MATLAB求解方程之solve(Symbolic Math Toolbox)

pulbieup

通常在不确定方程是否有符号解的时候，推荐先使用 solve 进行尝试，因为 solve 相比于数值求解来说，它不需要提供初值，并且一般情况下能够得到方程的所有解。对于一些简单的超越方程，solve 还能够自动调用数值计算系统给出一个数值解。

solve 的常见调用形式：
1 w! [7 v! d- Nsol = solve(eq)
sol = solve(eq,var)
sol = solve(eq1,eq2,…,eqn)
sol = solve(eq1,eq2,…,eqn,var1,var2,…,varn)
' n2 {8 @+ d+ Ueq 为符号表达式，var 为指定的要求解的变量。如果不声明要求解的变量(第一和第三种形式)，则 MATLAB 自动按默认变量进行求解，默认变量可以由 symvar(eq) 确定。
%例：求解方程组:  x+y = 1,  x-11y = 5

syms x y      %声明符号变量
, I# \; m& e: D. P# B- feq1 = x+y-1;
% t$ K' i- `, z3 C% ^eq2 = x-11*y-5;
sol = solve(eq1,eq2,x,y);
x = sol.x
+ b/ t$ n$ L6 q$ Ky = sol.y
" r5 p/ l& B6 C- Usolve 求得的解通过结构体的形式赋值给 sol，然后再通过 x = sol.x 和 y = sol.y 分别赋值给 x 和 y 。 也可以直接使用：
[x,y] = solve(eq1,eq2,x,y)
进行求解，但需要注意，等式左边接收参数时应当按字母表进行排序，否则 MATLAB 不会自动识别你的参数顺序，比如：
) [5 T" R2 g, t" A[x,y] = solve(eq1,eq2,x,y)
[y,x] = solve(eq1,eq2,x,y)
solve 会把答案按字母表进行排序后进行赋值，x 解赋值给第一个参数，y 解赋值给第二个参数，对于第二种形式，实际上最终结果是变量 y 存储了 x 的解而变量 x 存储了 y 的解。 上述情况另一种解决方案是用下面的方法指定输出顺序：
# L, K6 h5 T1 Z9 E0 Y: ?# d  csyms x y
[y,x] = solve(x + y == 2,x - y == 1, [y, x])
/ ~' c# ^% s% Q5 A! b由于是符号求解，有时候得到的解是一大串式子（符号求解无精度损失，所以 MATLAB 不会自动将答案转化为浮点数），这时候可以用 vpa 或者 double 函数将结果转换为单一的数，但需要注意的是 double 的结果为浮点数，vpa 的结果仍然是符号类型（即 sym 类型）。
! p" ?* H& {( G) R% k
另外，很多人习惯对于 solve 的参数采用字符型输入，这种方式有几个弊端。
首先就是程序的调试，一旦式子输入有误(最常见的就是括号的匹配)，则调试起来会非常困难，例如：
solve('10^(-4.74)*0.965*y/60000x/(10^(-4.74)+x)+0.1/36500+10^(-14)/x-x=0','10^(-3.2)*x+0.333/3000+8*10^((-3.2)*0.1+0.1/333*y','x','y')
5 O' X8 ?: r# k8 q* C这时要去寻找式子输入错误会是一件很麻烦的事，MATLAB 也不会报告具体出错的地方。如果采用符号变量输入：
syms x y
eq1=10^(-4.74)*0.965*y/60000x/(10^(-4.74)+x)+0.1/36500+10^(-14)/x-x;
+ w  x# E% v+ S; N/ i3 jeq2=10^(-3.2)*x+0.333/3000+8*10^((-3.2)*0.1+0.1/333*y;
sol=solve(eq1,eq2,x,y)
% q  {2 c. b7 d: H) i3 U会给程序的调试带来许多便利。对于某些错误，MATLAB 会给出错误代码颜色的高亮， 命令行还能返回具体的错误信息。并且采用字符型输入时，变量的赋值不能传入方程：
%例：x+y*sin(x) = 1

y = 1;
sol = solve('x+y*sin(x)=1','x')
8 Y, B# N" o. AMATLAB 会返回一个空解，而 sym 型输入：
( V9 e% f" J8 e6 `: ~" `; ~syms x
y = 1;
5 T( `% n2 z8 S( }  _0 T7 x9 teq = x+y*sin(x)-1;
9 u, p! J5 W  {; lsol = solve(eq,x)
' D- N" M6 P( s' z" R- p能够得到 sol = 0.51097342938856910952001397114508，其中的区别就在于 char 型输入尽管在 solve 前对 y 有一个赋值，但 solve 求解时依然会将 y 当作一个未赋值的常数。
0 r. T+ J* e& o) F) r' Z最后，在今后的高版本 solve 将不支持 char 型参数输入，因此应该尽量放弃使用这种方法。
% `6 m* A# L  S4 z* \2 O9 T) c0 @; r
! ]  ]1 s6 N8 O, D& C* A# T9 v5 F% H9 _

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