用 MATLAB 实现离散时间傅里叶变换（DTFT）的两个案例分析

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先给出离散时间傅里叶变换的简单介绍：

如果 x(n) 是绝对可加的，即


" y' C  n9 x+ o5 A$ n
) n, l# p8 D/ S0 U那么它的离散时间傅里叶变换给出为：
- u' L: }# n" Z
: E9 _' ]5 n4 C8 R3 W. k

& |' Q& _2 k. \) Iw 称为数字频率，单位是每样本 rad（弧度）或 （弧度/样本）（rad/sample）

+ F: M; W6 v, ]案例1：
% i+ o, ]# R: k4 k求 的离散时间傅里叶变换 ，并用MATLAB将 在 之间的501个等分点上求值，并画出它的幅度、相位、实部和虚部。
" L, c6 X9 ?4 b) k/ @: d! {
题解：

# g& O, c; `9 o( N  r+ y由于x(n)是无限长的序列，所以不能直接用MATLAB直接从x(n)得到 。然而，我们可以用它对表达式 在 频率点上求值，然后画出它的幅度和相位（实部或虚部）。

/ G8 d' t4 `9 E3 K+ e& }/ U, E, k
# v, x/ ~5 d; C  a6 w4 a

5 p0 q/ I$ A' x8 f/ r' J. w
5 S. E5 h4 B9 x4 U5 f
脚本：
9 B2 c" A3 N! Z! J

• clc
• clear
• close all
• w = [0:500]*pi/500; %[0,pi] axis divided into 501 points
• X = exp(j*w)./( exp(j*w) - 0.5*ones(1,501) );
• magX = abs(X);
• angX = angle(X);
• realX = real(X);
• imagX = imag(X);
• subplot(2,2,1)
• plot(w/pi,magX);
• grid;
• title('Magnitude Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Magnitude');
• subplot(2,2,2)
• plot(w/pi,angX);
• grid;
• title('Angle Part')
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Radians');
• subplot(2,2,3)
• plot(w/pi,realX);
• grid
• title('Real Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Real');
• subplot(2,2,4);
• plot(w/pi,imagX);
• grid;
• title('Imaginary Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Imaginary');
  

     


, M+ j. x0 E1 M& Z& X+ V
案例2：
求下面有限长序列的离散时间傅里叶变换：
1 [- f) L% @& B1 E$ u1 H


在[0,pi]之间的501个等分频率上进行数值求值。
& q4 j+ X' E; C1 Z2 a
题解：
8 ^! ^2 }" f$ T/ V) _& p


8 x" \; o/ @1 t# D/ q. x我们可以直接对上式进行MATLAB编程，但是这种方法在有限长序列的DTFT中不是太方便，我们可以直接由 x(n) 来求它的DTFT。
0 j% W! X" o- [% d
( s. N, [1 O7 l: s, Q7 h我们使用向量化的编程方法，最后得到一个通用的公式。推导如下：
/ Z1 P$ C! q+ P' a+ e" M
  j; ]9 E, g* c+ k0 C# B# m
) Z6 g2 i: H* y& t* n
5 v! C$ t. M7 A% ?9 N6 E6 R8 [
用MATLAB实现如下：
- j% \; X& {$ S1 ^! \9 t4 A3 a; Z
- G  ^3 Y7 l' i$ `+ Y/ R9 G

• k = [0:M];
• n = [n1:n2];
• X = x * (exp(-j * pi/M)).^(n'*k);
  4 F6 v) J8 f- R9 x: b1 T" t

给出MATLAB脚本语言如下：

• clc
• clear
• close all
• n = -1:3;
• x = 1:5;
• k = 0:500;
• w = (pi/500)*k;
• X = x * (exp(-j * pi/500)).^(n' * k);
• magX = abs(X);
• angX = angle(X);
• realX = real(X);
• imagX = imag(X);
• subplot(2,2,1);
• plot(w/pi,magX);
• title('Magnitude Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Magnitude');
• subplot(2,2,2);
• plot(w/pi,angX);
• title('Angle Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Radians');
• subplot(2,2,3);
• plot(w/pi,realX);
• title('Real part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Real');
• subplot(2,2,4);
• plot(w/pi,imagX);
• title('Imaginary Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Imaginary');
  9 T3 g9 t1 S/ E+ X- u1 ^

& p# I; [2 x. [. `6 M/ ^      

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