Moore-Penrose广义逆：可解决MATLAB报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能...

haidaowang

上一篇讲到：方程AX=b的解的讨论（特解、通解、零空间向量等概念）及其MATLAB实现，程序中用到的是mldivide或者A\b的方法（二者相同）来解方程。
! P3 i" U6 X2 }4 t' q
8 V! i2 y# r$ }* u6 d但实际上运行过程中我们会遇到：当AX=b线性方程组是一个病态方程组；或者A是奇异矩阵（即det(A)=0，不可逆），没法求逆，用不了inv(A)方法只能用A\b，此时MATLAB会报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确”…网络上很多人问这个问题怎么解决，其实不是MATLAB的问题，而是MATLAB内置算法的鲁棒性问题，直接用A\b方法无法处理这个棘手的问题。如果没有矩阵论或数值计算方法基础的同学可能会一头雾水。本文借用Moore-Penrose广义逆来解决这个问题，帮助大家理解带奇异矩阵的病态方程组如何解决。
% M5 {' A; p* t. F$ ^
/ ~- G4 b& A. F首先我们先来看下mldivide, \在MATLAB中的含义：
8 D! c9 H" Z, {* R, y" w! V& E6 b
7 P, \8 l9 N. a) Z! J
2 L9 x6 w2 P, s- V5 T0 h% j

+ {2 U$ k2 ]) }. _0 E+ w3 ]! X8 h( g


- k* K& y% @% \! ]# Q. |/ Y  Z也就是说，A\b的方法是可以求包含奇异矩阵的方程组的，但是可能会出错。而且错误可能非常离谱。（这个例子告诫我们，不要以为MATLAB算出来的结果都是准确的，MATLAB也不过是调用一些算法进行运算，每个算法都可能存在一些缺陷，无法处理某些极端的情况）。
/ d& {0 s5 s9 O) k
  ^2 b! s) N9 |& o- M4 v
这里就涉及到数值计算方法领域矩阵的性态的问题了。我们可以直观来感受一下：
8 M9 h/ _. q7 k7 H6 m
假设如下方程组：


: _1 S8 @3 F6 H, ^
+ k* Q' x  B( }其精确解是(1,1)。
* A  N& z7 l% m, U- A" B& u* |
若对左右边都做一些非常非常微小的变化：
3 g& k$ F1 B, j

7 q) g& s4 k$ ?2 u& b5 E0 C1 q
其精确解变为：(10,-2)。
' W6 Y2 f4 j( E7 C
& P) D+ a5 `) a& ?6 z一个非常非常微小的扰动就让方程的解产生巨大的变动，我们称上述方程组是病态方程组，系数矩阵A是病态矩阵。
& D  t  V) |7 q/ @& A
如果我们遇到不是方阵的矩阵，或者不能求逆的方阵，要想求解AX=b，避免奇异值导致MATLAB产生错误的情况，我们可以采用“伪逆”来帮助我们解决这个问题。

广义逆矩阵：
" M: B' T' U( ]; R
对任意一个矩阵A，提出四个条件：


- p9 M9 G1 |" P7 i. S1 Y. Q
8 s* q4 P* u* W- O- k% A如果存在矩阵G满足上述的一部分或全部条件，G就可以称为A的广义逆矩阵。最常用的四种广义逆矩阵定义如下：
2 ^8 B) y8 _4 g! A) r
1 W' J  U% D  x. Y( B, c8 @' t
" {* P6 W' S$ n2 _$ \6 H9 b
MATLAB中自带的pinv方法，就可以求矩阵的M-P广义逆，即A+矩阵。

9 R8 g2 ^3 Z  S& D大家可以查阅官方文档看具体应用实例。



如果我们求出A+，就可以有另一种思路来解AX=b了：



这里，通解的表达式还是类似于X=X*+X0的形式，A+b相当于是特解，后面那一项就是带系数的自由解，y可以取任意数，注意维度匹配即可。
- r" ~; z2 V% H0 _; |! b4 _
  f$ L2 G3 M: \5 q" K+ \所以，大家调用pinv求出M-P广义逆，然后用x=A+b + (I-A+A)y这个式子构造出通解就可以啦！

8 T9 X8 W3 u5 k

+ M4 ?4 b7 P7 T! |( V

% M! a! S! k4 }/ V" S( u

youOK

太实用了

yin123

可解决MATLAB报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误