matlab实现数值积分 【二】（integral函数）

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如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。
目录
函数调用格式
: M* a! W9 e, o! U$ h应用举例
例1：求解数值解并检验其精度
2 d' Q- c: N% l; J! m例2：分段函数积分
- I$ ], s8 P, P+ G例3：与梯形法比较
' E0 R; M) ^9 s0 e( F: {% m# E1 T8 L/ n例4：大范围积分
例5：广义积分的数值计算
  ~6 A0 E  T7 O# w4 ]  @  K例6：含参函数数值积分
' S, T$ A9 T4 p3 |3 e

函数调用格式

; f. n$ T/ K& O
* s# i. {( I- i8 a. ^% j: D7 k7 w


应用举例

例1：求解数值解并检验其精度
计算积分

• f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数
• y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解
  4 g' C" f* a8 B- T! d, I+ M

结果为y=0.96610514647531

求解解析解：
+ E% ^9 s' A0 g# wsyms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
; N: i" z" J) a  l4 P- F( Z" p结果为：y0=0.96610514647531

8 i/ S  ]4 e9 ^+ f& ]; j) ?结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。
3 @' i/ B) S8 |- U! E7 [
9 ^7 f0 k7 m% Z* w

1 N- V/ w7 g3 i例2：分段函数积分

" o% v; Q* n8 c7 j/ P给定如下分段函数：
- l' |1 {! n. T4 A6 Z, @
* x; m& R6 ^  a5 t% _) o​        

• 计算积分值 。
  3 m, Q- t. b+ a# W% v7 s

  A, T8 A! {/ [5 U绘制 填充图
; y' ^$ n/ B3 ?6 u! l( S! P) `9 j' Y
/ I9 Y- ^9 S/ X$ \0 i

• x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
• y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图
  9 J6 H5 j( `. f% R1 o0 ~! J

' P4 V. G5 J$ ?1 j, l. u0 [
0 b, W! ~: B) j# X

# s$ J$ [! }( S+ V0 m

• 求解与验证
  

• f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• I1 = integral(f,0,4)   %//数值解
• I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20)   %//提高精度
• syms x
• f = piecewise( x<=2, exp(x^2),  x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
• I0 = vpa(int(f,x,0,4))   %//解析解
  

0 A5 [1 j# Q) v$ T结果为：

变量        值
9 c# P' @& e5 }. W& k3 U# CI 0 I_0 I
& P1 O8 h  Y8 a7 ~6 A. Z+ p. S0
: H* x0 C2 J7 q7 _​        
; y0 G" c& |, j （精确解析解）        57.76445012505301 033331523538518
I 1 I_1 I
1
! p) p- V& e9 N$ m​        
" l8 n4 b& d& a  L4 W( P* \ （正常数值解）        57.7644501250 4850495815844624303
; n; c& U' r  M- K; e  y/ kI 2 I_2 I
2
+ ~5 |/ l, Q" ]​        
（高精度数值解）        57.76445012505301 690453052287921
  j3 N8 t! D: ]/ u2 d1 Z" f



例3：与梯形法比较

. l; O- F' Q" s5 R重新计算积分

, D" B9 o9 Z4 Q% B! W" y- \+ \+ ~! M
" G; C4 u3 ?( t$ O9 a

• 梯形法求解链接
• 数值求解：
  / f; a# ]6 U' l$ D; A

& |, A7 \0 W4 T% ?

• f = @(x) cos(15*x);
• S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)
  

  w8 r( A: K7 G% G4 T结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。
3 p* u( t% s/ L5 H" i3 p! K$ z# p# r$ o
  N" ^, Z7 i1 z5 g( U" O4 `, w
+ H. k$ @8 L% U1 ]$ I0 }: p* [
例4：大范围积分
; m8 n. S! m* w$ |- `6 y( C$ t
计算积分
7 k. l6 Y( f/ c4 }$ }1 n6 \2 |2 m
% B: w- T# ^+ @! _# U, r
+ e% [# [. O8 ^" W! c% Z

• f = @(x)cos(15*x);
• I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解
  . E" Q$ s  {% a9 c- n# v6 h8 \

; r3 ?8 A, }5 Z9 O- X
解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
. U) C2 k9 J/ W- `数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066



1 \5 P- B- L: U8 j; J. s1 t# ?2 {例5：广义积分的数值计算

" N% x: L( T$ u) O9 P计算

; Y: Z' s6 v( v

• f = @(x) exp(-x.^2);
• I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解
  / ~  N9 I! d: \0 v

+ A4 V* M* U  {. w8 [  R1 Q- v3 }解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057
数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957
8 @* |- S% D3 g/ R3 U
! d3 W# L' _8 I

例6：含参函数数值积分

7 Y! |5 E1 f  B6 a. S, `5 y绘制积分函数 曲线

) c- U$ O" s6 R! r8 y
+ m  Y. k$ u2 J  F+ n

• a = 0:0.1:4;
• f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
• I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
• plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')
    t! B; b$ i# Z/ E$ p% ?9 ]* q

+ ]% D; D" O1 n/ v

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matlab实现数值积分 【二】（integral函数）