8 g" W' {2 x3 p) Q% E- X, R7 e3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51点：332.55 - 192i
52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76点：3.4315E-12 + 192i
77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
   
4 ^  c- i2 x% [    很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值
/ k* R2 O; M) C9 F; }5 V  g都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。
接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，
结果如下：
6 @3 \' ^( |- S( L1点： 512
51点：384
' i' a  b/ k9 e' h7 m, w76点：192
: n: Z' x; z" a# z2 x8 @- f    按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；
50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的
幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来
7 F9 M& Y" I9 o# R' X* X# M: t) g的幅度是正确的。
  x; A8 i8 s) D    然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管
! C) f6 X* T4 K& l; Q它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
0 u- |3 b0 A( X) @& N% G3 |结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，
换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。
8 \; @( k' E+ |& n2 j根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达
, h$ g, m4 a7 x- h: j式了，它就是我们开始提供的信号。

8 E+ R' y  m) N! j. ]3 u    总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某
6 n0 }7 D* T4 V* b, c' n一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值
' k* P/ b3 y5 C  D* c" r& I除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以
  f8 e, T" {; `) q" n, g9 {N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算
3 h2 v! ~3 ~! `4 R可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角
8 A: X/ v' F! J* W2 ]& ]度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒
9 _$ j) a3 K- @7 v7 Q9 I) M- U的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，
这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成
分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是
1 B" e+ b: l$ w7 x5 D采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度
7 U; Q. Z! v2 C+ P- V4 Y达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。
0 [# u( W6 U, J* U2 n具体的频率细分法可参考相关文献。

[附录：本测试数据使用的matlab程序]
close all; %先关闭所有图片
Adc=2;  %直流分量幅度
  s. M6 j  R5 b* \* B1 c7 BA1=3;   %频率F1信号的幅度
A2=1.5; %频率F2信号的幅度
& F. K3 ^4 F* ?8 i* FF1=50;  %信号1频率(Hz)
2 @' ?* r( |$ a0 M/ t- {F2=75;  %信号2频率(Hz)
Fs=256; %采样频率(Hz)
P1=-30; %信号1相位(度)
P2=90;  %信号相位(度)
N=256;  %采样点数
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻

%信号
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
$ o/ f  u8 x% ~6 ~* W%显示原始信号
7 h: _9 e# H$ N* t! w% `plot(S);
1 `2 q  y4 q5 [# u. v* atitle('原始信号');

6 X+ m* P$ ?# |$ E8 }$ Rfigure;
& a$ l- T7 B# u$ U* v/ }Y = fft(S,N); %做FFT变换
% S2 @/ N: E" yAyy = (abs(Y)); %取模
/ _; |% ~' H) x4 c, ?plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
7 ^5 X8 o; \8 m4 [4 utitle('FFT 模值');
1 B, \1 N2 _0 `
figure;
2 i/ h. Q0 w0 v& y9 wAyy=Ayy/(N/2);   %换算成实际的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   %显示换算后的FFT模值结果
title('幅度-频率曲线图');
0 Y' @" t+ I. Y. M0 I
' i: O1 k! r; r. Gfigure;
! m0 U" }7 l+ P# ]: q+ ~' JPyy=[1:N/2];
for i="1:N/2"
, q- E2 l; _$ T% `3 x+ o( \Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
, T/ |; D8 j" |" P2 Pend;
8 c0 m0 C+ e* D( @; Q* cplot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   %显示相位图
8 G! w8 i/ w$ S6 m. htitle('相位-频率曲线图');
9 K$ |4 B' Y( @$ x) P, }
( n0 u* Z1 K* z看完这个你就明白谐波分析了。

modengxian111

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域

ninik342

把DSP的精髓FFT讲解的很完整呢~