matlab矩阵的应用

piday123

$ g) L9 l+ ]8 I  l1、向量组的秩：rank（A）
+ D/ Z& J2 x6 g) c- r6 }' [* e
2、判断线性相关性
  j- x) a, O% }1 t
一般步骤（1）输入向量组

! q+ k0 W! f) A; N9 M                  （2）用A’将行向量转置为列向量
; T: E( c3 q) ^9 A, D; {% ]- k
5 E/ x6 n, k" a) ?) r3 e+ x··                 （3）用rref（A）命令求秩

- i9 n$ o% x% I/ Z, d- o* n例：判断向量组a1=(1 2 0 1), a2=(1 3 0 -1), a3=(-1 -1 1 0)是否线性相关,并求秩。

3 z/ D; u% c( q5 v+ ]. @. H, z>> A=[1 2 0 1;1 3 0-1;-1 -1 1 0]; %输入矩阵

>>A=A’   % 将行向量转置为列向量再求秩
$ W. Y9 }$ u7 o0 u: o3 F
. w4 S0 r/ F! D+ |9 j>>rank(A)   %求秩
) A6 {/ \& v8 l6 q6 `1 f
$ A" c/ n& E: y- E, W5 m3 yAns = 3

  K" @0 {' f$ b（注意：当rank（A）等于向量组个数时，线性无关，否则线性相关）

! n: D3 L# M  r7 E2 F; C& ~4 W& X. U     3、求向量组的极大无关组

     一般步骤：（1）输入向量组，并将其进行转置

                    （2）化为分数形式
5 M* T# y0 ?3 u5 r4 p% j8 R, \$ E2 s
  R5 Y! M; ^% _: _8 y' S                    （3）将向量化为行最简型

3 Z% I9 ~8 D5 o3 b- J: t                   （4）对线性相关性进行判断
6 X( h+ }8 e8 }$ z/ d2 m3 {' J
9 I* h* _. ~% B     注：将矩阵化为行最简型的命令为：rref（A）或者rrefmovie（A）
. }2 w, t5 {1 _  @* ~7 z: R
  例1：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

a1=(2 -1 3 5)，a2=(4 -3 1 3)，a3=(3 -2 3 4)，
5 C3 K+ m4 l! H" c$ p  Q3 J
+ o& v" j* y4 J( N" R! m. Ga4=(4 -1 15 17)，a5=(7 -6 -7 0)
5 s% x. x- R! v0 Q: n5 B8 [
: j$ K1 Q  M1 J) C& F>> A=[2 -1 3 5;4 -3 1 3;3 -2 3 4;4 -1 15 17;7 -6 -7 0];
  _6 z6 G2 f  `9 d6 U/ s( W
' F' E" g) J& S4 z% @% t>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算

>> format rat   %分数格式形式

) t# R$ F! m2 Q>> rref(A)  %将A变换为行最简型
% h3 U( @" F3 q1 {3 k5 O
( Q" y/ ?# U( B+ h$ [7 {# H- X* Dans =
; }/ E6 Y' U7 E5 X. j0 `& J; u
) B/ d4 i* o4 {1 C. j5 Q' S% y& c        1      0    0     2     1

' b+ ?( A) T& P" }8 Z        0      1    0    -3     5

        0      0    1     4    -5
1 s' J2 O( y$ p' j0 G* Y
/ ~. s3 W2 }- ]9 J$ i) Q9 ]        0      0    0     0     0
. b5 Z, C1 i6 p
+ u' {! O: L9 V' X0 J 因为前三行的向量均不全为0，且第1，2，3列的均为1开头，所以a1，a2，a3为一个极大无关组。
$ q( z/ n4 V' \
6 k3 G* j  ^9 ]! L; s) p2 V5 C; q
  ?' f" h& e) n4 X9 V7 n
% w5 T0 T7 l  W3 o. M. A( {) p例2：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
" o6 s  r1 l9 J- I. J4 o' W# Za1=(1,-2,2,3)，a2=(-2,4,-1,3)，a3=(-1,2,0,3)，a4=(0,6,2,3)，a5=(2,-6,3,4)
; O1 q$ J7 n! \$ z% B9 @, D
解：

A=[1,-2,2,3;-2,4,-1,3;-1,2,0,3;0,6,2,3;2,-6,3,4]
6 C8 _8 L* g/ N& a$ r1 V
; Y* Q% C6 z4 ]& P4 T( L>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算

>> format rat   %分数格式形式
9 o  R, i, Z  [" |: Z) E
>> rref(A)  %将A变换为行最简型
. m, J2 B2 N3 d4 H

0 l6 h% [6 Q4 T% J
A1,a2,a4为一个线性无关组，a3，a5可用其其线性表示
0 x( m6 f8 G) O3 z9 a5 k8 i
5 ^5 k; Q5 E, {2 e. l7 j% L9 a, n3、线性方程组的求解
1 v4 X" t( z$ y
         （1）使用克莱姆法则求解
. ]' f4 z3 E# K

6 f; |% U# Y1 [& D8 q
, p, B/ g- c, h1 ]8 }* E. q: @
>> A=[2 1-5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];  %输入系数矩阵

>>D=det(A)  %判断解的情况

D =  27     

( C6 u, \. r" C- h2 l; q>> C1=A;C2=A;C3=A;C4=A;b=[8;9;-5;0];

%将A赋值给不同变量

& X# w  T) t1 p0 S) }. Y- ?>> C1(:,1)=b;D1=det(C1); %将某行替换为系数列
# S/ n" _$ F. t- v$ y
x1=D1/D    %x求解x1

( s$ `: n2 o$ P! L8 h& Fx1 = 3
6 x. v# U6 m: x& u% h
>> C2(:,2)=b;D2=det(C2);x2=D2/D
/ H" d1 l1 e/ c+ a* ^
>> C3(:,3)=b;D3=det(C3);x3=D3/D        

4 p/ X2 v% ~; v5 z4 D6 S9 _) }>> C4(:,4)=b;D4=det(C4);x4=D4/D

（2）使用矩阵左除法求线性方程的解
  A% B5 q4 o! _/ Y1 X! \4 ?5 w" u. W
) u2 A) U$ x1 {  l, y线性方程组AX=B的一个解为X=A\B。

+ r' E3 }2 B7 ~& T. j) [6 Z* k例：利用左除法求解上题中线性方程组的解.

3 _' s" N2 W$ u1 D3 u- l>> A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];

>>rank(A)
4 \9 q# A3 I# h& x7 W" U
! k* x+ z' [" [) u0 L1 {>> b=[8;9;-5;0];
0 j; q9 I% l9 F- m
& r3 R: x' C" l  l+ `" [>> x=A\b        %左除法

$ y: ~# v9 M0 ^/ Q8 G, L& Hx =

% @2 m( j/ t" `9 V: L- Y+ b  F    3.0000

+ U+ G. I4 h0 c1 \1 h   -4.0000

/ y& c, D0 @% Z- }   -1.0000
4 \( ~* n9 p; P2 T# n0 j' ?
9 B* Y1 @/ O3 \" |& `, G$ X4 {    1.0000

(3)利用矩阵的行（列）初等变换求线性方程组的通解

0 `6 j1 W! L! S1 @# f  基本步骤：（1）将线性方程组表示成增广矩阵的形式；

: w  B' O4 C- L5 C（2）对增广矩阵实行初等变换，使增广矩阵转化为行阶梯形矩阵；
% p1 D0 F8 e5 T  s( K
（3）得到方程组的解。
5 u6 s: }) g! u
例：求解线性方程组
% M$ a: \2 F! m; J( L$ W



>>A=[1,1,1,1;0,1,-1,1;2,3,1,3];     %方程组的增广矩阵

>>F=rref(A);    %将方程组增广矩阵化为行阶梯形矩阵
* }; y4 g" [$ F7 o
' S8 W2 ]2 J2 i  Q>>F  %输出增广矩阵的行阶梯形矩阵

$ x% M5 y3 N3 HF =

. S1 t& m& `; N9 N     1     0    2     0
, y, W6 g/ k8 d* f
* R* }7 w1 g& u. [7 V7 T& G/ I- _     0     1   -1     1
2 V! f6 J) e6 e* y& M
     0     0    0     0

; b. N' ^+ {9 n( w9 g' ^: Q# Z由该阶梯形矩阵，可得方程组：x1=-2x3    x2=x3+1
& J, r; k' l6 y# o; K4 @3 B


0 \# T1 A( Z. w$ h; L) K6 x（4）求非齐次线性方程组的通解
) h  t0 h& ]  j  K" Q+ j
) H( }6 F+ K5 }9 N0 l5 p# F非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解。

一般步骤为：

第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步；（R(A)与R(A,b)比较，即比较系数矩阵的秩和增广矩阵的秩）
2 \! c7 [8 b1 [5 c% c/ Z4 }+ Z: p
第二步：求AX=b的一个特解；（矩阵除法）

第三步：求AX=0的通解；（利用null命令）
" L* o# b& K- g$ A+ O
第四步：AX=b的通解：AX=0的通解+AX=b的一个特解。
6 H5 x3 r- e: S7 {1 H7 v
例：判断方程组
, g! \, b. t: n) F, {
% a7 e) ~7 M- v7 j1 H; b%第一步：判断系数矩阵与增广矩阵的秩

>> A=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1];    %系数矩阵A
7 c$ S. p( G: C3 b9 }6 }2 M
; g5 |! ?& y# f; d/ `. w) k>> b=[1;1;-1];    %常数b

>> rank(A)     %系数矩阵的秩

ans =

     2

>> rank([A,b])    %增广矩阵的秩
% F) O* E. L5 e9 ]7 J
) g) k" z8 ]5 q+ Hans =

2 j; ?/ N( F; ~     2

% M& N+ G( k2 @% g%求通解

化行最简形，用rref命令

' D2 f0 Q  }, T: z# @>> rref([A,b])
0 w! \! l$ K7 n, x& c
/ T* U8 h; `0 r  lans =

     1    -1    0     0     0
7 c! o+ i1 D# R+ P- O9 P3 e" g
     0     0    1    -1     1
. z5 {- g/ p( Q* y
     0     0    0     0     0

取x2,x4为自由变量,从而通解为：x1=x2,x3=x4+1

6 t5 m% S( i# l4 G  ~0 M2 {( x* N& x/ o（2）先求出特解及导出组的基础解系, 用命令null，例如：

0 x) P) W$ I" p) z" O: B; a>>x0=A\b       %方程组的一个特解

0 W5 X/ o/ n, v$ |( @) Ux0 =
  G! I& Z. u. g
1 t+ ^4 n" O8 N     0

! H" X9 x! C* D- x, S, {     0
% T0 j0 D7 A1 i+ g. r" F
& j( P: r* v; E6 i/ N     1

     0

9 C6 {, Q, k. Y4 J) }. b>>x1=null(A)    %求导出组的基础解系

' h1 w9 s" A3 c  ex1 =

  -0.7071               0

# \. R! Q; f4 [% O& a$ q& D   -0.7071               0
, U% D: P2 X* Q% D3 K
   -0.0000        0.7071

( {7 h, `% n* j2 r% A+ a) C  -0.0000       0.7071

2 o5 \) Y5 v6 F% Q故原方程组的通解为

4 c* B( A8 x/ }0 l; l. C. U; F$ n(x1,x2,x3,x4)=(0,0,1,0)+c1(-0.7071,-0.7071,0,0)   +c2(0,0, 0.7071, 0.7071),c1,c2为任意常数.
, \! F$ }# F3 V- R
null是用来求齐次线性方程组的基础解系的，加上'r'则求出的是一组最小正整数解，如果不加，则求出的是解空间的规范正交基。(x1=null(A,'r'))
+ W( d4 z" `  L

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matlab矩阵的应用

SsaaM7

非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解

ldezgr

LZ辛苦，学习学习

yesnyes

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