用 MATLAB 实现离散时间傅里叶变换（DTFT）的两个案例分析

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先给出离散时间傅里叶变换的简单介绍：
( R( L5 [+ z2 \) _4 s/ I7 T' q% ~9 _- s
如果 x(n) 是绝对可加的，即


6 b0 S$ c$ t+ }7 t6 `: J
那么它的离散时间傅里叶变换给出为：



; ~" T6 @2 O0 t0 G* n5 T5 kw 称为数字频率，单位是每样本 rad（弧度）或 （弧度/样本）（rad/sample）

0 n  ?8 J2 I5 s5 r! }6 e, y案例1：
$ }3 M: ?* ^  h2 l求 的离散时间傅里叶变换 ，并用MATLAB将 在 之间的501个等分点上求值，并画出它的幅度、相位、实部和虚部。

题解：

; f+ w* K# e+ _9 G: q由于x(n)是无限长的序列，所以不能直接用MATLAB直接从x(n)得到 。然而，我们可以用它对表达式 在 频率点上求值，然后画出它的幅度和相位（实部或虚部）。
: _7 E% _/ W- ^

) k$ Q7 \& P, N% {8 d& S( n


% [( s& ?) j7 X2 y
脚本：

& Z; E5 U+ q  _) I/ w2 F( {- \0 [

• clc
• clear
• close all
• w = [0:500]*pi/500; %[0,pi] axis divided into 501 points
• X = exp(j*w)./( exp(j*w) - 0.5*ones(1,501) );
• magX = abs(X);
• angX = angle(X);
• realX = real(X);
• imagX = imag(X);
• subplot(2,2,1)
• plot(w/pi,magX);
• grid;
• title('Magnitude Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Magnitude');
• subplot(2,2,2)
• plot(w/pi,angX);
• grid;
• title('Angle Part')
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Radians');
• subplot(2,2,3)
• plot(w/pi,realX);
• grid
• title('Real Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Real');
• subplot(2,2,4);
• plot(w/pi,imagX);
• grid;
• title('Imaginary Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Imaginary');
  5 l' p& _  [8 m, _+ l- u5 t

     


; O* r2 K5 E# C- B4 d" O$ f
案例2：
求下面有限长序列的离散时间傅里叶变换：
8 e+ g  n0 b* c+ i& q) T. X


在[0,pi]之间的501个等分频率上进行数值求值。
& L7 Q/ [# j! J' e" X6 X6 l6 T- @, v6 h
题解：


+ i2 U9 z* @  Z- ^2 c
; E' t. @$ z; m- m我们可以直接对上式进行MATLAB编程，但是这种方法在有限长序列的DTFT中不是太方便，我们可以直接由 x(n) 来求它的DTFT。

' T" h8 h" t6 X  O1 }我们使用向量化的编程方法，最后得到一个通用的公式。推导如下：
( U* \4 r" f5 x# t' R) Y



用MATLAB实现如下：
2 C* \+ o' M5 x. K1 s

• k = [0:M];
• n = [n1:n2];
• X = x * (exp(-j * pi/M)).^(n'*k);
  

+ y& O- f  E  `2 N+ M; R4 ]4 ~3 K: J给出MATLAB脚本语言如下：
1 k, u. i/ y0 m# h; n# @: v

• clc
• clear
• close all
• n = -1:3;
• x = 1:5;
• k = 0:500;
• w = (pi/500)*k;
• X = x * (exp(-j * pi/500)).^(n' * k);
• magX = abs(X);
• angX = angle(X);
• realX = real(X);
• imagX = imag(X);
• subplot(2,2,1);
• plot(w/pi,magX);
• title('Magnitude Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Magnitude');
• subplot(2,2,2);
• plot(w/pi,angX);
• title('Angle Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Radians');
• subplot(2,2,3);
• plot(w/pi,realX);
• title('Real part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Real');
• subplot(2,2,4);
• plot(w/pi,imagX);
• title('Imaginary Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Imaginary');
  

* K& n! s7 K3 P  y
, g9 o" V$ [7 Y1 i2 M5 |      

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