matlab实现数值积分 【二】（integral函数）

uperrua

( G5 t$ o! ]2 v* o如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。
* }$ a& R7 C7 W* j* L目录
5 \' p4 D6 ?- }3 O4 e# v2 V! m函数调用格式
应用举例
例1：求解数值解并检验其精度
: b1 v( C4 s( L9 }例2：分段函数积分
例3：与梯形法比较
2 n& R% v1 z7 X' a8 ^例4：大范围积分
/ _& c$ W; m  m# A/ z7 ~) ~' L5 L2 i例5：广义积分的数值计算
例6：含参函数数值积分


函数调用格式
1 w& z5 n' ~: T) a1 ]+ c' F
( p2 {  a1 g4 Z& v0 [* P* I1 D


应用举例
例1：求解数值解并检验其精度
计算积分

4 i& _9 x8 y, y
" o5 t( K3 m7 w& e  L3 i# I( d

• f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数
• y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解
  ) J: O3 U: j7 K* t, d

结果为  y=0.96610514647531
5 @+ z: u) o, W  C! S) T! _
求解解析解：
syms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
# m- A7 o1 D" {) Y  w% m" f结果为：y0=0.96610514647531
  B' t7 t8 ?; D- f" v3 a4 v. x( f
结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。

: V' Q  ?0 h# f& T; r9 ^* X  {) A) W
例2：分段函数积分
1 k0 [- R( N! c* N
1 v, s( A0 V/ n# ^$ _& C1 n" b; ?给定如下分段函数：
5 N, |/ u. F4 c. D+ o
, N. I3 V0 D8 p5 H计算积分值 。

• 绘制 f ( x )填充图
    `% z5 m7 t+ h3 [2 m

• x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
• y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图
  

4 y: u) X+ ?2 a; L- g
  N) W+ b, P6 R' Y1 T

• 求解与验证
  

• f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• I1 = integral(f,0,4)   %//数值解
• I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20)   %//提高精度
• syms x
• f = piecewise( x<=2, exp(x^2),  x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
• I0 = vpa(int(f,x,0,4))   %//解析解
  

; i& p4 J0 w# L' Y9 D
结果为：
6 h# c# F7 C3 q. g7 b3 J
  ?0 ^* B8 b  W
* j6 C2 F0 Q: q

# n7 A9 h) V) M( b- m5 E例3：与梯形法比较

, r' O( x- f8 w3 g( z# G7 s. ^  P重新计算积分
$ u  S$ Q: g  H( {# f1 h# t5 z

3 K' t& O) \  q+ y, K

• 梯形法求解链接
• 数值求解：
  

• f = @(x) cos(15*x);
• S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)
  & i4 l5 `' n& i* F; J, P

* y% s, D3 I- {( w
结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。


例4：大范围积分
# K7 z. H4 G% M. j& g8 J% J
+ X0 ~. v0 h: d8 A7 d) ^计算积分
& z( L, M$ t: ]$ n8 p
. A. j) ~/ }/ m

• f = @(x)cos(15*x);
• I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解
  . E  v# X* n8 N) v; ~# s

解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
) i2 o) A8 p# r, |- p: O数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066


7 Q* |8 k! c- W8 ?8 s9 Y: X! I4 b/ w例5：广义积分的数值计算
计算


+ W. J# b2 Z+ Y* q- }1 f

• f = @(x) exp(-x.^2);
• I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解
  & z4 ]5 ~4 g8 I6 Z; f- J! Z

) j  W9 Y0 O" l; S8 h7 y/ b, Q
解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057
数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957
8 e7 P; K, v! B! |2 ^) l
! J+ R- E& b9 M
/ H$ Q4 A. l- ~4 K0 {1 p4 N/ |; }例6：含参函数数值积分

绘制积分函数 曲线
: q6 H( ]! o$ o5 M' A

  Z( W# m1 j* A" S( f/ |

• a = 0:0.1:4;
• f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
• I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
• plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')
  . ~9 n$ ?/ K; `

$ \' i7 f% C. b  H


0 G+ I+ D. W7 L

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matlab实现数值积分 【二】（integral函数）