线性时不变系统（LTI）对复指数信号的响应（数字信号处理的特征值与特征函数）

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一类重要的基本信号
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线性时不变系统对复指数信号的响应

5 V, L" o! G% n/ {2 M% Z# N" E9 R特征函数以及特征值定义：

证明复指数信号是LTI系统的特征函数
! \/ i, N: h* ]" U8 g3 E
' a, t7 S4 q8 R8 x0 _简单运用上述性质
3 ]. g# o7 [$ w
% L9 e& y# S( ~, M% X序言
) _# H: {3 H* k/ e: F/ H复指数信号有相比于其他信号优良的性质，这使得其在数字信号处理以及信号与系统中（统称为信号处理）具有不一般的低位，例如复正弦信号
  J% g2 U4 Q' m
, f" T+ u4 p; A% P8 b% k8 K( |它不仅是离散信号做傅里叶变换时的基函数，同时也是线性时不变系统的特征信号。

% V8 l+ e$ t" C( j看了一下内容后，你就会懂得上面的描述！

3 |6 W" k  \- R/ a$ ^一类重要的基本信号
在研究线性时不变系统时，将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的，这些基本信号应该满足下面的两个性质：

$ _2 ^: U2 D& v$ S5 U- f1、由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号；

1 T; k$ B, B& J  q+ \2、线性时不变系统对每一个基本系统的响应应该十分简单，以使系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表达式。

1 ~5 V0 |; I! m' F那什么样的基本信号满足上面的条件呢？

) b3 R, F/ x  p: X. |- r* j+ Z- H由傅里叶分析可知，连续和离散时间复指数信号集都具有上述两个性质，即连续时间的 和离散时间的 ，其中s和z都是复数。
# v/ {1 V# N9 f6 w
线性时不变系统对复指数信号的响应
3 I0 `# M( P4 @5 A2 S& v# y基于如下事实：

0 z0 a1 o7 d+ P" |6 W% ?( G& p一个线性时不变系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是幅度上的变化。
! v- V. A7 {7 {; q# K) a
连续以及离散时间复指数信号的响应分别是：
* x. ]  D9 w6 p, y6 [
% E' M# H+ G& D

5 i5 N" p% P0 P& f& Q其中， 是复振幅因子，一般来说是复变量s以及z的函数，但是对于变量t来说，它等价于一个常数。

这就说明了，复指数信号经过线性时不变系统的响应是它本身，即同样也是一个复指数信号，只不过幅度上有所变化。
3 s' }$ S/ s! ?, w, Y7 d
) Q+ j2 y9 P/ {$ X特征函数以及特征值定义：
% [+ B9 F  g6 v8 f' C1 [一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则称该信号为系统的特征函数（eigenfunction），而幅度因子称为系统的特征值（eigenvalue）。
/ ]$ C: R& z* \3 M0 F5 L
证明复指数信号是LTI系统的特征函数
# g, A. f* M6 i下面证明复指数信号确实是LTI系统的特征函数，也就是说复指数信号作为LTI系统的激励，其响应也是复指数信号。
3 {' Q: H- M2 A5 q( l2 q# R
( X. r0 B* g/ D  m. u手稿：
* i3 N/ Y  t! M1 L/ l& M( i9 V, r$ V
首先是连续复指数信号 ，求其经过线性时不变系统的输出，假设线性时不变系统的系统函数为
& }, L+ u1 |$ F
3 a: d2 o3 Z# _3 ~9 h$ ~8 u' ~
2 z1 r3 C. V- F; R! R' ?6 B2 C6 d* f+ N
5 R' d7 t5 j3 u/ V) t这就证明了连续复指数信号 是LTI系统的特征函数，而常数 就是与特征函数 有关的特征值。

" a* m5 L8 c, P" u# R下面证明离散复指数信号 是LTI系统的特征函数：


% p7 {! Q* d, g
8 H# U/ w: @1 f) s0 k+ B) X; t同样证明了离散复指数信号 是LTI系统的特征函数，常数H(z)是与特征函数 有关的特征值。
- A3 ~& c4 _! r8 s0 T* B; k
简单运用上述性质
, G  o  t8 ^3 `, d; s# A既然，复指数信号作为LTI系统的输入，其输出有这么简便的表示方法，真是造福科学呀！

我们不禁设想如果一个信号都可以表示成复指数信号，那么其输出岂不很简单？事实上也是如此，但多大范围的信号可以用复指数的线性组合来表示呢？

（我们将由这个思路来引出下一篇博文，周期信号的傅里叶级数表示，任意一个周期信号还真能表示成复指数信号的组合形式！）

下面以手稿的形式，展示上面叙述的简单运用（模拟情况）：
! v; ~6 V. v/ M* w' X

+ N* e2 R  k" h% f
8 O$ X- l. g# d; _& o2 P离散的情况如下：


: J  c  h: e: ?% X
这其中的 都是复数。

# l3 k: R1 P2 I8 @4 \这就说明：

2 U# d4 M3 q3 Z3 `( Y0 q对于连续时间以及离散时间来说，如果一个线性时不变系统的输入能够表示成复指数信号的线性组合，那么系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合；并且在输出表示式中的每一个系数可以用输入中响应的系数 分别与特征函数 有关的系统特征值 相乘来求得。

beachsun

线性时不变系统（LTI）对复指数信号的响应（数字信号处理的特征值与特征函数）