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x
* z* c3 e1 k" }- \: o
符号计算的特点：一，运算以推理解析的方式进行，因此不受计算误差积累问题困扰；二，符号计算，或给出完全正确的封闭解，或给出任意精度的数值解（当封闭解不存在时）；三，符号计算指令的调用比较简单，经典教科书公式相近；四，计算所需时间较长，有时难以忍受。
. ^. a- b: _: h( {3 s I
! v7 K- Q2 C! J& h; P" t
- e0 I, n+ r/ d: N# q
$ F/ D7 }6 l/ \' o6 N9 B/ [5.1.1 符号对象的生成和使用
; p( g F1 Y" a【例5.1.1-1】符号常数形成中的差异9 A$ b- J" h% a, Q: l. n2 v @
+ K6 x4 D& k/ E8 @" ?. U4 Z4 S
a1=[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)] % <1>
8 Y# o$ O9 g1 m: N3 X4 E% V* H1 P! E% F4 y) `( D3 ~
a2=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]) % <2>! G& L; F+ m ^$ y6 V* O1 U4 Q
# m: o; [; B$ L7 _a3=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)],'e') % <3>4 b, k7 x* V# Q V4 Q1 o
: E! a# W/ W* Z+ J8 d
a4=sym('[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]') % <4>
+ z$ a7 Q. D5 A; ~& K
, E* y+ f: _$ q8 ~# Ea24=a2-a4 ) h1 i& q1 ]7 \% a
4 r6 l; u( @& U: Z' q( v: h# E3 p
a1 =
8 d B: x8 C; F5 x j
! T, l% q' U9 c7 f 0.3333 0.4488 2.2361 5.3777# V9 u; ?/ I) @' |) y4 ]
9 e: ?9 i* h0 Q# Q2 fa2 =
4 L- I8 W# @2 {# z9 q
) n1 [- M/ \" E" p; o/ I2 c; F[ 1/3, pi/7, sqrt(5), 6054707603575008*2^(-50)]9 E+ ]$ J, F/ K# c! t: k
& j; `. I# } R8 ]& Y6 V) I
a3 =
) H D/ W; T) W1 [( v; E0 i: d& l" `9 X2 ?- L1 V9 h0 A4 ` q
[ 1/3-eps/12, pi/7-13*eps/165, sqrt(5)+137*eps/280, 6054707603575008*2^(-50)]
& L, \0 ^& M1 H a
5 A- S7 m& i% v0 q) pa4 =* L6 U3 L0 |% y% {9 |* X$ m
- B" M, k! ~1 L6 h# G' j& v) P. c
[ 1/3, pi/7, sqrt(5), pi+sqrt(5)]/ T, j* r# t) N/ T+ P8 W% x. N
# h# {6 g1 i' l# ?& C
a24 =9 ~7 y3 \$ N0 `3 N
& b- t2 ^( J) f[ 0, 0,4 }! ?2 w" x9 g* d
. z' i, L: `$ b5 z/ g; g& N0 f o# { 0, 189209612611719/35184372088832-pi-5^(1/2)] / ?% v9 j! N$ R, Q
: L' q, \9 q7 b" o+ E* J7 t8 t
- r8 m( t! c: w- V1 ?. j
% A5 O7 \# ~3 Z9 z2 q, Y 4 n3 r5 \2 w9 {- r% H( S: `
0 @& K% |6 n* z! w, J
【例5.1.1-2】演示：几种输入下产生矩阵的异同。
E m- n7 @ V' }
& C. J9 ^) V/ s* u5 Da1=sym([1/3,0.2+sqrt(2),pi]) % <1>+ k/ a% [4 r% y: s7 a9 K
) B( z) k6 \) Q7 ]' c2 A& m' Fa2=sym('[1/3,0.2+sqrt(2),pi]') % <2>1 W5 r# b/ {. q# N) V, q% _, p
! ~0 t* S. | v' ^$ D3 t( w1 J# S
a3=sym('[1/3 0.2+sqrt(2) pi]') % <3>
6 S6 F! R( {) e* w( F, d/ l6 D4 Z) @6 C) Y6 w6 Q/ r% _, n7 R
a1_a2=a1-a2 %
$ _( L; ]4 V1 H: H
! X) W: I7 W3 @( b" K! `" Q Na1 =: x; c ?* l( m" s8 S4 H
6 x( p Z7 r: Z0 b3 ~5 m
[ 1/3, 7269771597999872*2^(-52), pi]' u( _! B' E' \5 y( c
5 g2 L& s) H3 o. I
a2 =$ Y2 \/ v. P1 c% A. o1 K0 o
% V: O' A9 h1 X+ s6 Z
[ 1/3, 0.2+sqrt(2), pi]3 I2 z0 E4 G- O. z* `( Z' S9 o# i
" V- C2 d* v. i8 K2 Ga3 =# ]: \7 `8 Z) `+ V. q
# x! v3 F& I, `! A1 R
[ 1/3, 0.2+sqrt(2), pi]
7 Q' R2 G( a V. N
# r* F( {! G% x( ]- c: Ra1_a2 =
4 m# f6 @7 y# \7 K% L5 Y$ l9 r
[ 0, 1.4142135623730951010657008737326-2^(1/2), 0]
4 W) b$ f+ A' ^/ Q6 C/ H' T
4 h" S4 \6 |, R 7 Y( t$ a/ G A. g+ g& t& q4 Q
) ?/ _7 f3 A. n; B, \, E% ] # O) s* B9 I' H, p) J$ x8 B* l
" Y3 D1 |8 ?; @+ y0 k. L【例5.1.1-3】把字符表达式转换为符号变量% T5 M1 d D* S `0 y4 I
6 C V! }1 X! f6 v) i$ }
y=sym('2*sin(x)*cos(x)')( ^* }) u$ }$ X/ B: \
+ I* W C! H1 K
y=simple(y)8 x6 K- X8 L& u8 ~$ H N9 G; `
+ ? M+ s1 R3 L [y = s5 h, l2 \- c) I; s, c8 p* ]
) i/ \& l$ c7 j+ j7 a7 e% u2*sin(x)*cos(x)
s* e! ^! u' a/ ]
. k9 m4 [: O& V& sy =) D4 \- [; o& l; d( E3 v* `
- T5 f2 p3 O# F* E7 t
sin(2*x)
! a( D" {& N" M" I
4 R9 k* n0 F+ R' A' y& T' |' Q
; V$ q4 F; J( c" k
I+ ?( d# L, v. p7 H 3 z4 |$ n0 ~( Z5 j! V8 G
% q/ O& x3 |" j! _. M6 }+ f" L
【例5.1.1-4】用符号计算验证三角等式 。
. i9 L& @4 }' m$ z+ u
; M5 s5 J8 Z# i' i# u4 y9 ?0 Isyms fai1 fai2;y=simple(sin(fai1)*cos(fai2)-cos(fai1)*sin(fai2))
0 x4 [' z8 F; s
6 f* \1 S q5 P( g( a) ky =
6 d# ?# O% U/ G! ~: z2 n7 p" W, l- I7 v' J2 P
sin(fai1-fai2) 7 l4 \1 u* F) M9 g
6 J t/ P4 v; S
3 f, G( }* C# G' c: @9 T/ S3 t# O# B2 a; `' Z6 A9 i, b$ I# K7 h3 n
* N- c- B% } m+ C/ ?
1 l9 I$ I' V1 j- F) B- A【例5.1.1-5】求矩阵 的行列式值、逆和特征根) _* _: m3 u# C" L* N H; X: z
/ ~3 h* s v0 M: ~, asyms a11 a12 a21 a22;A=[a11,a12;a21,a22]
! f0 c& z! W; g0 e# y
& ~! s" e K, \ n6 K/ nDA=det(A),IA=inv(A),EA=eig(A) `* p3 t* }1 E/ D+ C* |9 B
& B P1 y4 W6 }A =4 [- e0 W( Z, G- x$ \
; i; C; y( y6 ]" A[ a11, a12]6 [' d6 ?+ f6 T9 R) K
( G2 C* {$ h" {1 \0 n[ a21, a22]
, ]$ L% Y+ q5 U
: P6 l( g1 \: N8 m+ v- F8 ^DA =- t9 X) q" I! I. K0 q/ h
6 v3 [ _$ N: G5 ^a11*a22-a12*a21
8 \: ^2 F; ^* {( i* Q7 o, z& H' I7 K, V( Z
IA =
6 p% ]% p) k( ?3 }# q+ t! f" j9 L% I* z5 P& i N. C
[ a22/(a11*a22-a12*a21), -a12/(a11*a22-a12*a21)]
. Z0 F; K( J6 R( F
/ k) L% r/ N! X, t; ^2 f[ -a21/(a11*a22-a12*a21), a11/(a11*a22-a12*a21)]
" [! y/ Z/ V4 u& ~' D9 W0 M6 h9 m+ V( f3 |
EA =9 e; H; k& @. o6 @1 C( A" k% a
9 b8 C9 q+ M* \
[ 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]
7 I9 A% C. \9 i5 ~0 p5 j. y# p3 p3 B: U ?+ f5 b* H6 T* u( G
[ 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]
3 V0 f/ m2 T; Y9 K$ G( D) d# O0 c7 f
9 D" Q1 I# [9 ]% V
% t' {, r( \/ y2 c4 L% T数据对象及其识别指令的使用。
6 l6 N1 m% G" x# n+ B9 w2 F
* B0 h" i) v- C- p2 M（1）
+ q( `! t7 i4 t; X, z
/ e6 H+ r$ V# u e. vclear,a=1;b=2;c=3;d=4;
! A7 g" k, o6 u
! a. O# A9 ^& {1 P, p1 eMn=[a,b;c,d]
0 h# g& f% L/ p2 q. `, d2 [( P& ~* Q. r
Mc='[a,b;c,d]'% k! V" r2 r1 U# ]
4 ?9 i5 W' Y, W0 Y K( M2 BMs=sym(Mc) ' H. O7 z9 u+ `+ d; y' A3 p- D
5 d/ _3 r( _: J! N. I: sMn =; D3 A# B6 J+ |1 T r9 b4 @
/ f& j1 x+ w/ }! t6 Y 1 2/ {2 U8 W: n# A' ~5 L2 g
. e+ K/ Y2 _: G$ Z
3 4
; ?# o2 {8 e( f, u( A+ a
) y' s1 {# i5 q9 TMc =' ]1 b- X$ V. F
7 \" B2 P) l. O/ K- F/ [+ K[a,b;c,d]0 e- w7 B/ B9 v1 b1 L* Z
/ d9 _/ S& ~7 r! c% l) a1 f; U/ `0 s, EMs =
0 h( g) Q- A( U, z/ I
3 b8 e$ f, o* c% G6 t[ a, b]( |! x& u- x+ c
3 w: u/ k5 I0 r$ t5 c. ]# `- N
[ c, d]
1 t% f8 p2 n; K! r; {7 e( ~; v2 i5 c5 C6 T/ T$ q7 d7 Q. w
1 ~) [% L/ Q8 S: R0 R+ j W
, v, R+ G: i- g" A0 l
（2）; x p9 r4 j3 Y" x! f0 _
/ \- n8 P/ ~- R; d4 y" aSizeMn=size(Mn),SizEMC=size(Mc),SizeMs=size(Ms)
& ^% r+ F- ^6 J. M. S( q
* V5 H" w: s7 Z: _2 v+ d' kSizeMn =
3 k" u) a1 m/ N8 A' }6 r4 E
Z$ ^5 `1 o* e: ?1 k | 2 29 G3 T$ L# n' I; q: T
) n7 t3 R, i9 a% @4 S% ~* V1 W
SizeMc =2 @7 h6 |3 S& x3 J$ R! L8 V/ k
4 s3 v5 B, b4 D, w! C6 p4 M* g& K 1 9, h! y9 {7 C9 ` p0 x
, F7 ]! ]/ }5 U+ f, W. c
SizeMs =
2 j8 o$ v9 i% {+ {) d0 Y( P$ J2 O
3 N; `, ?8 X8 | 2 2 + g. v9 F& E! @: G, X3 T% W! k9 K
7 v6 }8 L( j1 U* ^* h' Z1 T3 _5 E 1 N9 J7 P, n. ?, J" c
3 q) w: |! J& c9 i
（3）6 c: g8 w' f8 p' w! H
5 ~$ X3 @/ m2 t9 WCMn=class(Mn),CMc=class(Mc),CMs=class(Ms)
2 C9 g! ]$ ^% z/ K D% [" U
" r2 k4 e. F2 e PCMn =
! I) N/ T$ G: o" a; Q7 [3 \) g; J: C. Z: v+ h4 I, D1 X1 j/ y
double
3 D: W( _& }2 Z" c. m3 C! }" B1 n A: s+ W( B9 p4 B7 T
CMc =
1 X. V+ ?4 }4 s9 S0 y7 ^
) V" n% [0 f+ Q9 pchar
! D( x9 u/ Z. \6 s2 p: }7 M6 [
. _. D z: Z$ X8 @& ~( }- dCMs =' ?/ G/ D% i3 C' Q
" ~4 o* {2 \/ a( \5 a% U. Y$ Z& Q- G$ \
sym
* Y" M4 e* z/ G$ S& C6 M0 }
; o$ s3 s: h8 q" D' h- E
7 m' h7 J! \7 \5 H; P' j4 s; t+ E# S7 [4 A
5 i: G& F4 c9 H+ `! @
4 j& E `) I; ?. j& c. z) M对独立自由符号变量的自动辨认。% Q- }& G( Z% y3 U4 U' a
) G& g' |0 ~* u（1）
) m. S4 S2 i3 e& T' j) M8 @0 {" q; h
syms a b x X Y;k=sym('3');z=sym('c*sqrt(delta)+y*sin(theta)'); n- s* X6 c- y
& q0 H* W7 }, [# Y0 |$ }% _/ f# Y/ Y4 NEXPR=a*z*X+(b*x^2+k)*Y; " u+ B; e' t3 h2 I, N" x9 k# ]
% [: n! | Q( ]5 a3 a" c9 s$ t
; s& N+ j9 t) L1 |; l1 p) h4 O# q; a
（2）
4 S; a' t4 b9 o( y
4 E: h! T# F6 t5 y% A6 ufindsym(EXPR)
7 v) E, X. x+ s6 K$ I% B C' z* m+ Z3 G" ~
ans =
0 [: `2 z; \7 v* m4 g" F, u4 l3 L+ V
X, Y, a, b, c, delta, theta, x, y + y$ N8 o, d' x
2 y7 S8 X: X% [) V- q3 D$ l
; x9 O& }) L+ o+ R3 i1 h. {& \
1 c. }9 P$ o/ b+ D（3）
6 v# Z7 X/ n" I q @% i/ }8 |; D! `; o- a' Y% J
findsym(EXPR,1) ) m7 @% f+ j4 B0 f) \6 {
* ~3 z4 G3 B/ K: Cans =
' p9 e2 ]" a" R, `/ U: ^* U7 Q
1 @9 m, ^. k1 T, E1 u- T& ox
4 y8 ]. W$ O9 [. e( M
* l6 I: }. E1 ~% Q# o- g 6 N/ W# {+ o( o9 p- l8 i7 m
+ V7 J& K/ R2 r3 g3 ?0 d/ S（4）
1 h- b. b7 o/ ]4 Y6 z4 f+ C. K& P7 U+ S2 [' G5 Z
findsym(EXPR,2),findsym(EXPR,3)
: Q) q- L" e, w' ^" p# h* o4 z+ G+ e9 N7 H, o9 k4 x
ans =
6 W3 }0 @( D; S1 Y5 j& D) d: P3 W. |. A0 @6 i3 g2 o5 p
x,y8 f$ U% {: T8 Z: p* e2 ^
$ U- C8 F/ n3 @. Y# u9 E9 a: Uans =
7 u5 C1 ^$ k1 X$ k3 Z5 e: E$ |+ ]7 u2 c
x,y,theta
* M/ m. w4 B" G2 T. b1 D
5 H- z8 m) K5 B) y + @1 t9 [8 s1 v1 c
; p" s1 t. u/ P% {% ~+ ^$ P【例5.1.4-2】findsym确定自由变量是对整个矩阵进行的。# t5 n* c% L) C. j: I
) d' ]) U, q% g4 x2 j; c) \$ F+ L
syms a b t u v x y;A=[a+b*x,sin(t)+u;x*exp(-t),log(y)+v]
, B* K$ Z' \- J5 k) E
+ n- n" [; b& x7 ?* z/ ufindsym(A,1) 1 x1 r9 T$ s9 C) G. y g
% u1 N4 I" E# `, m6 \
A =
3 g% a9 K- a& j7 a9 Q/ N" U7 q4 F
4 P6 f, X' w7 |. f( A( u( Y[ a+b*x, sin(t)+u]$ p! s: Z, v+ Z- q
( K# l. F* g W8 S9 r! } H$ z+ j7 _[ x*exp(-t), log(y)+v]
5 B8 U4 j" A ]4 D) Y- ~: u
1 O) _ c) w5 O' Y) R" lans =
6 m2 D1 h1 p3 ?* C a/ k
4 V( T6 e, h# K) r+ Rx
4 E8 c$ v) e8 a) |. `
0 F+ k6 J9 U; D7 F/ q7 j * w1 p" l- s/ ~
+ z/ O0 ^2 B/ \: `0 n
5.1.1 符号表达式的操作
/ `1 i; x3 {2 m ^9 Z【例5.2.1-1】按不同的方式合并同幂项。% k; C1 o/ w6 `4 ]. @; \
u$ ]# k+ |/ G' Y, z
EXPR=sym('(x^2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t))');+ W6 `" g& R( }. [ u8 }
. H, @6 ~- ]$ U0 f
expr1=collect(EXPR)0 l- [1 {0 B8 x$ Q, S3 B: L' a' c
+ n, \/ v. I8 Q* Eexpr2=collect(EXPR,'exp(-t)')
3 v- i. A& C! h7 I
- \! w e( `: F2 l2 pexpr1 =
4 X* D8 H# M; Q3 {2 `
o2 Q' | X! f, _; nx^3+2*exp(-t)*x^2+(1+exp(-t)^2)*x+exp(-t)9 X; P g, q3 d+ p& z; w
1 i9 Q: L, ?/ T. c5 v
expr2 =
! o. D8 x% b( ?& r \, t/ t0 `1 q' e7 z, i: e/ l
x*exp(-t)^2+(2*x^2+1)*exp(-t)+(x^2+1)*x
1 h/ |7 Z" W4 Z) P5 l9 V+ r& \. E2 V0 J6 G# l; T1 t8 m* Y
# l% r* U; `$ f! _5 A0 U
1 S; q- ?2 q5 Z8 g9 f/ `
9 Q8 U# z- X2 p" ?9 X" I
/ F+ w5 `1 t. w/ Q5 N% Z, J【例5.2.1-2】factor指令的使用
. Z; Z1 M8 X" E" M1 h
7 A7 c; _5 A3 W7 N( W! l4 \' \（1）8 {+ E8 P" m! b& y9 J
) \. I! L1 M, e0 z& z3 D0 S
syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;factor(f1) ( J+ O& ?8 B# n9 e6 G+ Q
8 O/ G3 o# g9 S6 K7 d4 }8 H/ O
ans =( f; B4 f o; J0 |0 w
1 Z4 S) X8 j# v) t: _
(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1)
' C$ T$ H2 b# r9 a' a* J2 u* `; P! e3 y ^
' V1 m; H8 U9 l$ D; L7 j" C3 A7 M% I3 f
（2） 2 U' Y& ~9 K3 Z+ j4 }8 ]
/ |1 K( \8 A! B, G0 r* ]f2=x^2-a^2;factor(f2)
& n+ j: b* Z( n$ f6 V7 `6 F* D& C2 v( Y o) I, h: D
ans =+ i6 Q% b- y+ n7 q$ v7 F9 o, R: o
" x9 k/ e" T! \9 v# z(x-a)*(x+a) 7 W- K* {+ @; ?! {% f
: }1 B9 H0 l4 \4 b' U" ~0 i( t
" G' a$ Y2 i( ?9 P+ Z ?) I2 Y4 A; u, N: o5 h7 W; y
（3）8 E; p5 V( I& w9 H
8 e" u" ~3 u/ M8 U
factor(1025) # I: q c! u! ~% d( k
! @ o. c8 p/ }8 @6 ?ans =- s, g6 N- P e+ z
) a% H, a: V( {/ ^3 a7 O4 F7 T* G0 F
5 5 41
( Z9 u1 u; ?" O3 a0 A9 ~* C$ N- R* M& @ g4 o$ x
f# F( P9 f" H- D
' }9 e+ o* I/ G! S Y
8 M) }) O2 {/ \) B) P6 C; Y4 b( {7 j2 E) I- b8 H
【例5.2.1-3】对多项式进行嵌套型分解7 o6 D1 q5 Z* q' y# ?
: r6 E9 X2 G4 E9 N* V% ]1 C. h9 [clear;syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;horner(f1)
9 I- B3 p5 |( j% e4 u9 p8 ~/ I) e
ans =. {+ p+ U3 J6 K' @$ C+ o; G& }
A" I2 E8 p' X$ B7 p$ M2 `/ K$ x( n-6+(5+(5+(-5+x)*x)*x)*x 1 w$ r# S/ ]& T& P* [1 e
/ L. Q4 A3 X2 ]4 {! q4 F2 b3 o
, A% Q. l! z9 e" @5 L" A
/ @7 e# p' r* L4 e8 l$ U; @" o _7 Z0 z
$ C1 F) g3 W) R4 `用简单算例演示subs的置换规则。( e( U6 O$ ~+ p! u6 [
7 }( G1 o `0 d, d0 _$ Y（1）
( R8 v0 W- ?, R0 b* ^. j8 c1 H
9 M' @: ] j# l- D+ Hsyms a x;f=a*sin(x)+5; : D( p3 s) c' t' `% A6 `( n7 ?
$ I- y8 f4 v( q1 e; m( Y
9 O$ W" O, Z: G, z) Q) p% R# F& f' q' C4 U3 B3 H' c! Y& r
（2）8 g7 T3 t7 a6 E! G9 K" Z* u
8 q- l$ m8 K( A7 gf1=subs(f,'sin(x)',sym('y')) %<2> ' C& [% f/ r- U3 }0 `
N% _/ y/ a7 h9 ?9 M# T& _$ R+ N
f1 =
" Y' t% V+ I3 G% H" j! ~3 w) l/ p6 n
+ K S2 \ l: V! e1 ^( a. q' ga*y+5
! Z: M- k- {/ R/ i$ L4 m
2 c! W0 o; _% G/ Y. W$ O
* R/ D) C# b$ |/ z$ L% T( X. ]' X# m J) n- a
（3）" I( p! E5 h9 O) c# a# z
. S7 D8 q; X2 E: a. x1 I- jf2=subs(f,{a,x},{2,sym(pi/3)}) %<3> ! G" O! R2 W8 o6 I1 {. L
$ H8 G6 f2 w7 A* y4 l' [: x# U ef2 =
1 Z1 |0 w/ [/ X9 {: e/ T
3 |+ R) E/ v( Y' _, g! Q# k. x9 Z+ t3^(1/2)+5 5 b, d: O6 ], [2 J/ a; z. T) _
: o0 T2 L: h k- \3 _! y
: K g& \1 u) J# x; o# \) a% y; k: [) Z# P5 j, f) P
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5 Q1 v0 P1 R0 C. d- F; W8 Mf3=subs(f,{a,x},{2,pi/3}) %<4>
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发表于 2020-3-26 11:16
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