序列相关与序列卷积之间的关系

mytomorrow

关于序列卷积，之前写了3篇：
' r( M5 \! A: z) \
% \  o( B  r7 oMATLAB之conv 函数介绍（卷积和多项式乘法）

这篇介绍的是MATLAB本身自带的函数，但这个函数conv有个不如意的地方，就是求过卷积之后我们不知道各个卷积值的位置。

然后我们后面扩展了下这个函数，命名为conv_m，这个函数在这个的最后给出。

* h# |2 Z6 q$ N& D- \7 Z! R& Q8 w两个序列的卷积和运算的MATLAB实现（2）

还有一篇：
2 Q/ j9 Z0 }! U6 g
两个序列的卷积和运算的MATLAB实现（1）
3 ?& @9 n* m7 _2 _' \
4 T- e) @, w1 V1 i这篇只是给出了一个实例，程序里面隐藏了求卷积值位置的脚本程序。
: Q) J, x0 n5 [# g8 D# R3 @
序列卷积和公式：


3 F6 N4 g# }- E3 x
; I: p# k6 j% g; P而序列的互相关公式为：



, q# ?- l9 u9 \5 D( F* k% k如果x等于y，那么就得到自相关函数的公式：
4 t" V( L+ {4 o+ F


比较卷积和公式和互相关函数的公式，我们可以发现二者之间的关系：
0 a7 ]0 r7 G& n% h0 ^1 D# A
' s1 A  N0 e+ c
% x, J( S2 l- W( Z# t  H
有了这个关系，我们就可以使用卷积的函数来求两个序列的互相关了。
) [% u8 C1 l$ X/ F
8 I' x+ s4 r8 ~! ]) j3 Q) D首先给出扩展后的卷积函数conv_m的脚本：
* F6 G; e/ W7 E+ [4 Z9 x
function [y,ny] = conv_m(x,nx,h,nh)
% Modified convolution routine for signal processing
%___________________________________________________
% [y,ny] = conv_m(x,nx,h,nh)
3 `' T- Y2 a7 n; x2 Z. w% [y,ny] = convolution result
! [+ A. ]. I# y. E+ p% [x,nx] = first signal
$ D8 W# H! o4 c! Q4 e- H% [h,nh] = second signal
4 c" X6 b0 a8 v5 ~4 V, L3 C%
nyb = nx(1) + nh(1);
nye = nx(length(x)) + nh(length(h));
ny = nyb:nye;
2 j* {9 {- E( wy = conv(x,h);


两个信号相加的函数sigadd：

function [y,n] = sigadd(x1,n1,x2,n2)
  ~( w, ?8 b( W6 ^* |! X/ h% implements y(n) = x1(n) + x2(n)
1 r) }8 H2 ^% Z- U- p% [y,n] = sigadd(x1,n1,x2,n2)
%____________________________________
% y = sum sequence over n, which includes n1 and n2
% x1 = first sequence over n1
% x2 = second sequence over n2( n2 can be different from n1)
%
, n9 J# _( f: @" [+ t2 s/ v) fn = min( min(n1), min(n2) ):max( max(n1), max(n2) ); %duration of y(n)
4 f& d. T; W! F; \9 xy1 = zeros(1,length(n)); y2 = y1; %initialization
y1( find( ( n >= min(n1) )&( n <= max(n1) ) == 1  )  ) = x1; %x1 with duration of y1
. l$ Z6 C# `# o" c2 G' P# Zy2( find( ( n >= min(n2) )&( n <= max(n2) ) == 1  )  ) = x2; %x2 with duration of y2
y = y1 + y2;


: ^, x, J+ c4 S) `( ?' }信号移位函数：

, F6 S: R5 ]2 U( Gfunction [y,n] = sigshift(x,m,k)
  ]& G$ P2 r4 k- }! A2 \. Y5 t%implements y(n) = x(n - k)
%_________________________
4 J" X+ w2 ]8 X" A%[y,n] = sigshift(x,m,k)
2 v" y3 p1 n1 l) Z% S%
6 Q+ C+ ?* F4 _6 b& X$ mn = m+k;
) a. }6 P1 ]; t* y$ vy = x;
1 s$ `  z2 X, I7 r* W0 {

$ D+ r0 H4 b% k0 E* l预备工作做好了，下面给出一个例子：
  C' T0 p9 G$ E. O
设：
$ h+ Y% N' [& G% F

+ y4 b1 i6 Z3 E6 \6 o0 I
, z9 Y4 y- C8 U$ J+ Z" N3 P3 v1 x是原序列，设 y(n) 是原 x(n) 受到噪声污染并移位了的序列

y(n) = x(n-2) + w(n)
/ X7 S. A3 A4 O& S7 l
这里 w(n) 是均值为0，方差为1的高斯随机序列。计算y(n)和x(n)之间的互相关。

- ?4 R7 e! N5 f5 i% N题解：

9 u( p3 ~/ T) T, e. }clc
clear
$ }7 u6 Y* A0 u0 Zclose all

% noise sequence 1
7 A$ Z4 O$ I& [# p2 qnx = -3:3;
x = [3,11,7,0,-1,4,2];
/ w. g! b: D6 c0 K# y% u%
! K; E$ Z% A9 I%  implements y(n) = x(n - k)
%  _________________________
%  [y,n] = sigshift(x,m,k)
% t+ }* y! @+ \7 D3 [7 j- V, w5 U) S[y1,n1]= sigshift(x,nx,2);

1 W+ n6 w" v9 l. Gw = randn(1,length(y1));
nw = n1;

[y,ny] = sigadd(y1,n1,w,nw);
* e0 O: e: b9 ]( ^3 ~
3 {( e& v; l8 w: ?[x,nx]=sigfold(x,nx);
/ C2 Y# c) F3 P# @! ^7 T7 D
[rxy,nrxy]=conv_m(x,nx,y,ny);
) z; F. s) l' ^7 e
subplot(2,1,1);
stem(nrxy,rxy);
' @3 Q1 t. A( j1 r# I8 U/ j1 _, @title('noise sequence 1');
' u; q4 b; a( O9 m* @' Y- B3 \
9 v) o7 y9 c- U8 X
% noise sequence 2
. E9 W& g" O1 Q% `$ l- W) U8 Nnx = -3:3;
x = [3,11,7,0,-1,4,2];
. q6 y& I2 f7 e8 \) }%
7 l7 j3 Y* N: w% _6 s' c%  implements y(n) = x(n - k)
$ c# W/ m+ a8 d1 q& [3 t%  _________________________
%  [y,n] = sigshift(x,m,k)
[y1,n1]= sigshift(x,nx,2);

9 X4 ^" {$ O' A  F, Nw = randn(1,length(y1));
nw = n1;
' |2 a+ b0 y. k5 R6 y' ?
" g/ P. q. I, _5 J2 l[y,ny] = sigadd(y1,n1,w,nw);
1 C/ h$ K- c9 D% L+ _' f& N/ U
  K% U# p0 i6 h/ m5 b* K[x,nx]=sigfold(x,nx);
! C* w& A( S" ~5 x: V8 _5 q1 N# M
[rxy,nrxy]=conv_m(x,nx,y,ny);
( y+ O) @6 {/ m  V& w
% @4 W7 T- i5 O+ l* E( l. psubplot(2,1,2);
stem(nrxy,rxy);
title('noise sequence 2');
* O! G0 x- j! `- w4 u

5 ?2 ~8 P! Q2 }9 d+ ?' l# ^  v/ ]: {

) Q. z. D7 W9 ~- f8 d9 N! Q噪声是随机的，所以把互相关的计算执行了两次，可见，两幅图的细节有一点点不同，但互相关的峰值都在l = 2上。
% k0 o9 f( V* A9 w8 ~

5 }2 p: A  C+ D# B( q/ W) Q' _/ h1 I0 A


/ z9 j+ M. y. v) Z* V% F% h

yin123

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