matlab实现曲面积分（surf_integral函数）

ulppknot

2 E! y- n: t5 KMATLAB语言并未直接提供曲面积分的现成函数，因此，此处给出计算曲面积分的函数。
& P  ~# k) C- s3 m
' H1 t/ {/ h2 H& B. _  |目录
+ @+ V* t, R+ g: B, S! J. Y' N函数说明
) w4 x5 w) ~0 A% I+ Z( E+ Y. _8 d应用举例
第一类曲面积分
4 j- }' A- l( S6 C5 h4 e* |0 Y第二类曲面积分
- L9 k4 i" B& ~! P函数实现
1 L, z/ s, P& ]- e2 A9 B
, ~" h# H- B7 u5 b$ D4 }, }& \函数说明
5 m5 ?7 M& p2 \2 |5 F# |- w
7 `; M2 |( r, U9 m3 R# F

• function I = suRF_integral(f,vars,t,a,b)
• %surf_integral
• %第一类曲面积分
• %   I = surf_integral(f, z, [x,y], [x_m,x_M], [y_m,y_M])
• %   I = surf_integral(f, [x,y,z], [u,v], [u_m,u_M], [v_m,v_M])
• %  Examples:
• %  计算int_int(x^2*y+z*y^2)dS, 积分曲面如下：
• %  x=ucosv, y=usinv, z=v, 0<=u<=a, 0<=v<=2*pi
• %  MATLAB求解语句
• %  syms u v; syms a positive;
• %  x=u*cos(v); y=u*sin(v); z=v; f=x^2*y+z*y^2;
• %  I = surf_integral(f,[x,y,z],[u,v],[0,a],[0,2*pi])
• %
• %第二类曲面积分
• %   I = surf_integral([P,Q,R], z, [x,y], [x_m,x_M], [y_m,y_M])
• %   I = surf_integral([P,Q,R], [x,y,z], [u,v], [u_m,u_M], [v_m,v_M])
• %  注意：I = int_int_S(P*dydz+Q*dxdz+R*dxdy)
• %  Examples:
• %  计算曲面积分int_int(x*y+z)dxdy, 积分曲面如下：
• %  (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1的上半部，且积分沿椭球面的上面。
• %  引入参数方程：x=a*sin(u)*cos(v)，y=b*sin(u)*sin(v)，z=c*cos(u);
• %  且0<=u<=pi/2, 0<=v<=2*pi 。
• %  MATLAB求解语句
• %  syms u v; syms a b c positive;
• %  x=a*sin(u)*cos(v); y=b*sin(u)*sin(v); z=c*cos(u);
• %  I = surf_integral([0, 0, x*y+z],[x,y,z],[u,v],[0,pi/2],[0,2*pi])
  7 A1 |8 g) _/ A  U: }( u

应用举例
5 Z) S6 f0 T- U* P
* n( h! j6 w/ M第一类曲面积分
1. 计算 , 积分曲面如下：
* i, n7 _8 X% v  M5 p/ K4 A1 j6 |

* y! b/ c# P2 F1 g求解方法
( o" ]; Y8 W2 F3 x

• syms u v; syms a positive;
• x=u*cos(v); y=u*sin(v); z=v; f=x^2*y+z*y^2;
• I = surf_integral(f,[x,y,z],[u,v],[0,a],[0,2*pi])
  

第二类曲面积分
6 |5 ^  w5 Z. p6 v( e7 h( A
( p- }2 x! i& ^( X  I( o" {2. 计算曲面积分 , 积分曲面如下：
# ?* R/ r- _& A5 X: W4 E% G; _5 @% o 的上半部，且积分沿椭球面的上面。
注：引入参数方程： ; 且
3 M" m: k3 y, {/ T
5 V. _/ H2 I; T2 v0 [4 a/ y
0 I! J2 u( P, U+ B; @6 x/ Q( M4 I求解方法
7 A  K' U3 }& b$ C
  g  x, m% ~/ c

• syms u v; syms a b c positive;
• x=a*sin(u)*cos(v); y=b*sin(u)*sin(v); z=c*cos(u);
• I = surf_integral([0, 0, x*y+z],[x,y,z],[u,v],[0,pi/2],[0,2*pi])
  # G  n. n  l9 x9 ]! A4 x* P

4 |3 v  X6 V- |# g9 |0 [! X
函数实现

1 i5 O+ P: |' Z2 n" X3 `

• function I = surf_integral(f,vars,t,a,b)
• if length(f)==1
•     if length(vars)~=1
•         E = simplify(sum(diff(vars,t(1)).^2));
•         F = sum(diff(vars,t(1)).*diff(vars,t(2)));
•         G = simplify(sum(diff(vars,t(2)).^2));
•     else
•         E = simplify(1+diff(vars,t(1))^2);
•         F = diff(vars,t(1))*diff(vars,t(2));
•         G = simplify(1+diff(vars,t(2))^2);
•     end
•     I = int(int(simplify(f*sqrt(E*G-F^2)),t(1),a(1),a(2)),t(2),b(1),b(2));
• else
•     if length(vars)~=1
•         A = diff(vars(2),t(1))*diff(vars(3),t(2)) - diff(vars(3),t(1))*diff(vars(2),t(2));
•         B = diff(vars(3),t(1))*diff(vars(1),t(2)) - diff(vars(1),t(1))*diff(vars(3),t(2));
•         C = diff(vars(1),t(1))*diff(vars(2),t(2)) - diff(vars(2),t(1))*diff(vars(1),t(2));
•     else
•         A = - diff(vars,t(1));
•         B = - diff(vars,t(2));
•         C = 1;
•     end
•     f = f(：); abc = [A, B, C];
•     I = int(int(simplify(abc*f),t(1),a(1),a(2)),t(2),b(1),b(2));
• end
  - q3 {: ~. p, K! y

  M) z8 W1 B5 {, r7 A8 j2 D

yin123

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