matlab求解极限问题（limit函数的用法）

ulppknot

2 q1 c' s# J& X' q本文介绍利用MATLAB求解函数或序列的极限问题，顺便介绍limit函数的用法。内容主要包括单变量函数的极限和多变量函数的极限。
目录
5 J3 A) O4 ^/ E+ z# j! Z* `单变量函数的极限
极限的定义
普通极限
$ m, e, K: `) a3 j3 \左极限
, c" F& N4 a6 z; v4 M& E. `; z$ L右极限
matlab实现方法
: [# i! H/ c6 E" s5 ^% v% f) G/ k应用举例
) f) |# F' A8 F$ G- m- D多变量函数的极限
$ j& f7 l1 O) P0 q) Pmatlab实现方法
应用举例
单变量函数的极限
极限的定义

: ?! P/ D' @5 i7 V8 q! {0 f8 R! T% Q; s3 Z
7 p* `1 \4 K" T4 T) t6 [2 G% J/ z) S1 P$ w
. x7 o; Q8 K) y0 _( ~  O5 L0 Q1 g& f6 \
2 J. J" R' i( z" Z) P5 U3 kmatlab实现方法

• L=limit(fun, x, x0)                % //普通极限
• L=limit(fun, x, x0, 'left')        % //左极限
• L=limit(fun, x, x0, 'right')       % //右极限
  ) @0 z% J+ `  W9 l# r& H% l! i  z

应用举例
% l+ B5 ]$ H* d7 J9 Z' b( `求解极限：
7 T1 U8 a( Q! t1 F: A0 e1 l/ e

, y; |0 ]8 l7 X) w% a; E​        

• syms x;  f=sin(x)/x;  L=limit(f, x, 0)
  : h" D' e! e5 z  R7 q1 Q

求解极限：
/ ?, ^9 R5 o, y" y
/ o+ w( ?; K0 S! k6 I- M& c) W

• syms x a b
• f = x*(1+a/x)^x*sin(b/x)
• L = limit(f, x, inf)
  - Y; o3 Q' L* w' g, S' a* D

求解单边极限：

• syms x; L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')
  6 W" Y$ @. P1 d0 V1 q

- w5 u- F6 |% m; s用下面的语句还可以绘制出 ( − 0.1 , 0.1 ) (-0.1,0.1) (−0.1,0.1)区间的函数曲线。
, f8 |+ d' K% w. Z  c+ _: G! {

• x0=-0.1:0.001:0.1;
• y0=((exp(x0.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x0-sin(x0)))));
• plot(x0, y0, '-', [0], [L], 'o')
  & l% I8 b( N# V* h2 N4 K2 {7 `

8 {+ l8 S) {- u1 q7 _
+ f# R+ J8 }8 i$ M6 L, C函数曲线如下：
5 |- K' h$ C4 s& B& Q
  k4 {  U% V% t1 P+ i1 \% J可见， 对这个例子来说， 即使不用单边极限也能求出函数极限值是12。

& P. n. w9 |; P; E, I

• L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0)
  - n8 [' ?8 F( k

8 n3 {- \* _4 t  D" I
' N: f( m6 P# I求函数 t a n t tan t tant 在 π / 2 \pi/2 π/2 点处的左右极限。
1 g" h0 B- m; X8 ~! i: m

• syms t; f=tan(t);
• L1=limit(f,t,pi/2,'left')
• L2=limit(f,t,pi/2,'right')
  

3 f8 P+ {* F1 \7 n: j7 p
2 }6 K) U4 M4 ^求下面序列的极限
7 A( x% g- J- C- Y/ T$ I0 m( j

• syms n positive
• f = n^(2/3)*sin(factorial(n))/(n+1);
• F = limit(f,n,inf)
  6 g9 Y4 d. W( H+ l4 \5 I

求下面序列函数的极限
$ D2 m( b: {! n+ x
4 d& R1 q+ k7 K# B3 k4 o7 c8 D

• syms x n
• f = n*atan(1/(n*(x^2+1)+x))*tan(pi/4+x/2/n)^n;
• F = limit(f,n,inf)
  9 a% n7 E: `) u# N# T0 [0 ]

: f4 F% a: D! m, ~
9 y7 k' E) Y* ?/ _% V6 f多变量函数的极限
matlab实现方法
. v; R* ^" ^4 g/ v; j2 @多元函数的极限也可以同样用MATLAB中的limit()函数直接求解。

假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的累极限

; j# w9 c' h. K则可以嵌套使用limit()函数。例如:

• L1 = limit(limit(f,x, x0), y, y0)
• L2 = limit(limit(f,y, y0), x, x0)
  

: q( e- x, g- R5 f# O7 O
8 ], H1 _3 G  I" k' w% e如果 x0或y0不是确定的值， 而是另一个变量的函数， 例如 x → g ( y ) x \rightarrow g(y) x→g(y)， 则上述的极限求取顺序不能交换。
9 b# y* `0 ]1 E) u. y( M' j
假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的重极限
6 E# {( _4 i1 Z9 ~" B% P# k
, m7 b) @( ^  G' O" |2 E/ l

理论上不易求解，只有沿所有方向得出相同的极限才可，不可能用累极限方法求解。
: E# i- o/ q3 ?9 S9 p3 r
应用举例
* o3 y; ?  y% ~# p8 x3 v试求出二元函数极限值

% k  v( l( A  Y

• syms x a;  syms y positive;
• f = exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);
• L = limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)), y, inf)
  

重极限的尝试 ，求解重极限

, j$ R- [( n) H# m6 j  T

• syms x y;
• f=(x*y/(x^2+y^2))^(x^2);
• L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf)
• L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)
• L3=limit(limit(f,x,y^2),y,inf)
• L4=limit(limit(f,y,x^2),x,inf)
  

' @  h3 i" Q  s. @( [& N4 r判断重极限是否存在

8 x0 k, Z- g5 M证明极限不存在比求重极限容易的多，可以沿 y = k x y=kx y=kx趋近。
* ?% ?0 e! y; [& R
0 B, C! o9 R( j/ F) V5 D) I& E

• syms r x y
• f=x*y/(x^2+y^2);
• L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)
  

0 M4 E8 V6 Y! p3 b

NingW

matlab求解极限问题（limit函数的用法）