matlab实现数值积分 【二】（integral函数）

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如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。
' l: i5 N( E/ G5 B5 U* n目录
函数调用格式
+ H: i" A; Z9 p7 Z0 _0 d, u应用举例
例1：求解数值解并检验其精度
6 `0 w0 u  z, R' }- {例2：分段函数积分
例3：与梯形法比较
例4：大范围积分
例5：广义积分的数值计算
4 h) s  i, l7 o, [9 Z例6：含参函数数值积分
% P3 l  x8 q6 M2 r- K2 A, H7 k. N

函数调用格式


& f  T+ _* r3 {5 d8 T" p


应用举例

2 n) f) y  d" A2 |& q! U例1：求解数值解并检验其精度
8 k& Y7 D5 g8 l% a# O, |+ s% m: z计算积分
7 J5 R9 p. j2 E# q4 h' z" U
6 E; S) U5 w. g. z! M# r

• f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数
• y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解
  ) H6 i: h2 l& ]- e/ Y: }6 W1 X3 E

1 l. i6 V/ u, X4 h1 b& ^6 }
结果为y=0.96610514647531
6 p3 q( U% \- \/ m: v1 m
% u. X* \+ [3 A+ n* l  Z7 C求解解析解：
syms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
结果为：y0=0.96610514647531

结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。
2 M, W9 ^/ C) Y! Z

+ l0 A$ n. c8 B+ h
: \; r* N; U4 b' U8 ^9 {4 z例2：分段函数积分
1 W) V8 w0 H" c9 y) M0 `8 A2 m2 L
给定如下分段函数：
) Q* z+ k( K2 `/ `  [
4 E2 e# ?! K  `# k0 [) u​        

• 计算积分值 。
  

绘制 填充图
5 c* l2 v! s) U6 F* Q4 T! Z
& f# {: `% f/ O8 f3 b+ [

• x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
• y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图
  

! G+ n3 E9 z. i" O; _3 t
* X! J& s0 g" {3 A1 u" M

) f" o5 |$ k/ ~! D

# X. H# O, b- ?+ S: z6 ^# }. O

• 求解与验证
  ( e0 ?( j/ }+ d" K) P% v, }5 U

• f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• I1 = integral(f,0,4)   %//数值解
• I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20)   %//提高精度
• syms x
• f = piecewise( x<=2, exp(x^2),  x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
• I0 = vpa(int(f,x,0,4))   %//解析解
  . I9 \$ C! k7 \3 ^# U* Y+ t% M

3 X) x, ~4 b- _' z1 l0 }  M
结果为：

! m2 d  ^. F9 T: X  O变量        值
I 0 I_0 I
7 O4 W# L) |/ R4 |4 x, j6 m0 l, y0
​        
" V, @* k6 O* O% o' Z （精确解析解）        57.76445012505301 033331523538518
3 W& B# Q& o& Y( l8 UI 1 I_1 I
# E/ i3 n5 Q8 K" X& i1
​        
4 v" g6 y9 o; w$ s8 E （正常数值解）        57.7644501250 4850495815844624303
I 2 I_2 I
9 e; f+ ?1 s' v0 b9 x2
​        
& v6 l1 H) S$ e' k （高精度数值解）        57.76445012505301 690453052287921
& y* ~, y/ C7 z8 P9 n
& L% P) i9 ~$ e5 I. y
4 i% G, j: d' }' t8 N, G# g) _
( A* B* A* m0 n0 M! D+ e
例3：与梯形法比较

* k* n% \- D0 S重新计算积分
! r1 i0 {8 C5 s. P

; m: n3 E7 g8 s7 T! a) B: L( _

• 梯形法求解链接
• 数值求解：
    J9 z9 m- t6 q# A6 b

• f = @(x) cos(15*x);
• S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)
  

结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。
1 l0 g& q5 I; @/ n- {: u

% l. l" D6 ^2 w0 n' @
例4：大范围积分

$ g+ a& Y, Q0 X. z2 @4 I计算积分
0 `( c; C$ T7 g- h* N
; n$ E: u* e' c

• f = @(x)cos(15*x);
• I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解
  7 Z0 s6 t' o+ @. Y' n: ?

0 q. D% \# B3 w9 g0 S; \
解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
+ A) V  p' P1 Z& d+ j" `数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066
  |' S, P( S# s  D
5 d# O/ c! D% {& c3 n/ Z( t* m) n

( k% y% A+ Q1 e例5：广义积分的数值计算

) ]( A* n* E% p) x- }1 D1 \- C计算
- Q; [2 S+ L& H/ @, Q# `

• f = @(x) exp(-x.^2);
• I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解
  2 o4 V" B8 Z$ n* }9 A0 x

解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057
+ x0 m; M4 K4 W# o" A; ~$ Z数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957
' G5 r: z+ v  N& B5 C- H  J6 p3 g


例6：含参函数数值积分

绘制积分函数 曲线

$ j/ U9 V0 S- C( z4 x# K
3 B: O: \2 N9 l8 B+ D4 n: O; b

• a = 0:0.1:4;
• f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
• I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
• plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')
  

. t: f' F( Z+ {5 v& N6 p
  x, a8 w9 A7 E) |& F

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matlab实现数值积分 【二】（integral函数）