matlab求解普通函数的导数问题（diff函数的用法）

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目录
一元函数的导数
MATLAB函数语法
应用举例
+ p1 p, ]! Y4 j) d( U% a例1 ：普通函数求导
* z, f3 M4 j6 b3 k# i) ?5 [例2 ：复合泛函求导
! U' v. e' k3 c* {9 k5 V例3 ：矩阵函数求导
6 }4 `! d5 h7 ~$ @3 t$ {. ^多元函数的偏导数
! c5 f7 f; [; w9 K( W: rMATLAB函数语法
应用举例
例1 ：求偏导并绘图
例2 ：三元函数求偏导

) a9 j* o% s0 T8 ?) c8 G一元函数的导数
6 b& o; ~, g; I/ M' c) u6 o# ]MATLAB函数语法

• y = diff(fun, x)        % // 函数fun的一阶导数
• y = diff(fun, x, n)     % // 函数fun的 n阶导数
  ' t8 e: J, z' b

* o: u+ C* {8 c& N- a
注：自变量为唯一符号变量时，可以省去 x x x。
# `. B6 G! Y1 ~; o
* Y, A& i$ j* o6 N+ N应用举例
: ~+ I2 \" i, H: C8 X, c4 n. ~例1 ：普通函数求导
7 Y  |0 Z8 B! E4 P3 K8 d" W5 N给定函数

9 s  ~( {( K5 p( k0 Z, C: V- R​        
4 c: n2 W0 s) `4 e. _$ H+ P; @分别求其一阶导数和四阶导数，并绘制原函数和一阶导数的图像，计算求解50阶导数时所用的时间。
, H+ X- _' [! W" \

• syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); f1=diff(f)
• ezplot(f,[0,5]), hold on; ezplot(f1,[0,5])
• f4 = diff(f,x,4)
• f41 = collect(simplify(f4),sin(x))
• f42 = collect(simplify(f4),cos(x))
• tic, diff(f,x,50); toc
  

5 W$ E0 j; f( w0 e5 k, o
$ t% I0 x1 M$ O( K根据结果可知diff函数的效率较高。

例2 ：复合泛函求导
已知函数 ，推导其三阶导数公式。

分析：该题难点为如何定义 f ( t )
, h- f6 Z, t1 Q1 j. A0 p8 {' w. H: n
9 N( c: L* S4 f0 M

• syms t f(t)
• G = simplify(diff(t^2*sin(t)*f,t,3))
  

4 ~1 O1 D( v9 N9 F  E
当 时， F ( t ) 的三阶导数为

, y) v9 V; M# ~0 {

• G0 = simplify(subs(G,f,exp(-t)))
• err = simplify(diff(t^2*sin(t)*exp(-t),3)-G0)
    p, b6 W$ m/ t: e

例3 ：矩阵函数求导
! A" ~, D2 m7 f9 r0 J: _4 c
$ E  \- X" e! b- O- X. t
对每个矩阵元素直接求导
$ h  E# D0 s, d  u6 {3 b
9 t& y+ m: X# y# d/ s1 j

• syms x;
• H=[4*sin(5*x), exp(-4*x^2); 3*x^2+4*x+1, sqrt(4*x^2+2)],
• H1=diff(H,x,3)
  

/ u- X; \; E  y. i% o' l( V9 d
多元函数的偏导数
' i! I6 g! p' i* m4 P/ t8 ?% rMATLAB函数语法
高阶偏导数
1 }" @3 V4 W6 w3 d
的求法

• y = diff(diff(fun, x, m), y, n)
• y = diff(diff(fun, y, n), x, m)
  

6 n$ A/ ?5 s, f. z# D# j. p
: c* ^" U0 A7 A7 U' u: V6 ^) u6 S  D应用举例
例1 ：求偏导并绘图
: {& r1 e; ^% H- R" J% u' F  f求函数 的一阶偏导 ,并绘图。

2 {7 L/ k5 v, g  ~# t0 s$ P- N

• 求偏导数
  % _5 X; n# ]& d, k- b( z

• syms x y
• z  = (x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);
• zx = simplify(diff(z,x))
• zy = simplify(diff(z,y))
  

5 F1 W' e7 n4 b6 _8 X/ c! O

• 绘制三维曲面
  

• [x0,y0] = meshgrid(-3:.2:2,-2:.2:2);
• z0 = double(subs(z,{x,y},{x0,y0}));
• suRF(x0,y0,z0), zlim([-0.7 1.5])
  

/ X- j7 k4 T" N

• 绘制引力线（负梯度）
  

• contour(x0,y0,z0,30), hold on
• zx0 = subs(zx,{x,y},{x0,y0});
• zy0 = subs(zy,{x,y},{x0,y0});
• quiver(x0,y0,-zx0,-zy0)
  

9 g/ `. l- l3 W. K


8 S/ S. G+ X8 O9 B! R4 F5 B例2 ：三元函数求偏导
  `4 l9 O6 W. C, P8 T求函数 的偏导数

• syms x y z
• f  = sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2);
• df = diff(diff(diff(f,x,2),y),z);
• df = simplify(df)
  , f+ n7 U# z4 Q% a# c  a% _6 a2 _

yin123

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