序列相关与序列卷积之间的关系

mytomorrow

关于序列卷积，之前写了3篇：
8 A  s! L& E3 @% P/ K. m1 m
MATLAB之conv 函数介绍（卷积和多项式乘法）

1 a1 u# ?( w% J: q& Q9 O, A! D/ C) t这篇介绍的是MATLAB本身自带的函数，但这个函数conv有个不如意的地方，就是求过卷积之后我们不知道各个卷积值的位置。

) i7 }  k$ m; p5 K6 ?然后我们后面扩展了下这个函数，命名为conv_m，这个函数在这个的最后给出。

3 m+ e: y( m2 s两个序列的卷积和运算的MATLAB实现（2）

还有一篇：

4 U. ]- K+ Y6 G1 v+ X$ c0 p两个序列的卷积和运算的MATLAB实现（1）

. b. y# _3 N% |这篇只是给出了一个实例，程序里面隐藏了求卷积值位置的脚本程序。
9 e9 K- v5 S3 u7 Z2 z0 b7 F
4 ]) f( Z% [/ f4 x; I序列卷积和公式：
' ^2 b! i% s6 k& ?


& W& p% T5 \6 C9 |而序列的互相关公式为：
+ a0 V" `, L$ L& N4 A
  }0 {, d6 S$ A

如果x等于y，那么就得到自相关函数的公式：



& A6 C. M( y$ N  U) n$ ^. e比较卷积和公式和互相关函数的公式，我们可以发现二者之间的关系：
6 M/ n" q, Q8 v7 ^8 W* l% E
" b4 p: S& k- c% z4 c2 ?
# Z0 k" D4 L0 G" w6 x6 ~& h, U
有了这个关系，我们就可以使用卷积的函数来求两个序列的互相关了。

  @, P0 m  N7 Z$ S首先给出扩展后的卷积函数conv_m的脚本：

function [y,ny] = conv_m(x,nx,h,nh)
5 D1 T! F/ u7 L0 M9 k% Modified convolution routine for signal processing
%___________________________________________________
% [y,ny] = conv_m(x,nx,h,nh)
% [y,ny] = convolution result
% [x,nx] = first signal
0 L9 i$ a3 G% |- V  D8 X! [% [h,nh] = second signal
, I. P7 }8 o; L5 i5 j& |6 k1 m% v%
nyb = nx(1) + nh(1);
nye = nx(length(x)) + nh(length(h));
3 T; X$ t) Y/ {7 w% U% W  u. Hny = nyb:nye;
y = conv(x,h);

8 A; }2 Q1 Y9 g& R; b
! d9 L4 t) S7 Y两个信号相加的函数sigadd：

function [y,n] = sigadd(x1,n1,x2,n2)
& c" o7 Z2 v4 c: u: q% implements y(n) = x1(n) + x2(n)
: A- Y# n  d1 D1 d% p% X5 e) ]" n% [y,n] = sigadd(x1,n1,x2,n2)
5 [8 Z0 G* x4 \- y% G# B%____________________________________
% y = sum sequence over n, which includes n1 and n2
% x1 = first sequence over n1
% x2 = second sequence over n2( n2 can be different from n1)
%
* d" |* a4 ^( H; G/ Fn = min( min(n1), min(n2) ):max( max(n1), max(n2) ); %duration of y(n)
y1 = zeros(1,length(n)); y2 = y1; %initialization
y1( find( ( n >= min(n1) )&( n <= max(n1) ) == 1  )  ) = x1; %x1 with duration of y1
- R$ n# h3 q$ r) ny2( find( ( n >= min(n2) )&( n <= max(n2) ) == 1  )  ) = x2; %x2 with duration of y2
1 V4 \! w8 E) [' ]  H6 n9 Dy = y1 + y2;

9 Y1 c6 F9 r, n. S' q3 ]
: O" T  S7 X* u  v! t# B7 \信号移位函数：

) l% a3 x. k- jfunction [y,n] = sigshift(x,m,k)
%implements y(n) = x(n - k)
3 r1 y3 Z2 W; f  L6 O%_________________________
6 ?2 P4 {, J+ J) F%[y,n] = sigshift(x,m,k)
, O4 }: ^. S) p" D%
n = m+k;
y = x;
& Y% b- e% L4 a1 Z5 O

预备工作做好了，下面给出一个例子：

设：
& _2 P7 i5 n( T, W
  H9 o/ w: t- }

  P0 [! t; e3 X8 I; ?. j" w  P是原序列，设 y(n) 是原 x(n) 受到噪声污染并移位了的序列

y(n) = x(n-2) + w(n)
0 G- A& C6 V4 l$ g8 `! g
这里 w(n) 是均值为0，方差为1的高斯随机序列。计算y(n)和x(n)之间的互相关。
9 v8 ^- O  V2 I" P; k
; x4 D/ a+ a' m/ r题解：

clc
clear
close all
9 c: z# y0 f4 ^4 ~
% noise sequence 1
+ y- Q  p% s6 @) _nx = -3:3;
; x! l$ [. E) j9 ux = [3,11,7,0,-1,4,2];
/ y8 K- V4 s1 U* Q% Q% f%
! X9 e  U" z/ m/ t$ m  [  n+ ?%  implements y(n) = x(n - k)
/ E) l- b% o* [; P$ Q%  _________________________
. h2 d+ Q8 t9 I8 L% \) ]" s%  [y,n] = sigshift(x,m,k)
: R% {3 D( W5 L' V) m0 z[y1,n1]= sigshift(x,nx,2);
. O- G- O  x6 l
: F7 f' ^! V6 [9 Z+ W& [w = randn(1,length(y1));
nw = n1;

' m- u) q' Q- S. N[y,ny] = sigadd(y1,n1,w,nw);

- K7 F" Z3 {2 C* V7 d% A: n9 T/ N[x,nx]=sigfold(x,nx);
% B, o: \1 S" c+ _% n' F0 u
1 a4 o" G6 @& T/ u4 m[rxy,nrxy]=conv_m(x,nx,y,ny);
/ ]' a( o/ \# N- f/ r7 F
) L  C# F8 g4 {% qsubplot(2,1,1);
stem(nrxy,rxy);
; D6 r0 n6 P& R1 {0 p& L  @title('noise sequence 1');
/ w- P8 u/ p+ l4 F5 A$ j, v. ?

6 {- P  r8 T2 \7 m% noise sequence 2
nx = -3:3;
x = [3,11,7,0,-1,4,2];
%
%  implements y(n) = x(n - k)
%  _________________________
%  [y,n] = sigshift(x,m,k)
[y1,n1]= sigshift(x,nx,2);
) b( D" ~# @# X9 O1 j: F1 q
w = randn(1,length(y1));
nw = n1;

/ I9 E( t1 T- k4 o9 D7 l0 d, O[y,ny] = sigadd(y1,n1,w,nw);
- e+ \: A" q% [1 ]* h0 P3 c
[x,nx]=sigfold(x,nx);
9 E6 L# N4 v1 y! P4 W, x: C' d; W
[rxy,nrxy]=conv_m(x,nx,y,ny);

subplot(2,1,2);
: e1 y7 l8 v% D6 n: Z0 Dstem(nrxy,rxy);
title('noise sequence 2');

9 t4 E! @# @) y5 J4 P  l
/ I  v7 D" H! O

噪声是随机的，所以把互相关的计算执行了两次，可见，两幅图的细节有一点点不同，但互相关的峰值都在l = 2上。

yin123

序列相关与序列卷积之间的关系