matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）

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. @- s7 T- u( a& Q目录
* j/ V6 |# Z& [3 |+ p8 ~8 [总述
5 x- `5 [5 a1 y3 B7 A2 A$ A% ~1 J9 f函数调用格式
应用举例
( k7 J8 K, V3 p- [! q- E5 D+ n例1：梯形法求积分
0 H  z" {, X/ {3 M例2：不同步长对积分结果的影响
- W4 A3 t: N( a1 k+ t- W! T5 L6 A
5 r9 b( t- m) i. ~$ A
总述

  数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知，则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法，即已知数据点求积分。

函数调用格式

• S = trapz(x, y);
  1 P& n' v! a8 I- K

% }4 v  E! ^- n3 b7 V应用举例例1：梯形法求积分

* D/ R0 S6 f9 o9 q

• x = [0:pi/30:pi]';
• y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
• S = trapz(x,y)
  2 H" m$ `! r8 G* Z

6 n. I/ h* n( b; W
$ T0 L; `; I# P2 ~1 J1 Z8 a

结果为：S = [1.9982 0.0000 1.9995]

! J2 {/ X) o+ f) a) k  ^/ E

由于选择的步距较大，为h＝π／30=0.1, 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充）

例2：不同步长对积分结果的影响

题目： 用定步长法求解积分

, M! g' p$ c9 I! b0 {$ G5 U，并讨论不同步长对积分值的影响。

• 首先，绘制被积函数的图像：
  * i* x* Q) H3 q- b* R+ |4 B( p9 m: J

• x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
• y=cos(15*x); plot(x,y)
  

. e( g4 j) O7 K8 g, u由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。
6 o/ N/ e7 c" @5 ]

• 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
  

• syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
• h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
• for h=h0
•         x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];  y=cos(15*x);
•         I = trapz(x,y);
•         v = [v; h,I,A-I];
• end
  

, M- d" H8 I. @& n得出结果如下：



1 P1 U' G" d- m. F& d" s可见，随着步距 h h h的减小，计算精度逐渐增加。
! z) F( o3 d; g( ], v- |




& {% \- m* M. c6 s# V9 S2 x$ _* A6 v. E3 \. H
5 _# Z3 x# b! _

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matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）