FFT的详细解释，你看了就明白了

monsterskyy

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换
0 J6 X- \9 _' a; k6 Q到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如
: F# ]8 U$ w, i. S+ M2 `. c  c9 l果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号
+ K% M( x5 J* h分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱
" ?; }) \) I9 s; D提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
3 F% x5 U, Z. f- f    虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去
3 Q, {$ O4 H$ ^做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用
6 L' M# U% t( {! \" I, w) g多少点来做FFT。

& H8 X! A, N( f: p) |9 Y9 V2 ?. I3 o    现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。
一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样
定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就
* v3 x  U4 K) Q3 P, @不在此罗嗦了。

. L/ J. H, A3 [' G( }    采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，
经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT
2 W$ P6 t0 V% a% A/ I运算，通常N取2的整数次方。
0 T- F& D! N& P9 j# D5 T( v, r0 \
: P0 D& }$ Q, M% k- K    假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT
之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率
点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始
信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT
0 K& u; @; n6 e& ]4 [* f, |的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A
的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量
的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。
) D9 m6 }5 b8 z) B0 p( S- D第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个
点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也
可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示
采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率
: u7 K8 S2 m) w) l0 F. ]+ G5 ?依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。
1 T8 A- _3 e3 H" T' P; ~由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果
+ t; c0 ?) D0 G# ]! R采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。
' x0 P+ p1 J/ \! b9 K: b1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒
时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时
, b1 p8 `- Q; v7 _+ U间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率
分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和
2 _3 H! D1 c8 D! z9 ]& m; F采样时间是倒数关系。
: P, g8 a3 ]" F5 i, u  假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是
" g* C+ H* i2 G- G- ?An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，
就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：
3 {9 F( M& `4 k2 UAn/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
% O0 R7 Z. c8 f2 s. j对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。
    由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，
即小于采样频率一半的结果。

# j# I0 C6 R" @( K  `    好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的
信号来做说明。

    假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、
0 E% W9 ~3 a" J& R相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、
相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：

* o, R; u6 q) vS=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
0 Q4 u# H# |' X3 _
$ k' N3 C& ?& b# L    式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。
我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。
按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个
8 `  Q0 [9 b$ x  @8 J6 [- x点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号
有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、
! E& S+ d6 ?5 s' G0 z第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？
) D7 ^( x7 b# p( s9 N; ]  ]我们来看看FFT的结果的模值如图所示。



# t, b4 w# q( J  J                      图1 FFT结果
    从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有
比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
6 T, U' X/ F8 V5 ]' B: ?* F* J1点： 512+0i
2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
8 D" h2 y" [' Q  F! m4 Z- y3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
" w9 G9 D4 G0 V) g8 l
8 `  w) j  G1 Y& c. J/ ?+ p50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
) l( n( P4 E$ s! j51点：332.55 - 192i
0 I4 M( a, [! ]8 b" K" w) j- ~52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

' ^6 E+ g* W* i/ \75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76点：3.4315E-12 + 192i
& D* D! R4 h" H0 r4 x+ v& U77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
   
' _0 `: Q8 h# v8 T    很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值
都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。
接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，
: K6 X) g" h+ |) K+ Q结果如下：
1点： 512
, Z; P1 Q$ s+ c  L9 O! y51点：384
76点：192
9 c- C( m' Y- [' R( Q& L8 L! f    按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；
. \5 g" F; Z! m" i) z50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的
幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来
- _) X: D7 B2 n' u  O的幅度是正确的。
    然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管
它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
% Z' W3 b% r/ ]计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，
9 |/ N( _* d3 G2 i. d换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。
2 ^4 j" y1 ^- |+ h根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达
式了，它就是我们开始提供的信号。

    总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某
一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值
6 ^  E1 V5 J" w  A0 g$ U" [3 }+ Z2 N除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以
N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算
- U, a1 v" d3 U- Y可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角
度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒
2 X6 z2 [; M+ m, L- s4 O  z9 Q的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，
这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成
分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是
采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度
达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。
4 M( K8 E0 b- S/ w& ?具体的频率细分法可参考相关文献。

[附录：本测试数据使用的matlab程序]
close all; %先关闭所有图片
Adc=2;  %直流分量幅度
3 Y. c2 u0 c$ ?$ F2 QA1=3;   %频率F1信号的幅度
A2=1.5; %频率F2信号的幅度
F1=50;  %信号1频率(Hz)
F2=75;  %信号2频率(Hz)
Fs=256; %采样频率(Hz)
P1=-30; %信号1相位(度)
P2=90;  %信号相位(度)
0 ^! _- N  I" P) x. j, t0 C9 _N=256;  %采样点数
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻

) M/ e- J; S) t! A/ t: r4 n%信号
3 r5 ^& i4 V8 K6 f  W- N: V' nS=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
1 D2 z/ U; i- f7 M: w0 ^  ~4 o%显示原始信号
/ [  E1 B% w3 aplot(S);
% ?. Z* a* h1 O( k' Wtitle('原始信号');
  j/ `, C: J" k0 _+ z% D
1 a4 l8 |+ I) {" W4 b- R' y2 zfigure;
Y = fft(S,N); %做FFT变换
Ayy = (abs(Y)); %取模
2 n! k7 ?; E% v; Q; q  X5 i3 }plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
title('FFT 模值');
7 p6 Z- Y3 K9 W4 \" E' d2 `$ V
- M2 I# Y$ ]5 }& b3 o" t' v% Q" n7 U( Ufigure;
, K9 i1 c/ R% A2 t, g) U8 O6 g! VAyy=Ayy/(N/2);   %换算成实际的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   %显示换算后的FFT模值结果
, ~' E2 ?  J; @0 v( ^% ititle('幅度-频率曲线图');
. Y7 A4 a1 @6 E8 s+ ?- F# \2 A# ~$ C
figure;
$ {" q2 n: f4 G' {4 {  e* cPyy=[1:N/2];
7 a. _+ N1 S- q3 {; yfor i="1:N/2"
; Z8 A4 Z0 Y5 ~/ a. }, OPyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
* y0 h+ Q. e2 ~  z7 W( K3 Mend;
0 d# G! S: Y8 u  Dplot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   %显示相位图
4 ?# {8 F3 I$ D+ p) wtitle('相位-频率曲线图');
6 d/ ~3 _# n: h& c: c
看完这个你就明白谐波分析了。

modengxian111

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域

ninik342

1 P8 ^' ~# g, [4 G把DSP的精髓FFT讲解的很完整呢~