matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）

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$ v; X$ H3 v% X- M总述
函数调用格式
应用举例
例1：梯形法求积分
例2：不同步长对积分结果的影响

8 ^/ j( h& ^& k0 f9 |2 ~总述
7 o* r: i0 c" F& w
  数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知，则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法，即已知数据点求积分。
/ D& \1 G- u. }4 t+ C$ `/ ]
0 s8 C" Y$ L5 ^9 g

$ z$ P1 c9 M# N9 v% F4 W+ P
函数调用格式
. Q. V( E+ F* p+ G" c2 a- T
  ^* }/ {% T& w( F6 ?3 l: L4 K$ T5 Z

• S = trapz(x, y);
  

" k+ \8 p* w$ G6 x6 _
应用举例

例1：梯形法求积分


+ o  E# L" G. |+ e" T; h7 G8 s
7 m5 {/ ]2 m# N# Q% Z

• x = [0:pi/30:pi]';
• y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
• S = trapz(x,y)
  ! ~' a3 m3 F0 R6 q: x: C

2 Q9 f9 L* S9 }- O* z
结果为：S = [1.9982 0.0000 1.9995]

由于选择的步距较大，为 , 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充）
$ K8 H5 h( N; c+ P' V& U
例2：不同步长对积分结果的影响
; B5 E) d: [- d2 T+ z- j, ^0 o题目： 用定步长法求解积分 ，并讨论不同步长对积分值的影响。

• 首先，绘制被积函数的图像：
  . ]3 ~' v* A0 u9 j

• x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
• y=cos(15*x); plot(x,y)
  

! I% ^, A4 w0 z. ~, v
, \% ^0 g4 v8 C6 e# Z由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。

" E3 Z, g0 o) r1 f

• 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
  + g! W: u# U. x& _* |/ U$ ]

• syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
• h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
• for h=h0
•         x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];  y=cos(15*x);
•         I = trapz(x,y);
•         v = [v; h,I,A-I];
• end
  

得出结果如下：



7 H+ |8 d$ _* P可见，随着步距 h h h的减小，计算精度逐渐增加。
; Z! i* ^$ ?" a9 Q

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