matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）

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( P% d5 d$ `- @总述
6 D; P. K% C8 b$ v8 ?函数调用格式
应用举例
例1：梯形法求积分
例2：不同步长对积分结果的影响

$ W( E; \2 ?; t1 G5 @' x- w. I总述
. U* n+ B/ |/ E& S  y1 e% q! r
0 Z2 w: g! a2 f3 y  数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知，则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法，即已知数据点求积分。

0 z: q- b( i: E' B, h! @; t: D

. e0 u5 `' a( {& c8 x+ ]. d5 O
3 q% a) v0 }* s8 K函数调用格式
  v$ s6 q( V/ [% A
- [* D$ |' O  A  s( Q; C9 @, M- U

• S = trapz(x, y);
    |, r; ]# i6 D

应用举例
; D8 j/ h; S& ^
/ C6 s4 Y% p* T2 T2 W. E例1：梯形法求积分
" Z- c& @  X) ^. P# E


9 w' {. `; f" g2 s

• x = [0:pi/30:pi]';
• y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
• S = trapz(x,y)
  7 E. d) _2 h5 F* f# E

0 V; C$ F. R- B8 j# W1 N: b
) D+ N5 D1 g+ K结果为：S = [1.9982 0.0000 1.9995]

由于选择的步距较大，为 , 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充）
* o; J! ^9 z% M+ g# z
例2：不同步长对积分结果的影响
4 r% @5 z6 m4 Q7 n& H题目： 用定步长法求解积分 ，并讨论不同步长对积分值的影响。
0 O0 [( J. h2 h- c  y' I2 B" o# c7 P

• 首先，绘制被积函数的图像：
  

1 O: |. D: e! w  ?* l

• x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
• y=cos(15*x); plot(x,y)
  9 ^( `+ ~! |! X6 P4 E. @# }7 ^, K" T" {

- a1 S9 x; E9 i5 n1 Q5 I+ a# w
! L6 P: v" M! M# f  d由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。

• 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
  

• syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
• h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
• for h=h0
•         x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];  y=cos(15*x);
•         I = trapz(x,y);
•         v = [v; h,I,A-I];
• end
  $ F+ X/ ]# ^. X1 s0 C) v9 _. ]

" P% H. r& f1 Z* c
6 O9 I3 X, X+ l, R. I8 L得出结果如下：
6 {$ o8 d/ s7 o) C
4 ^) Z) w; O8 s: \- u

可见，随着步距 h h h的减小，计算精度逐渐增加。

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