matlab实现数值积分 【二】（integral函数）

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如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。
. o/ L0 a/ F0 u" m: U目录
函数调用格式
/ Z* w4 b- z! c& R, T4 i应用举例
2 \$ T0 u  V. r9 P! z  i6 r8 |' Q例1：求解数值解并检验其精度
例2：分段函数积分
8 ]9 h, C, J/ o- a% K" ?: _0 r  S例3：与梯形法比较
* t& I/ v- D  _6 E例4：大范围积分
- E, ^# O3 n8 P) c9 s5 V例5：广义积分的数值计算
例6：含参函数数值积分
* C& U$ I8 S; Q  `1 U) V* M  _

. [, z. K% q0 S+ m! {# C函数调用格式




# z+ ?# D# Z0 ^& m% m
" ~" v6 A) ?, l9 B( E4 N应用举例

例1：求解数值解并检验其精度
计算积分
/ p0 r# @. M! u2 h/ _8 u3 i9 A

• f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数
• y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解
  

/ M- @& K* v5 c结果为y=0.96610514647531
* U( y3 g1 n# ~+ u9 T
求解解析解：
* {+ }$ H+ t; Q$ s/ Tsyms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
+ I, |( j. N# \) b- J  x& V+ S8 o* @结果为：y0=0.96610514647531
& t7 U0 m! l% K* b
结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。
6 P+ C  A" c4 |" l* ~( f' i) t1 N
7 G8 h5 f( ]4 o' r% n0 ?0 `/ R

例2：分段函数积分
5 L9 @( K) }  a. Q- G7 o
给定如下分段函数：
: n, N1 I& [8 Y7 O
5 b- I9 D- x% x& E# m; a​        
' Y. I' E1 v$ l

• 计算积分值 。
  

, s9 v0 ]3 a1 t$ }& {4 \0 Z- R+ T绘制 填充图

• x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
• y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图
  8 p2 \) ~6 ~- }; G6 f

$ k1 q. w0 b) E

" l5 _, G$ W/ [- H7 e3 \  P; d
! q6 x$ D, v' I" {& e

• 求解与验证
  

• f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• I1 = integral(f,0,4)   %//数值解
• I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20)   %//提高精度
• syms x
• f = piecewise( x<=2, exp(x^2),  x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
• I0 = vpa(int(f,x,0,4))   %//解析解
  

结果为：

变量        值
! G  }2 ]. ~  B5 m* f  C+ ~" [7 d& MI 0 I_0 I
0
0 m2 s' W" n: w+ H# Q! P​        
& _, \* f* \6 y4 c6 T （精确解析解）        57.76445012505301 033331523538518
I 1 I_1 I
1
: ~! w( @0 h; Q​        
（正常数值解）        57.7644501250 4850495815844624303
I 2 I_2 I
* [/ b) u" V. p( S7 T2
​        
$ z3 U7 Q0 N% p1 w1 b  c" ^ （高精度数值解）        57.76445012505301 690453052287921
8 S1 m3 s( B" k" }



例3：与梯形法比较
' f2 w1 \& B/ m3 l" G7 G8 I
: z) Q- v  u5 G" x9 x$ G重新计算积分
. ~, w( x4 B# w
) U" g; n0 V4 E8 W

• 梯形法求解链接
• 数值求解：
  7 L  @- s" ^0 Z! n9 @( r

+ \" C1 o5 ]. x3 ^3 l6 c9 _

• f = @(x) cos(15*x);
• S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)
  / b2 I" O: l4 Y8 X" p

. b8 m: [# t+ X2 X/ z) `3 F$ x; \" D结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。

# R  l- @, B" L" |& c' w
! `; s, J5 q- d% t# `+ p: G
例4：大范围积分
; `& E0 f0 L1 v
计算积分

, z, V  h" h5 c2 W& ?1 s
# _$ f9 N2 r8 M( h

• f = @(x)cos(15*x);
• I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解
  , }% G+ l1 [' @

! S1 N* Z4 _: c6 |& Z! U) X
4 z8 I: h+ `! t% K. C  p8 K" P解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
+ U6 f8 j+ H4 J( J! W数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066

' \8 V, ]" T9 e/ ]' }% `) I
& F: I3 v6 C0 |( h$ x8 Z
例5：广义积分的数值计算
6 I7 H0 i& D  |; V& L+ _
计算
' \( f3 l) W7 D
( q% ~# H  t4 @
7 t) y: ^2 Z- }3 k0 `8 Z: c( U

• f = @(x) exp(-x.^2);
• I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解
  5 p6 v  _/ }: o0 M/ q8 M. S9 m9 t" I2 S

8 y% E6 F1 O! [
解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057
数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957



( ]. A! ]+ A/ A& I" i* `例6：含参函数数值积分

6 g2 Y( c/ W- K0 e1 t- C3 m* Z( B- p绘制积分函数 曲线


& m* E' D5 W% z9 s

• a = 0:0.1:4;
• f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
• I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
• plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')
  

8 _1 f  ]# ?" A% |+ B1 U5 Y# s

! ^) \5 B' d  N* F/ q# q& n

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matlab实现数值积分 【二】（integral函数）