FFT的详细解释，你看了就明白了

monsterskyy

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换
到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如
& u+ t/ s4 a( z6 a: h果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号
分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱
提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
    虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去
7 N. {$ X/ v* x1 L2 ]# h做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用
; Y+ e1 Q8 Z" P# t0 F4 p9 R1 E多少点来做FFT。
8 y0 b+ j7 i2 Y0 U6 d1 J6 M0 u5 x8 F
    现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。
4 A* e5 o. T+ n! z  Y6 c一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样
% ?4 a& L  ]- p! U6 Z定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就
+ U) a! v; @' B3 ^  R# ]% g; b不在此罗嗦了。
3 N! Q) e0 r5 P1 o
    采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，
经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT
2 K8 g; }# {8 x, m运算，通常N取2的整数次方。
8 k! U3 M! \+ ]: v& x4 s
    假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT
之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率
点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始
0 K( j  l4 y$ [* ?$ F* C) v信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT
+ R" g8 E) Q) E& O' Q: W的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A
; d- O/ o3 Q3 M6 H( ?) h5 D的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量
- ?- B# u' W, S* U7 o+ a2 ~的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。
/ B9 ]1 B' p4 O2 u( G2 {第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个
点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也
可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示
采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率
依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果
采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。
1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒
0 N! T! B( [' V9 ?2 S时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时
间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率
分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和
采样时间是倒数关系。
  假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是
! @- @$ D% F* C  e* [" @- mAn=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，
2 v* D5 b  f; ?* |: `% y& N就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：
- P, p/ H# P3 B8 ZAn/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
5 j: t- g) z- g" S' s- D对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。
    由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，
! z, f! H- r. d0 N- n' w, W, a即小于采样频率一半的结果。

3 g" {; I  ^8 d7 o: h    好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的
( f. d' L" ~' T0 E信号来做说明。

! A' f6 y9 ?$ k7 A$ C    假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、
相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、
; L9 `2 }& R/ `) i相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：

. f# m0 ^' Z! Y4 G( z0 @$ \S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
0 \  Z- P. i4 B& r9 ~
4 z. }% D: `- ^    式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。
我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。
- b" g2 o3 d/ {% N9 d. }1 a# ]按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个
点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号
有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、
第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？
我们来看看FFT的结果的模值如图所示。
9 E4 r. Z" I+ e2 d# s7 J0 p

( Q! t( v3 f+ k
                      图1 FFT结果
  u* P) X6 I& W5 O2 q    从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有
比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
1点： 512+0i
$ W+ \. X# |9 R5 M% O  F2 @2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

$ K- g( V+ I1 c  V( |% M2 e50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51点：332.55 - 192i
52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76点：3.4315E-12 + 192i
$ X' D3 o1 P# n$ x8 p  [6 ~77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
   
    很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值
2 H9 c( q& q5 H. }; [都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。
接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，
8 x/ F5 K- X6 h, T7 k/ P9 w结果如下：
1点： 512
5 m# z3 R' ?6 x0 F5 F2 ^& F# T51点：384
+ o0 h6 G2 [4 F76点：192
8 m1 p, N+ s9 Z: |    按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；
50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的
, q& Y$ ~) c& I( `幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来
的幅度是正确的。
    然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管
它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，
换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。
: X2 l4 t/ I: y$ D根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达
式了，它就是我们开始提供的信号。
' r% q7 {( r9 r3 ]+ K/ C
8 T1 q% ~% O0 A) P  F6 ~5 i    总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某
一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值
2 Q' E+ V  ]$ y9 b: s除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以
N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算
可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角
度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒
的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，
! P* J8 k5 {/ a4 j& D4 s这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成
0 Q. E" L; Y; ~分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是
采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度
) X  v! d1 ^7 J9 g$ ~8 T* ]% L  S达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。
具体的频率细分法可参考相关文献。

9 i5 ^- ]) K0 ]9 _3 p[附录：本测试数据使用的matlab程序]
9 G+ w& Y5 r$ ^3 m( yclose all; %先关闭所有图片
, M0 B* k, t  v. s3 b& G8 r  zAdc=2;  %直流分量幅度
A1=3;   %频率F1信号的幅度
A2=1.5; %频率F2信号的幅度
) A3 `# J* l. S) D) b% AF1=50;  %信号1频率(Hz)
% p3 H8 T* _; c3 sF2=75;  %信号2频率(Hz)
Fs=256; %采样频率(Hz)
P1=-30; %信号1相位(度)
P2=90;  %信号相位(度)
N=256;  %采样点数
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻

2 ^! h$ D& T7 I9 Y6 T& M%信号
. u$ m/ _) Y7 M! N7 pS=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
. k8 A% k/ ]; h% ?0 I3 {! d%显示原始信号
3 V9 {% d8 T& e1 Q% _& Y3 uplot(S);
4 y  O6 n; I/ f+ htitle('原始信号');
, P6 z: e2 W  o4 E7 F$ D+ g- @
; D9 P$ A1 o/ [+ t! L6 Cfigure;
Y = fft(S,N); %做FFT变换
Ayy = (abs(Y)); %取模
  R/ V4 C: G) p7 Pplot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
2 }9 J1 d2 ?9 O0 e7 Z. Xtitle('FFT 模值');

/ i  `' }7 Z5 Pfigure;
& `) f, C9 Z+ K1 v) Q! c! F3 x* }Ayy=Ayy/(N/2);   %换算成实际的幅度
; M7 Y6 U  s; |1 AAyy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   %显示换算后的FFT模值结果
title('幅度-频率曲线图');

figure;
Pyy=[1:N/2];
for i="1:N/2"
- a- X' H" H! o! B  X+ f; ePyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
. R: ?: T- d6 g! N9 hend;
1 W, ^' p, O% X3 l' f8 W! W: Hplot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   %显示相位图
$ f5 N+ k5 b9 k( e, i8 ]9 n" ^' |title('相位-频率曲线图');

1 [7 B2 l1 V. u$ k0 Y& }1 W" |看完这个你就明白谐波分析了。
& P7 G  w4 J7 Y4 w

modengxian111

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域

ninik342

9 B" R: y1 h. x- p& g把DSP的精髓FFT讲解的很完整呢~