对离散时间傅里叶变换DTFT采样

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4 H5 f4 \" c2 P
5 f' v: t2 {$ D( k, b" R. \上篇（对离散序列的傅里叶分析大总结(一)）的最后讨论了有限长序列与周期序列之间的关系，首先给出了有限长序列以及由其构成的周期序列之间的关系，具体参看，得出的结论是：
- ]) A2 |& P8 U


# q% R. G) i, S+ d" }6 P0 S+ L8 S今天的主题：
今天的主题讨论了非周期序列与周期序列之间的更一般的关系：
8 S& q* d/ ]: z/ r
先给出非周期有限长序列以及其DTFT，然后对其傅里叶变换（DTFT）进行等间隔采样，等间隔采样后的序列的逆变换对应的序列是什么样的呢？
5 C; k* p4 e1 E5 p# L
  R6 i. b$ O. ~" I是不是有限长序列的周期延拓？
  f* @# N+ ~, O( V" E
看下面的分析：

- F1 I2 a) N* k9 h! O
, V1 I) i* e; L- G: x
# Q7 U+ f4 W% g9 s" ~; G
8 ^' \; Y# u+ Q4 O: U0 o
/ }- p6 G$ W: ^+ a6 Y. J
5 i$ S; I! \/ r

可见，是一个周期延拓关系，延拓周期为N。

有意义的举例讨论：
下面再给出一个十分有意思的讨论：

, Z5 D/ d; }% z1 d1 d! |情形一：
' i( R: D  z2 R8 ?( b7 m在下图中，x[n]是长度为9的序列，对其进行傅里叶变换（DTFT）得到 ，对 进行等间隔采样，间隔为 ，取N=12，也就是间隔为 ，得到采样后的序列为 ，该序列对应的时域波形为 下图（b），也就是对x[n]的周期延拓，周期为12。
/ c0 z( P# o/ D, q
% h1 Q3 X7 N, X" g" X& A

5 @. |& A/ V. c- s/ I! a; c
8 r& [: h/ c# b: o! u! v& p2 I情形二：
同样是这个有限长序列x[n]：

# ]' F- t+ d! P" e% m" j9 f
$ l# V2 }* M1 S8 X0 A% u; e5 R1 o( s
1 x& R# H; R! y, }当N=7的时候，对应的 为：
* ?9 G  G6 V4 s7 ?. y# _
1 m! |4 @7 E0 d) j) q4 \1 \" A
' D  Q! A7 `+ Z; v  R0 p
可见，发生了混叠现象。

) S: `) P. d3 e9 x# V) ^下面对其进行解释：
4 B5 A2 R+ |) v, X5 [7 k
情形一的情况， 的一个周期是x[n]，这是没有发生混叠的情况，但对于情形二， 的一个周期就不再等于x[n]了，这是由于时域波形x[n]周期延拓后发生了混叠。
( F3 v- W2 z/ k6 C
尽管如此，下式依然成立：
* j/ u" u/ B& ^6 j! y( b# X& S
# o  C, i% j+ i0 A) t
( K5 l, @* W, I2 X! R7 `, J' ^
也就是说在这两种情况下， 的DFS系数都是x[n]的傅里叶变换在频率 整数倍的等间隔点上的采样值。

对于情形一，原来的序列x[n]可以从 中抽取一个周期而恢复。
3 }3 y- {2 j% E8 U: S- H
2 i" J: T+ D0 d9 m' f, j同样，傅里叶变换 也可以从频率上以 等间隔地采样来恢复。

- G& C/ G5 {) d与之相反，对于情形二，x[n]不能用取出 的一个周期的方法来恢复。
0 K# Z) X9 t% P, `7 P) U) M
" k2 L; I/ q) B类似地，如果采样间隔只有 ， 也不能由它的采样来恢复。

5 X9 n$ e" V% L' b实际上，情形一说明的情况是，已经用足够小的间隔（在频率上）对x[n]的傅里叶变换采样，以便能够由这些样本来恢复该变换。而情形二，表示一种对傅里叶变换欠采样的情况。
, K" M- f( l7 P8 y- ^& r8 H; }
在欠采样的情况下， 与 的一个周期之间的关系可以认为是时域产生混叠的一种形式。
' s# _; a) ?! h# B
显然，只要 为有限长，时域混叠就可以避免，正如信号的傅里叶变换只要是带宽有限的，其频域混叠也可以避免。


5 |! c+ m# l3 m最重要的结论：
- \* ]; A7 b8 y1 r% j4 y( V从上面的讨论中，我们已经看出：

/ x* o8 Y1 A( S5 S* m/ D2 e( y0 \) s
4 g# V4 z% k$ t: @8 v8 ^: X3 X
) g( A- y5 H/ L/ c/ r+ [( @重磅内容：



( {& Y$ z5 P. T: {, }3 i在推导、讨论和应用DFT时，我们应该始终记住：通过傅里叶变换的采样值来表示，实际上是利用一个周期序列来表示有限长序列，该周期序列的一个周期正是要表示的有限长序列。

younicp

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