对离散时间傅里叶变换DTFT采样

mytomorrow

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上篇（对离散序列的傅里叶分析大总结(一)）的最后讨论了有限长序列与周期序列之间的关系，首先给出了有限长序列以及由其构成的周期序列之间的关系，具体参看，得出的结论是：
8 e( J  c# U7 w7 _( }  }& T! x
7 P  [# M! J. C& |4 I3 X! w/ }

2 ]1 y9 I: G) _7 ~! D今天的主题：
今天的主题讨论了非周期序列与周期序列之间的更一般的关系：
6 Y9 r& k5 c$ E0 f
先给出非周期有限长序列以及其DTFT，然后对其傅里叶变换（DTFT）进行等间隔采样，等间隔采样后的序列的逆变换对应的序列是什么样的呢？

% f  N/ t. S2 c) ]8 w是不是有限长序列的周期延拓？
  u" N9 F, O/ u+ B. ]+ s' F
看下面的分析：
" \3 a8 ]5 X  H! d1 N9 {) `+ B


! u3 \% N) t' p+ J




- p' K! ?3 D: k/ l, }" [" |  s/ R可见，是一个周期延拓关系，延拓周期为N。

0 p, j% K9 q6 B- F& g. H  G有意义的举例讨论：
3 r: M& i- \4 k! i' f" y# P下面再给出一个十分有意思的讨论：
, K! Y- @  `4 q2 V5 Y* ~/ f
情形一：
在下图中，x[n]是长度为9的序列，对其进行傅里叶变换（DTFT）得到 ，对 进行等间隔采样，间隔为 ，取N=12，也就是间隔为 ，得到采样后的序列为 ，该序列对应的时域波形为 下图（b），也就是对x[n]的周期延拓，周期为12。
6 ]" ?/ X4 L- ~1 |



5 Z) u: o9 k$ p2 g, S# i( G( z6 |情形二：
$ ~; w' y9 F3 }2 L同样是这个有限长序列x[n]：


' m7 t  Y' q' o0 _* z1 ?
' @% P0 q# P6 y" [当N=7的时候，对应的 为：



可见，发生了混叠现象。
; [$ U$ H( Q/ k# `% `5 k
( `- t+ V6 ^1 i0 d: U! G6 ?8 E  N下面对其进行解释：
' r: _8 p6 k- a& Z* Q6 R
情形一的情况， 的一个周期是x[n]，这是没有发生混叠的情况，但对于情形二， 的一个周期就不再等于x[n]了，这是由于时域波形x[n]周期延拓后发生了混叠。
3 ^4 S2 M; u* s0 j  N
尽管如此，下式依然成立：

/ w+ c9 }! t& c9 s7 |) U
5 l3 d* L6 ]2 s) ^5 z
也就是说在这两种情况下， 的DFS系数都是x[n]的傅里叶变换在频率 整数倍的等间隔点上的采样值。

对于情形一，原来的序列x[n]可以从 中抽取一个周期而恢复。
2 _3 @/ C% E, e7 F: D9 Z0 V. V7 `
同样，傅里叶变换 也可以从频率上以 等间隔地采样来恢复。
) L: J1 a7 D' F  N. D4 f: Q2 a, D
- l# B" t! R% E+ {1 J9 F4 t& T7 i与之相反，对于情形二，x[n]不能用取出 的一个周期的方法来恢复。
$ N% g6 a  ?7 f6 E: `& ]( F
类似地，如果采样间隔只有 ， 也不能由它的采样来恢复。
5 y: H+ t* i7 R9 D
: ]$ K. R6 ?, w3 a实际上，情形一说明的情况是，已经用足够小的间隔（在频率上）对x[n]的傅里叶变换采样，以便能够由这些样本来恢复该变换。而情形二，表示一种对傅里叶变换欠采样的情况。
- _* s) }5 K3 N/ s( a# d- [
3 P1 i! C/ k, O% M在欠采样的情况下， 与 的一个周期之间的关系可以认为是时域产生混叠的一种形式。
$ z4 }  X' }% ]/ l5 ]$ n% |6 p
显然，只要 为有限长，时域混叠就可以避免，正如信号的傅里叶变换只要是带宽有限的，其频域混叠也可以避免。

2 n7 d) h, f" b
最重要的结论：
2 r2 D  k& w3 h/ }: v5 @, t从上面的讨论中，我们已经看出：


( T% W2 S$ L* n$ `" ]
5 B" A# ?+ B3 e# j: s2 r( x重磅内容：

( [9 z# G* {3 }9 `0 @
3 \+ l6 g- l/ a- [) Z; O
在推导、讨论和应用DFT时，我们应该始终记住：通过傅里叶变换的采样值来表示，实际上是利用一个周期序列来表示有限长序列，该周期序列的一个周期正是要表示的有限长序列。
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