方程AX=b的解的讨论（特解、通解、零空间向量等概念）及其MATLAB实现

haidaowang

求矩阵形式线代方程组，讨论AX=b的解是最基本的一项内容。

  ^+ c' U( l* n; F0 x: n3 yAX=b的解 = 特解 + 矩阵零空间向量

3 O7 t5 x3 _! w  X/ n4 W, ~( B特解：AX=b的自由变量都=0时x的解。
- z9 V, ?/ n& @9 }7 {6 n" r
" ]6 ]4 g9 u/ a矩阵零空间向量：AX=0时x的解空间。矩阵零空间向量又牵扯到了零空间的概念，就不赘述了。我们可以简单记为：
# O9 ^& \+ A5 p  C/ o
$ K2 a' ]/ d7 m" y2 j5 h" P  aX = X* +

1 R! u8 [2 d6 g1 ^/ B

: r8 f0 `' ?+ ~  C# N$ S/ \% y零空间向量：

, S1 D/ |+ P1 z
2 `, r, h  C! z( Z. X
; {: L8 u6 S* r, A9 f2 y关于可解性：

6 m( _/ ]' Z/ j0 W; d
7 P$ G, k% }$ o  \: c; w# b
通解、特解：
3 J+ G* K0 U4 e$ Y; r( \( u1 \
  ~+ u+ N0 h1 V9 w4 c$ q7 u

0 b: Z8 n9 E! t# v3 I对上述例子，写了个简单的MATLAB程序，用以求AX=b的解。更全面的代码，可以参考文末的参考文献。
5 u) x1 C. @2 N
$ }/ ^- Q# w5 C0 W- ?A = [ 1 2 2 2;
    2 4 6 8;
, P0 S' |' K4 a  @$ H) b    3 6 8 10];
b = [1;
# L8 g# ~; N# R- h/ F8 o" t8 M     5;
     6];

format rat;
syms n1 n2;
0 g, F! [! G0 v% FX0 = A\b %零空间向量，即AX=0时X的解
8 z  V7 c) E" k) ^& X' W" yC = null(A,'r');
' K5 p& ]2 ?+ t7 U/ }( ^. zX = C(:,1)*n1 + C(:,2)*n2 + X0  %X通解
1 Q! T+ |5 j0 _4 M; s; m2 U$ x" c

0 h" n+ n" y' ]  C# @3 b
8 U9 h% {8 ?/ |! M

4 b, \& H$ D4 [: h

NNNei256

方程AX=b的解的讨论（特解、通解、零空间向量等概念）及其MATLAB实现