matlab求解极限问题（limit函数的用法）

ulppknot

) v! O9 ]* F* N本文介绍利用MATLAB求解函数或序列的极限问题，顺便介绍limit函数的用法。内容主要包括单变量函数的极限和多变量函数的极限。
目录
3 p& |4 B9 C0 e9 S单变量函数的极限
极限的定义
; ]5 }8 s) }) @普通极限
左极限
右极限
  m1 B$ I5 e2 m  U0 G$ Imatlab实现方法
应用举例
6 v% U' k8 r/ t/ N% Z多变量函数的极限
0 [4 h2 U) q. A0 U+ ~9 w1 J7 kmatlab实现方法
4 a" L1 ^3 N/ G3 J* V" y8 M应用举例
6 R1 D' H7 ]2 [) I; ~, ]+ j单变量函数的极限
极限的定义
1 F! B$ e  |/ U, [
8 d# k2 Z7 n' W$ |; f* d+ T
6 W7 C( Q3 K3 `

  [/ ?2 N+ g; g) G) m9 c  l* Lmatlab实现方法

• L=limit(fun, x, x0)                % //普通极限
• L=limit(fun, x, x0, 'left')        % //左极限
• L=limit(fun, x, x0, 'right')       % //右极限
  + E  O$ A8 C' n# e' M

& `" T, Q9 G7 R& z
4 b# F8 u: k# ]3 t应用举例
求解极限：

" \5 ?3 ?  c7 {" e+ B* w) I+ Z
​        
, l3 p1 N3 a1 |0 ]* [

• syms x;  f=sin(x)/x;  L=limit(f, x, 0)
  

求解极限：



, v& K4 K& D7 ^8 \* Z) M

• syms x a b
• f = x*(1+a/x)^x*sin(b/x)
• L = limit(f, x, inf)
  

+ Q. c, @7 ^& O7 j. C+ E* T; ~% x求解单边极限：
$ `; u& y* t% f' n- k- `
! F4 [: `+ P3 L6 P7 M. Z
5 @( ?8 a9 T* h9 z; H& a! b, ~
/ }5 F$ R0 e6 K) s

• syms x; L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')
  

0 |2 Q/ u& m. s9 U3 S/ J( t$ k
用下面的语句还可以绘制出 ( − 0.1 , 0.1 ) (-0.1,0.1) (−0.1,0.1)区间的函数曲线。
& q7 e$ c2 X7 D" a5 O. @) C7 y. k

• x0=-0.1:0.001:0.1;
• y0=((exp(x0.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x0-sin(x0)))));
• plot(x0, y0, '-', [0], [L], 'o')
  : e& X; P  T& R+ ^. S0 }  P* |# c

8 m3 |1 }; ^8 F+ q4 O9 ?
! `# u' X8 r3 d5 T# W函数曲线如下：

. x$ |" y" j" S2 ]0 q2 k可见， 对这个例子来说， 即使不用单边极限也能求出函数极限值是12。
- ^  n  U* \3 I: E1 c
3 E5 v" H& b- H

• L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0)
  & f$ Y/ I/ x6 R" ~8 S' r

: C& r# J9 B+ H  v* \8 o求函数 t a n t tan t tant 在 π / 2 \pi/2 π/2 点处的左右极限。

• syms t; f=tan(t);
• L1=limit(f,t,pi/2,'left')
• L2=limit(f,t,pi/2,'right')
  " I# I  l+ h: F5 D5 \- p4 N$ `

0 A/ [1 G  K: s, N5 o7 n) R
求下面序列的极限
5 v1 I8 p3 ^1 ^; q

• syms n positive
• f = n^(2/3)*sin(factorial(n))/(n+1);
• F = limit(f,n,inf)
  

% t6 }9 `8 O& U. T- a5 {; p( O
! L9 }: o8 ?/ V6 u' k求下面序列函数的极限
% F* w5 O* r* ~+ U

• syms x n
• f = n*atan(1/(n*(x^2+1)+x))*tan(pi/4+x/2/n)^n;
• F = limit(f,n,inf)
  + N" [# S& G* o/ s$ }' }: y3 H

+ _0 j! D- W$ N# e& _
多变量函数的极限
6 E9 {) E) }7 c0 tmatlab实现方法
& ?# O8 I0 _1 M0 r6 j多元函数的极限也可以同样用MATLAB中的limit()函数直接求解。
1 v( d. a6 i( |6 k* |
) d" s# [- n. o: R" e假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的累极限
% O0 W1 Z# U; B' K4 B, p. C& i
则可以嵌套使用limit()函数。例如:

7 x* D8 `8 \( p. _9 h% {# j2 u

• L1 = limit(limit(f,x, x0), y, y0)
• L2 = limit(limit(f,y, y0), x, x0)
  5 O0 m; F; ^- H5 U& M3 u( g

( z8 G/ b# J0 k- z* G如果 x0或y0不是确定的值， 而是另一个变量的函数， 例如 x → g ( y ) x \rightarrow g(y) x→g(y)， 则上述的极限求取顺序不能交换。

假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的重极限


/ Z' a3 ^! I5 U! r' x
理论上不易求解，只有沿所有方向得出相同的极限才可，不可能用累极限方法求解。

& Q; o, H1 p( k. B+ D应用举例
试求出二元函数极限值
5 \& q9 J4 f. E8 i" }1 O

• syms x a;  syms y positive;
• f = exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);
• L = limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)), y, inf)
  

" }8 g/ H- p  |4 n( F9 j4 {
1 o" `) P9 }0 l+ {4 I2 j& e重极限的尝试 ，求解重极限

, l. p, |# [3 j0 `: ^
+ G* I8 h( H- q" z7 b6 ?

• syms x y;
• f=(x*y/(x^2+y^2))^(x^2);
• L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf)
• L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)
• L3=limit(limit(f,x,y^2),y,inf)
• L4=limit(limit(f,y,x^2),x,inf)
  

* l3 f. ^$ R( \3 X- x& ?- J
$ H7 @) G9 L% V. U7 X; }* ?; B判断重极限是否存在

证明极限不存在比求重极限容易的多，可以沿 y = k x y=kx y=kx趋近。

• syms r x y
• f=x*y/(x^2+y^2);
• L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)
  9 C0 g! @5 ~5 |/ m" B, Q5 Q( J

. \) c: _. o  o' l

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