FFT的详细解释，你看了就明白了

monsterskyy

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换
1 {; M% b/ L, G, W% O' N7 w3 C到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如
! u2 j8 s0 F+ J" j果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号
* x7 [7 u7 g- B. Z, o6 U* k+ X3 \4 O分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱
/ @: F' S) F7 Z$ O! X! w提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
. C3 S7 e+ o) R9 I( M    虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去
做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用
2 j' F- ~3 \: [& T, F9 _# d多少点来做FFT。
, o: ^; [- b4 y8 r4 ~1 c
    现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。
一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样
定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就
; y; {" ~6 J8 z' N$ L不在此罗嗦了。

    采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，
' r; R5 x7 @% n0 }$ V% \, x经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT
! D  D8 }! P4 B# h" S运算，通常N取2的整数次方。

    假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT
之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率
3 R2 W' t6 i4 x2 _/ [9 [点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始
9 m, \6 K. l5 V# s* E8 h7 V% |信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT
的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A
的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量
的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。
, D/ u$ }. `  l) w; O第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个
2 ]; N! Z* V0 g# b点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也
7 i; g, f; P0 s4 m. S: i7 j可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示
采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率
+ D& j1 u& @  u依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。
- Z: F2 g. s" x7 g$ g由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果
+ w2 z( L. R" W" b( `' n采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。
" t5 n: Q( d. G& Q# d/ T% b0 }" ^1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒
时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时
" x8 A- y* r" v; G# k9 P3 T# ]间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率
分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和
5 I8 f6 `6 |0 q9 ~8 i采样时间是倒数关系。
6 k- {" v% _- J4 u. s: q) M" g  假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是
/ ?! r, Q$ F, m2 B, nAn=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，
就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。
; s# W/ K5 T9 [! Z& h    由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，
即小于采样频率一半的结果。
0 M, n8 w8 }" K7 N
" A: P' h5 W; |) F& w& F    好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的
信号来做说明。
2 {: P! a* W$ `; W- Y( j  x
0 f& H  q+ M( u% T7 P% {1 z    假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、
3 c% F8 ~: w! V& Q+ S+ h: {相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、
& [% y& }  D  w/ l1 _) ^8 @相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：
! y3 A5 v4 h4 K8 P1 C
) P) D& z  d! g! V$ g/ D0 {S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

7 s  H* P/ A- x& N7 u' h    式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。
" J6 J6 E8 {" V# b6 b我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。
( T0 J+ B7 c, @! ^按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个
, D# J- K, v* W5 X点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号
5 R7 W) a4 g1 P( I) Y  z有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、
: W  @( C& d5 S  R; v/ O第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？
. e8 J. r$ O" y& ^5 N我们来看看FFT的结果的模值如图所示。
9 e& A) S3 v  v$ g; H8 k
. q5 l' [5 W/ l) h( A/ k& H& g
6 ~, J, M, u. Y( D7 |, J6 d- H% ?
+ r) c5 u5 }. @; n! x, D                      图1 FFT结果
7 s4 X! Z& @7 V8 v& }0 {    从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有
比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
9 J" F9 H7 U5 Y9 m. G: X1点： 512+0i
8 g% p: |- r4 l' u: r+ y, t; p2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

: _% H" F8 @' k2 f* Q( H50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51点：332.55 - 192i
, l& \% W  }& c" d2 ]52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
0 N2 _: E7 V. `$ ]0 G! j
+ [7 G: F- O0 e9 z/ I; n75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76点：3.4315E-12 + 192i
77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
. W  S3 p9 o: {  q4 k   
    很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值
/ h' a0 p: O; E都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。
接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，
- K' O) }  h& X/ v: z" {, g: d2 d: a结果如下：
5 G; Q( h  u, ?2 d0 |1点： 512
7 V' w4 w3 W4 b7 M3 V7 r) }51点：384
76点：192
    按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；
50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的
! o2 I& ~# O1 g% I幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来
) i5 _  h0 b4 K的幅度是正确的。
    然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管
, X9 [8 a( s/ g. T) M: l/ M它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，
换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。
1 l' W8 Q6 B, j8 M$ X2 O根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达
- i5 }' D/ L5 Q7 I$ R  W, {式了，它就是我们开始提供的信号。
( h' V9 u4 Q6 C) k# V7 w& z
    总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某
: O% v& \% d; }一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值
除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以
/ y5 z; {! l; ~3 l. f, c' LN）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算
可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角
度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒
9 {- M3 n% b) X& u6 h$ R, s3 {的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，
这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成
6 x% d2 |$ f7 r6 Y7 G: z分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是
采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度
7 J4 o( o! r% W9 X+ G, L达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。
5 F2 I5 A# N% R* e$ V+ h  X6 N5 c. s具体的频率细分法可参考相关文献。

[附录：本测试数据使用的matlab程序]
close all; %先关闭所有图片
' u$ G5 W$ M- FAdc=2;  %直流分量幅度
A1=3;   %频率F1信号的幅度
A2=1.5; %频率F2信号的幅度
. }# v, i- a: {- a# A& V+ s, e/ mF1=50;  %信号1频率(Hz)
4 c  k/ w, J# YF2=75;  %信号2频率(Hz)
* r0 m+ l9 ~& J+ q! J; Y' ]Fs=256; %采样频率(Hz)
P1=-30; %信号1相位(度)
$ u. V2 o2 O1 d- lP2=90;  %信号相位(度)
; F7 T2 [1 t  ?' e3 DN=256;  %采样点数
4 H4 I8 F, N; At=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻

%信号
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
5 n0 d, J; s8 L/ C%显示原始信号
2 K7 Y4 ~( S. m! l1 G: tplot(S);
title('原始信号');

5 M: s; D& G/ }2 K+ X+ B7 yfigure;
: R& \. x( y, _2 n, j; RY = fft(S,N); %做FFT变换
& m) c: l7 ~6 V. lAyy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
title('FFT 模值');
+ V. D" b0 s, J5 [
figure;
Ayy=Ayy/(N/2);   %换算成实际的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   %显示换算后的FFT模值结果
& m! L2 l# ~; _+ k  q- q# ititle('幅度-频率曲线图');
# x  L1 A- r5 _+ H
2 V( }9 f4 {" ^, pfigure;
2 F  P0 F& j- ~( i. G/ G1 {Pyy=[1:N/2];
3 h0 G8 `$ q1 b* M; Xfor i="1:N/2"
Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   %显示相位图
, o) y, m3 ^- ^& Vtitle('相位-频率曲线图');
1 h- b: K! _5 i3 |
  u% p7 Z7 ^" W5 H8 ?' @( n看完这个你就明白谐波分析了。
! X5 i5 I, \, E% C. w/ @. B

modengxian111

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域

ninik342

' r8 ^6 H, Y0 o把DSP的精髓FFT讲解的很完整呢~