matlab实现隐函数求偏导数（impldiff函数）

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7 A; y7 w+ c6 i, e, ]) S3 Q3 _& d+ @总述
  S# S2 _4 B  Q' w/ a" p# s- q函数说明
应用举例
例1
例2
4 |; Y  }, Z1 e2 r函数实现

总述


, D- O6 U8 A; r# M$ ~. U
" X( O8 N( c2 C& t. r) r
  H; |- i/ [4 h  ?

' J' e" Y  h( w! J  {由前面给出的算法，可以编写出如下函数来求解隐函数的偏导数。
- h. z0 `6 y$ K9 \' [
6 c. k' n; @. a4 |函数说明
- O; D# |" _/ Rfunction dy = impldiff(f, x, y, n)
%impldiff
%隐函数求导
& P- \: `  s0 I% q4 }7 O, F" E2 _; W%  调用格式：
! E4 ^2 e3 X# f7 Z) x  J% P%    f1 = impldiff(f, x, y, n)
%  其中：f=f(x,y), n为导数阶次
1 w* T* S* @7 G9 }3 a6 K6 a/ W6 a%  注意：该函数求解后有时需要手工化简
* }$ `5 t( R& z: T9 l%
( D7 H( O  N" y% Examples:
4 w9 K( Y8 c! J  D7 L& v%  已知二元隐函数 z=f(x,y),求该函数的偏导数。
% MATLAB求解语句：
3 O8 ]% r; m3 z2 e, l/ J% Q%  syms x y
& v" D! V5 _- J# q/ {& W%  f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y)
%  F1=impldiff(f,x,y,1)  % 1阶
%  F2=impldiff(f,x,y,2)  % 2阶
%  F3=impldiff(f,x,y,3); % 3阶


2 D3 U# B3 E% i" i" N, A' \应用举例
例1
问题： 已知二元隐函数 , 求该函数的偏导数。
: Q, j/ }3 d! p; p) m, Q8 _
6 f1 V2 a; `* X5 @代码如下：
, Z4 ~. z0 I8 _. {9 Y
- t( F# C) P( M( T. p  Lsyms x y
f  = (x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y)
2 z: I; a3 Y( W4 dF1 = impldiff(f,x,y,1)  % 1阶
7 L: [. F+ X! I, C1 o. ]F2 = impldiff(f,x,y,2)  % 2阶
! E$ h1 W) s9 MF3 = impldiff(f,x,y,3); % 3阶
& }( E& `' v  w8 z[n,d]=numden(F3); n=simplify(n); F3=n/d  % 化简


1 h: [4 f  \' z9 I8 B例2
问题： 已知二元隐函数 , 求该函数的偏导数。
2 Y/ P" I% ~# B1 A  \2 L% h2 C5 k
代码如下：

syms x y;
) d! h) ~! \% P6 ^* [f=x^2+x*y+y^2-3;
f1=impldiff(f,x,y,1); F1=subs(f1,x^2+x*y+y^2,3)
$ D% T! @( k3 ?8 H- Rf2=impldiff(f,x,y,2); F2=subs(f2,x^2+x*y+y^2,3)
: ]! [8 X" Y0 Of3=impldiff(f,x,y,3); F3=subs(f3,x^2+x*y+y^2,3)
f4=impldiff(f,x,y,4); F4=subs(f4,x^2+x*y+y^2,3)
" P% O2 ^0 h$ C3 ^% E

F1,F2,F3分别为：


" v8 P9 W4 }) W2 K
4 A: c" j  s0 r1 E1 ?) k. f! fF4为：
# k+ c: X) L2 I. n/ |6 B

化简后得：


! j$ r5 g% o6 F( [  t! `函数实现
& O9 M8 P* `3 a% G, J% ffunction dy = impldiff(f, x, y, n)
if mod(n,1)~=0
) I: e( |6 Y/ D7 ?, q* x& g. F$ j. [    error('n should positive integer, please correct')
9 H, ^4 r" E( Felse
    F1 = -simplify(diff(f,x)/diff(f,y));   dy = F1;
. L, ]$ w9 M: `$ x% p& o    for i=2:n
        dy = simplify(diff(dy,x)+diff(dy,y)*F1);
+ G$ _8 ~* V# M' Z' A% S8 P! y    end
  @: R$ l# G2 q; _end
: T2 Y- J  L( R1 I

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