matlab矩阵的应用

piday123

( e* [$ L+ O/ U  a* M1、向量组的秩：rank（A）

2、判断线性相关性

一般步骤（1）输入向量组

# M' L0 U8 }+ i                  （2）用A’将行向量转置为列向量

2 {. [3 T& W2 _7 o6 K) \) O! z··                 （3）用rref（A）命令求秩

例：判断向量组a1=(1 2 0 1), a2=(1 3 0 -1), a3=(-1 -1 1 0)是否线性相关,并求秩。
5 L; @1 r5 F+ e2 R* {, N
0 f5 a/ V) n3 W3 E7 L& Y6 O% o2 c( c>> A=[1 2 0 1;1 3 0-1;-1 -1 1 0]; %输入矩阵
" F# F  d  {1 B5 N# |
>>A=A’   % 将行向量转置为列向量再求秩
- D" U% w  W& H( o. C2 ?, k$ L
5 |; }. S( F6 u- ?2 _1 T>>rank(A)   %求秩
  \9 m* I! F1 z% t) L
! ?" C5 H% q! J, D% ]6 }% n8 oAns = 3
$ X- c1 Q5 R% {) I5 C+ w8 \& {
（注意：当rank（A）等于向量组个数时，线性无关，否则线性相关）
- ~: C1 |% V1 G" P" r
) k; ]5 R# u* ^4 k2 g     3、求向量组的极大无关组

     一般步骤：（1）输入向量组，并将其进行转置
: U7 l6 [) j* h8 p- a6 U! E, u
                    （2）化为分数形式

                    （3）将向量化为行最简型

- P" y9 j, M' ]3 X2 ]                   （4）对线性相关性进行判断

  I, E6 g/ t: F     注：将矩阵化为行最简型的命令为：rref（A）或者rrefmovie（A）
( E) w1 ]# `/ w, j# l6 m9 _% P
: z, ^! [! W! ]; f6 i6 t7 P$ E# i  例1：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
% m8 c: p1 r% g' k6 T
a1=(2 -1 3 5)，a2=(4 -3 1 3)，a3=(3 -2 3 4)，
% \+ E/ e4 l, F; v: l2 I
a4=(4 -1 15 17)，a5=(7 -6 -7 0)
( x, h3 N0 r8 c* g) p
4 f4 }/ I7 v, v+ V3 c>> A=[2 -1 3 5;4 -3 1 3;3 -2 3 4;4 -1 15 17;7 -6 -7 0];

>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算
# L( R2 E+ m0 ~# G
>> format rat   %分数格式形式

>> rref(A)  %将A变换为行最简型
/ O7 }9 ^3 t' z) Y* s4 L$ r+ k/ q
* U, Z% b* a  {' Yans =
% x7 c1 C# X6 W# P3 U
        1      0    0     2     1
# R3 ], }1 u, T0 E: f/ u  O- C3 ^
- _  ]  b2 m" O* d8 z        0      1    0    -3     5
/ b3 i( i  v) F
3 |  Z. F% j1 R+ T        0      0    1     4    -5
% v- n% A0 S# l" Z. z6 K
        0      0    0     0     0

因为前三行的向量均不全为0，且第1，2，3列的均为1开头，所以a1，a2，a3为一个极大无关组。

/ Z6 O' G- B! D3 q3 z) z* b3 o

例2：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
& J& R7 Y* I9 }# \a1=(1,-2,2,3)，a2=(-2,4,-1,3)，a3=(-1,2,0,3)，a4=(0,6,2,3)，a5=(2,-6,3,4)
( k. I0 H; J* h$ p/ L: {( n
解：

A=[1,-2,2,3;-2,4,-1,3;-1,2,0,3;0,6,2,3;2,-6,3,4]

>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算
6 A$ s8 a3 `" V
>> format rat   %分数格式形式

>> rref(A)  %将A变换为行最简型
2 T# h3 q5 z$ Z1 {8 I  P
+ x; l1 a) s- M& @1 U: V8 Q
* {/ O) L; U5 G) C
: k  N6 p2 v( ?, Y) z8 |0 jA1,a2,a4为一个线性无关组，a3，a5可用其其线性表示
+ R0 f/ a/ B: L: f: r
3、线性方程组的求解
& g/ p6 W  {& L/ j
& h: J& K- i9 C; |         （1）使用克莱姆法则求解
4 b' M6 f, `* v6 e) u$ m  d
/ u: m# [7 V9 q" o& a8 g5 z9 G" i
6 B  d7 B; c' U. j( I1 H

- E4 w- q4 P& z) E" m$ @>> A=[2 1-5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];  %输入系数矩阵

>>D=det(A)  %判断解的情况

1 ~+ M4 a! O. i7 v0 B8 o3 {D =  27     
2 D2 ~: x( f, A" ]
>> C1=A;C2=A;C3=A;C4=A;b=[8;9;-5;0];

. r! T$ y$ Y  W%将A赋值给不同变量
; b* Q( i$ f" A0 _: X6 C( s
4 ~! ^# O( ?4 {- n6 O>> C1(:,1)=b;D1=det(C1); %将某行替换为系数列

x1=D1/D    %x求解x1
% F/ q. `4 f; _
% R0 @! A% b- s5 Ex1 = 3

>> C2(:,2)=b;D2=det(C2);x2=D2/D
: z6 @! B- L( Q3 W8 ?3 z
>> C3(:,3)=b;D3=det(C3);x3=D3/D        

* s  q0 p# k& Z6 k- \/ l+ Z3 p  l- W>> C4(:,4)=b;D4=det(C4);x4=D4/D

7 |  {5 B6 O. \0 h9 M（2）使用矩阵左除法求线性方程的解

线性方程组AX=B的一个解为X=A\B。
; K/ o) s( P! J. v* S
5 K5 V) B) @7 g  D7 o4 O9 t% A- R* ~例：利用左除法求解上题中线性方程组的解.

) g, c9 s- N5 A& o>> A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];

; j# c0 j% b" h" ^7 W>>rank(A)

>> b=[8;9;-5;0];

7 u4 V- A. |+ l0 @/ n>> x=A\b        %左除法
' t  }- O. _! z: C0 Q3 n
x =
) K( m2 n$ }; I
) R: E/ d6 L; E    3.0000

   -4.0000

   -1.0000
$ l( c* e/ `+ m! U3 O0 W" p+ @
    1.0000
, t9 y( \- ~; Z
& X% S. x, R7 `" q- r6 c(3)利用矩阵的行（列）初等变换求线性方程组的通解
  X7 r, B) u' j4 U; G/ u& G
% u3 d6 H4 Y/ ]! Z  基本步骤：（1）将线性方程组表示成增广矩阵的形式；

  q! `: _& @0 ?/ b) Y（2）对增广矩阵实行初等变换，使增广矩阵转化为行阶梯形矩阵；

; ~7 D# d% `5 N（3）得到方程组的解。

例：求解线性方程组


1 o5 B. c# D5 ~4 R

>>A=[1,1,1,1;0,1,-1,1;2,3,1,3];     %方程组的增广矩阵

>>F=rref(A);    %将方程组增广矩阵化为行阶梯形矩阵
/ h+ F' {) K' K  a" \5 H) Z/ s
>>F  %输出增广矩阵的行阶梯形矩阵

F =
5 E9 L8 k- t; T6 V
     1     0    2     0
* n- P! a( c6 f/ i
  Z- Z% P" e6 s3 S8 R     0     1   -1     1

+ E0 o0 x0 ^1 n+ m     0     0    0     0
9 w: W6 H$ I* Q- t4 q
由该阶梯形矩阵，可得方程组：x1=-2x3    x2=x3+1



（4）求非齐次线性方程组的通解

! X  }5 b$ g7 y5 B  O非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解。

" L3 H7 J, l6 P( m- \  C% E一般步骤为：
! U5 U! N* J5 c7 x  W- c, l
( z) n( V' a$ y; a& Z第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步；（R(A)与R(A,b)比较，即比较系数矩阵的秩和增广矩阵的秩）

$ M( N$ T  ]2 a' o  u! R7 ~7 ?第二步：求AX=b的一个特解；（矩阵除法）
; F: D6 [- d. y) G( Z
) m" q/ u* @; Z$ t第三步：求AX=0的通解；（利用null命令）

第四步：AX=b的通解：AX=0的通解+AX=b的一个特解。

例：判断方程组
3 X% @4 |  R6 ]$ D. i9 R4 c( `
%第一步：判断系数矩阵与增广矩阵的秩
1 P6 n4 ?8 o7 g
  X7 _  C( ]6 q; Y>> A=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1];    %系数矩阵A

% i# G3 P& Z9 D1 J2 `6 G>> b=[1;1;-1];    %常数b
  _, x% |5 e  r" I1 P# l
>> rank(A)     %系数矩阵的秩
4 X  Y+ ?" ]/ }
ans =

+ {9 v& w6 v7 V4 V. F- J  s+ j) A     2
& t4 R: [7 Z; I0 m% C1 w
>> rank([A,b])    %增广矩阵的秩
/ ~; ?. o9 Q0 h1 [$ W! B5 W2 c
ans =
& ~4 D0 a2 p( Q+ a! W# P- h
) d, _# `: N) T     2

6 S: v8 p  V0 X3 n9 i; L5 r+ f2 \%求通解

; s2 s$ s8 O; }' j化行最简形，用rref命令

>> rref([A,b])
2 ]( _* A- ^/ ?. \9 l
ans =

     1    -1    0     0     0

8 w4 [( O) r7 p     0     0    1    -1     1
4 b$ V7 p: ^# v' J7 j
     0     0    0     0     0

取x2,x4为自由变量,从而通解为：x1=x2,x3=x4+1

（2）先求出特解及导出组的基础解系, 用命令null，例如：

>>x0=A\b       %方程组的一个特解

4 q  H3 J. m! T5 p% ?5 o; a3 bx0 =

     0
: b5 p. W, V6 V3 L1 S
( Q1 `8 A- G0 }0 X! [0 v     0

     1

     0

>>x1=null(A)    %求导出组的基础解系
0 f/ c# m# g: i* ^  B
x1 =
; ?& K1 t5 q; n/ m( O! {6 L: B
  -0.7071               0

% d6 C5 H9 n9 v7 D2 }! Z   -0.7071               0
- e9 p& _6 B% T" U' ]8 A; ]6 Z
   -0.0000        0.7071
- F4 P) w* @$ Q! h+ f' a3 o1 Y* c& ]
& Z4 H8 C% }' Z  -0.0000       0.7071

故原方程组的通解为
- K# ]+ x. e% Q. L3 l" `
4 j5 x. M, u9 V: X4 ?(x1,x2,x3,x4)=(0,0,1,0)+c1(-0.7071,-0.7071,0,0)   +c2(0,0, 0.7071, 0.7071),c1,c2为任意常数.
( j9 y' V6 `, f* B
null是用来求齐次线性方程组的基础解系的，加上'r'则求出的是一组最小正整数解，如果不加，则求出的是解空间的规范正交基。(x1=null(A,'r'))
, c3 b* a/ e4 I. k: O

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matlab矩阵的应用

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非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解

ldezgr

LZ辛苦，学习学习

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