离散傅里叶变换（DFT）

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离散傅里叶变换（DFT）讨论的对象是有限长序列 ，而与有限长序列 相关联的是其周期重复（延拓）（周期为N）而形成的周期序列 ，二者之间的关系是：

/ y% g! b- }& p* d- S& a                           (1)

! c9 Z% x8 t& c, v' ?/ B- g+ u( d' D; r                                        (2)
& e! v9 H( U3 c0 x! y# ~
  {* e7 ]' t5 A8 U7 Y1 ?

周期序列 的离散傅里叶级数(DFS)的系数 本身是一个周期为N的周期序列。
/ d2 a7 ^* r+ U1 ^9 p5 A
, J: j/ [0 a: W5 f* z为了保持时域与频域之间的对偶性，将把与有限长序列x[n]相联系的傅里叶级数系数选取为与 的一个周期相对应的有限长序列 。

7 l0 [7 a+ I& H( S$ U" b4 d这个有限长序列 称为离散傅里叶变换（DFT）。

因此DFT， 与DFS系数 有如下的关系：

                           (3)

  Y9 T% S* e5 U5 x/ l3 _' E                                         (4)
- |; S/ q3 j0 M
6 n- {6 y% q* m2 U我们都知道离散时间序列的傅里叶级数表示以及DFS系数为：

                                              (5)
  r7 O4 ~* W: x1 H  ]' i- }
                                       (6)
" M1 h) }. Q/ _6 ^
' Z' o( P& t' W) o- y" E# {在上式中，                                      (7)

9 n" X7 j# A) g. c由于对于离散傅里叶变换（DFT）只涉及有限长序列，也就是0到N-1这一区间，所以离散傅里叶变换（DFT）可以表示为：

分析式：
9 P  |2 G' p' P9 C* m" l
% ?/ _" t- @6 H" e# F/ w                        （8）

合成式：
' z" y. I5 a& u" @6 [9 h
& t# t7 |$ F9 c0 W& z3 u                 （9）

6 G7 ?5 d8 ^: e也就是说，这意味着一个事实，对于在区间 之外的k， 等于0。

. U8 T8 K2 b; r% c综上内容，这里有一个简短的总结：

; O7 N$ c! n: t1 e+ w! j. |DFT针对地是有限长序列，是对有限长序列的离散傅里叶变换，它的表示式为一个周期的傅里叶级数系数。

这源于有限长序列与周期序列之间的紧密关系，也就造就了周期序列DFS与DFT之间的紧密关系。



3 O1 b( U* ~3 r4 X5 Q* |我们一起来理解下这段话：
- ^% ~  m- Y5 w
  D: c* r& B. @, i7 N对于有限长序列用（8）、（9）来改写（5）、（6），并没有消除固有的周期性。
1 u, \% t5 N5 H6 [2 ?" v* |+ F6 D+ V
# B, p/ L0 }! g1 u7 k' O如同DFS一样，DFT的 等于周期序列的傅里叶变换 的采样，并且若对于在区间 之外的n值来计算（9）式，其结果并不为0，而是x[n]的周期延拓。固有的周期性总是存在的。
- ]5 h7 Z* t$ L$ K& e8 A
在定义DFT表达式时，仅仅认为，感兴趣的x[n]的值只是在区间内，因为 （9）式只需要这些值。
+ W* K4 a# u3 C5 C
2 F) n1 E6 t3 K; t# m+ W

yin123

离散傅里叶变换（DFT）

junshi1000

大学时对此一脸懵逼

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