离散傅里叶变换（DFT）

mytomorrow

离散傅里叶变换（DFT）讨论的对象是有限长序列 ，而与有限长序列 相关联的是其周期重复（延拓）（周期为N）而形成的周期序列 ，二者之间的关系是：

6 @$ ?, n8 _" J- @( y                           (1)
8 J: ]; }. l# Z* t
                                       (2)

- z  @  z/ P3 f, R$ Z- |

周期序列 的离散傅里叶级数(DFS)的系数 本身是一个周期为N的周期序列。

为了保持时域与频域之间的对偶性，将把与有限长序列x[n]相联系的傅里叶级数系数选取为与 的一个周期相对应的有限长序列 。
7 i9 N6 D" Z# X' R/ q
! d+ Z% {- F3 u# o* @& \这个有限长序列 称为离散傅里叶变换（DFT）。

因此DFT， 与DFS系数 有如下的关系：

, }5 P* v. ~( c6 b6 R% e4 h                            (3)
" y% G3 F7 x  ~: l% w, x4 J' p) Q
                                        (4)
% n- P, i  a) ^2 P! S
  M; p/ [7 D+ i0 @! _. p( g我们都知道离散时间序列的傅里叶级数表示以及DFS系数为：

                                              (5)
1 a9 u( j( m+ [& b  B( P( u
                                       (6)
# ?/ u8 j/ \" `' P7 q* G
7 }+ m5 i2 U2 w" \: T" y& h: r在上式中，                                      (7)
& I9 t+ s$ ]& b
( j) N% a/ }$ |4 q8 [2 }由于对于离散傅里叶变换（DFT）只涉及有限长序列，也就是0到N-1这一区间，所以离散傅里叶变换（DFT）可以表示为：

* ^; k7 i; s# `9 G分析式：
; {0 u  f' e- b; b% Z! q! L% b
                       （8）

合成式：
7 n1 r/ |% G2 T" K
) D) X7 J3 @0 Q7 Y                 （9）

4 @) X. u( M5 Y- Q. G也就是说，这意味着一个事实，对于在区间 之外的k， 等于0。
+ ?% [7 \! E, H; s) e1 T
7 K% p$ C' Y1 C  Z5 d综上内容，这里有一个简短的总结：

* p( @2 i9 P9 [% a+ N( s0 TDFT针对地是有限长序列，是对有限长序列的离散傅里叶变换，它的表示式为一个周期的傅里叶级数系数。

这源于有限长序列与周期序列之间的紧密关系，也就造就了周期序列DFS与DFT之间的紧密关系。
. h( e% X1 `" o6 Y
' ^  Z, l5 j6 _. Z
( \" t! u) Z# l9 C$ D9 C9 s- a
" l  b4 w/ Y* w# R8 ~; S% a我们一起来理解下这段话：
- X. v; W! [4 W: N( y
' S# S' |) o% _8 S7 K6 ?对于有限长序列用（8）、（9）来改写（5）、（6），并没有消除固有的周期性。
, G" {( [4 w, }+ Q) T3 g5 W
# {6 z5 O. g# z0 L. a/ V如同DFS一样，DFT的 等于周期序列的傅里叶变换 的采样，并且若对于在区间 之外的n值来计算（9）式，其结果并不为0，而是x[n]的周期延拓。固有的周期性总是存在的。
: a% B3 E7 r! P1 y8 ~) Z: ^' s3 X
- r, y5 ]; T  g. N: a在定义DFT表达式时，仅仅认为，感兴趣的x[n]的值只是在区间内，因为 （9）式只需要这些值。
" {3 D# ]5 G' }: m# I* @
4 Z. I- s2 }% Z( }1 {' ]# E1 |' _
! F5 a* t' C4 J1 d; @' X$ Z
5 f5 E, }! v  W- P$ q/ K% R

yin123

离散傅里叶变换（DFT）

junshi1000

大学时对此一脸懵逼

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