线性时不变系统（LTI）对复指数信号的响应（数字信号处理的特征值与特征函数）

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$ n1 o7 [# r1 M5 o5 e& k序言
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; r6 Y! Q0 X/ O- m一类重要的基本信号
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线性时不变系统对复指数信号的响应
+ a# B! b" U4 }3 s* s
: M1 X- ?  f: l特征函数以及特征值定义：

证明复指数信号是LTI系统的特征函数

简单运用上述性质
# X5 i5 G2 S2 G
序言
- O, ]$ t) z( k# j" o复指数信号有相比于其他信号优良的性质，这使得其在数字信号处理以及信号与系统中（统称为信号处理）具有不一般的低位，例如复正弦信号
; |; h' a6 q! p, {& V* s3 ]. O; N
它不仅是离散信号做傅里叶变换时的基函数，同时也是线性时不变系统的特征信号。
: C- h0 h9 N+ }/ N
看了一下内容后，你就会懂得上面的描述！
' L: U; `7 N! Z; B4 k: d2 W* P' l1 C
' {* [# Y6 u  `1 e( ~; ~% O5 r' t' q& d一类重要的基本信号
在研究线性时不变系统时，将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的，这些基本信号应该满足下面的两个性质：

1、由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号；
( x9 ]. K$ U# w2 U0 T
2、线性时不变系统对每一个基本系统的响应应该十分简单，以使系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表达式。

! \  a! a& M& E1 w2 q; L那什么样的基本信号满足上面的条件呢？
  B2 K* H& M, r) e# C
由傅里叶分析可知，连续和离散时间复指数信号集都具有上述两个性质，即连续时间的 和离散时间的 ，其中s和z都是复数。
  K# \6 E' r  ?( r6 L
; g8 f+ O. g2 Y4 \! `  d8 h- z线性时不变系统对复指数信号的响应
基于如下事实：

一个线性时不变系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是幅度上的变化。
+ x+ W0 b/ m. I) o* D" i
连续以及离散时间复指数信号的响应分别是：

9 B! R* B- o* A6 \& a9 v4 \+ m" y

其中， 是复振幅因子，一般来说是复变量s以及z的函数，但是对于变量t来说，它等价于一个常数。
! s+ I% C6 h& Y# _: ?+ w
这就说明了，复指数信号经过线性时不变系统的响应是它本身，即同样也是一个复指数信号，只不过幅度上有所变化。
' O$ p3 L/ |; y* m5 J( S7 @
特征函数以及特征值定义：
. d$ O5 u1 L$ u  A3 @( ]* T% R一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则称该信号为系统的特征函数（eigenfunction），而幅度因子称为系统的特征值（eigenvalue）。
  e& @* h& d# G- `9 X. @% k
* ^* Q9 t# O9 I- ?+ e- R证明复指数信号是LTI系统的特征函数
$ _& E& ], S6 F) I- O# a下面证明复指数信号确实是LTI系统的特征函数，也就是说复指数信号作为LTI系统的激励，其响应也是复指数信号。

手稿：

首先是连续复指数信号 ，求其经过线性时不变系统的输出，假设线性时不变系统的系统函数为



5 F, q$ G2 x! s+ V这就证明了连续复指数信号 是LTI系统的特征函数，而常数 就是与特征函数 有关的特征值。
+ U& q- P; |3 `5 z" z$ c" K
* k+ m/ g# S  k4 G5 S$ B+ x下面证明离散复指数信号 是LTI系统的特征函数：
' k8 i; B/ i( V, K" b/ K
, I5 V2 s3 H' k) e
; y4 C0 _# M$ Y% [. M
/ p1 _! l  T6 ]$ l同样证明了离散复指数信号 是LTI系统的特征函数，常数H(z)是与特征函数 有关的特征值。
7 C  U6 ~" ^* W. |
简单运用上述性质
% @8 b6 F; |0 W既然，复指数信号作为LTI系统的输入，其输出有这么简便的表示方法，真是造福科学呀！

$ |: f/ W& W% k$ V  @& Y( n2 B我们不禁设想如果一个信号都可以表示成复指数信号，那么其输出岂不很简单？事实上也是如此，但多大范围的信号可以用复指数的线性组合来表示呢？

" e7 I* l2 m, v" y（我们将由这个思路来引出下一篇博文，周期信号的傅里叶级数表示，任意一个周期信号还真能表示成复指数信号的组合形式！）
' _3 Z( X4 S  F2 j5 i/ i
6 J: A0 N9 u& F2 B* G0 B: b下面以手稿的形式，展示上面叙述的简单运用（模拟情况）：
% N" Q# |0 h% |. J$ z
, P; r6 k# }8 T# k  ^% [' \

离散的情况如下：

; R% N. X* n% Q) Q5 Y# S* w0 I$ s# i! a
5 J9 Y/ l! C5 J9 Z
: d7 w! i$ V6 B7 q. b! z这其中的 都是复数。
# [6 a7 P% k7 N% r' z! R+ W* K
这就说明：

对于连续时间以及离散时间来说，如果一个线性时不变系统的输入能够表示成复指数信号的线性组合，那么系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合；并且在输出表示式中的每一个系数可以用输入中响应的系数 分别与特征函数 有关的系统特征值 相乘来求得。

beachsun

线性时不变系统（LTI）对复指数信号的响应（数字信号处理的特征值与特征函数）