MATLAB求解方程之solve(Symbolic Math Toolbox)

pulbieup

. x2 s) _) r4 v通常在不确定方程是否有符号解的时候，推荐先使用 solve 进行尝试，因为 solve 相比于数值求解来说，它不需要提供初值，并且一般情况下能够得到方程的所有解。对于一些简单的超越方程，solve 还能够自动调用数值计算系统给出一个数值解。

solve 的常见调用形式：
" M$ _! x6 U! x7 g* [' H3 tsol = solve(eq)
sol = solve(eq,var)
9 h+ Q' T1 z; a1 Asol = solve(eq1,eq2,…,eqn)
sol = solve(eq1,eq2,…,eqn,var1,var2,…,varn)
% M) i+ E4 B" N% {$ C; @* zeq 为符号表达式，var 为指定的要求解的变量。如果不声明要求解的变量(第一和第三种形式)，则 MATLAB 自动按默认变量进行求解，默认变量可以由 symvar(eq) 确定。
2 N$ x- f" Y. K; S%例：求解方程组:  x+y = 1,  x-11y = 5

syms x y      %声明符号变量
6 x. [4 m- R. K: D4 e7 weq1 = x+y-1;
eq2 = x-11*y-5;
( ]' [7 z4 h+ Z  e/ T3 esol = solve(eq1,eq2,x,y);
, E1 c2 `0 o. t6 O7 o9 Lx = sol.x
( }0 `0 E" i% \! V. r7 k3 ry = sol.y
2 i) V( `* ^0 q6 A( X* A1 X; k$ P2 Xsolve 求得的解通过结构体的形式赋值给 sol，然后再通过 x = sol.x 和 y = sol.y 分别赋值给 x 和 y 。 也可以直接使用：
* V) l( M4 l. _( |! a2 g; E[x,y] = solve(eq1,eq2,x,y)
进行求解，但需要注意，等式左边接收参数时应当按字母表进行排序，否则 MATLAB 不会自动识别你的参数顺序，比如：
[x,y] = solve(eq1,eq2,x,y)
[y,x] = solve(eq1,eq2,x,y)
+ G9 W2 C9 [7 [! u1 P3 P/ isolve 会把答案按字母表进行排序后进行赋值，x 解赋值给第一个参数，y 解赋值给第二个参数，对于第二种形式，实际上最终结果是变量 y 存储了 x 的解而变量 x 存储了 y 的解。 上述情况另一种解决方案是用下面的方法指定输出顺序：
& c% q: n" V! @/ T8 lsyms x y
6 P* \: y9 v: N8 l3 q[y,x] = solve(x + y == 2,x - y == 1, [y, x])
$ I' P5 l8 q. e由于是符号求解，有时候得到的解是一大串式子（符号求解无精度损失，所以 MATLAB 不会自动将答案转化为浮点数），这时候可以用 vpa 或者 double 函数将结果转换为单一的数，但需要注意的是 double 的结果为浮点数，vpa 的结果仍然是符号类型（即 sym 类型）。
# r& }; g" `/ _8 G" h# }/ O9 }/ [
另外，很多人习惯对于 solve 的参数采用字符型输入，这种方式有几个弊端。
: l0 V+ A" }. T6 o首先就是程序的调试，一旦式子输入有误(最常见的就是括号的匹配)，则调试起来会非常困难，例如：
solve('10^(-4.74)*0.965*y/60000x/(10^(-4.74)+x)+0.1/36500+10^(-14)/x-x=0','10^(-3.2)*x+0.333/3000+8*10^((-3.2)*0.1+0.1/333*y','x','y')
这时要去寻找式子输入错误会是一件很麻烦的事，MATLAB 也不会报告具体出错的地方。如果采用符号变量输入：
- a+ D* t; D) P4 _* c- E- usyms x y
eq1=10^(-4.74)*0.965*y/60000x/(10^(-4.74)+x)+0.1/36500+10^(-14)/x-x;
8 a# a8 ^  x7 m9 \  Beq2=10^(-3.2)*x+0.333/3000+8*10^((-3.2)*0.1+0.1/333*y;
& @; `0 \, l* d' f2 X# Psol=solve(eq1,eq2,x,y)
8 l1 v6 u. K6 s& Z4 [会给程序的调试带来许多便利。对于某些错误，MATLAB 会给出错误代码颜色的高亮， 命令行还能返回具体的错误信息。并且采用字符型输入时，变量的赋值不能传入方程：
%例：x+y*sin(x) = 1

y = 1;
0 c2 l" N8 ~: _9 a" m7 i  X. gsol = solve('x+y*sin(x)=1','x')
MATLAB 会返回一个空解，而 sym 型输入：
+ {1 E4 U  J) w2 h- {  [syms x
y = 1;
% u' X' @8 o; }/ g) [2 Ueq = x+y*sin(x)-1;
  }2 k/ a4 @# ]$ I: s% `" Gsol = solve(eq,x)
能够得到 sol = 0.51097342938856910952001397114508，其中的区别就在于 char 型输入尽管在 solve 前对 y 有一个赋值，但 solve 求解时依然会将 y 当作一个未赋值的常数。
8 M) R( j' A0 M1 ?  Q9 u3 \最后，在今后的高版本 solve 将不支持 char 型参数输入，因此应该尽量放弃使用这种方法。
6 ^% }( w! i8 o7 O, A% z4 Y5 l

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