MATLAB中关于0.1-0.3+0.2不等于0的解释

uperrua

现在MATLAB的Command Window中进行一组运算

• >> 0.1+0.2-0.3
• ans =
•   5.5511e-17
• >> 0.1-0.3+0.2
• ans =
•   2.7756e-17
  

0 V+ \7 P7 T8 c6 F, {1 g8 g
2 h0 }6 o0 r3 j5 m* m为什么上式的结果不为0呢？？且不同的运算顺序结果不一样呢？？下面我们就详细解释这个原因！
, J( }) w4 e: G6 ?7 d- l( N5 k3 R
在本教程之前推荐您先了解下《1985年IEEE发布了二进制浮点运算标准754-1985》。根据IEEE浮点数运算标准，我编写了两个简单的程序，用于ieee数值和double数值之间的转换。
# d/ Z3 [4 l/ b/ h+ v

• function [x_double,s,c,f]=ieee2double(x_ieee)
• % 将IEEE编码转换为双精度数据
• % x_double=(-1)^s*2^(c-1023)*(1+f)，双精度数据
• % x_ieee，IEEE编码
• % s，符号位，长度1
• % c，指数位，长度11
• % f，尾数位，长度52
• %
• s=bin2dec(x_ieee(1));
• c=bin2dec(x_ieee(2:12));
• m=bin2dec(x_ieee(13:64)');
• % 为了保证精度，使用符号运算
• f=sym('1/2').^(1:52)*m;
• x_double=(-1)^s*2^(c-1023)*(1+f);
  

) D2 b6 W. p4 Q6 M/ T
/ d& V+ d2 W7 P$ Y! }

• function [x_ieee,s,c,f]=double2ieee(x_double)
• % 将双精度数据转换为IEEE编码
• % x_double=(-1)^s*2^(c-1023)*(1+f)，双精度数据
• % x_ieee，IEEE编码
• % s，符号位，长度1
• % c，指数位，长度11
• % f，尾数位，长度52
• if x_double>0
•    s='0';
• else
•    s='1';
• end
• n=floor(log2(x_double));
• c=dec2bin(n+1023,11);
• f=dec2bin(round((x_double/2^n-1)*2^52),52);
• x_ieee=[s,c,f];
  

) k2 B$ [9 ^8 Q3 z利用上面的double2ieee函数尝试得到0.1的IEEE编码
0 F6 X  r4 X5 ?0 H

• >> x_double=0.1;
• >> x_ieee_01=double2ieee(x_double)
• x_ieee_01 =
• 0011111110111001100110011001100110011001100110011001100110011010
  

4 x9 ]8 x$ C4 d: y$ i也就是说0.1的IEEE编码就是上面那一坨0和1（晕吧），其实这串二进制代表的真实数据略大于0.1，也就是说
' J9 Q& g1 j2 J8 K# s5 o& H

• IEEE(0011111110111001100110011001100110011001100110011001100110011001)
• <<br style="word-wrap: break-word; ">
• IEEE(0011111110111001100110011001100110011001100110011001100110011010)
  " r1 ^$ x) `# B  ?7 U4 I$ F

傻子都知道计算机是二进制存储数据的，由于0.1没有精确的IEEE编码，根据就近一致原则，0.1采用的IEEE编码就采用最近的第二个编码。
9 U% a  j( U) T% W* n, W6 d
现在讨论下上面两个编码到底代表什么数据呢？好，使用ieee2double()函数来测试下
8 ^; V* V( M; z. y' m

• >> x_double_01_left=ieee2double('0011111110111001100110011001100110011001100110011001100110011001')
• x_double_01_left =
• 7205759403792793/72057594037927936
• >> double(x_double_01_left)-0.1 % 看到没有，第一个IEEE编码和0.1还是有差距的
• ans =
•   -1.3878e-17
• >> x_double_01_right=ieee2double('0011111110111001100110011001100110011001100110011001100110011010')
• x_double_01_right =
• 3602879701896397/36028797018963968
• >> double(x_double_01_right)-0.1 % 第二个IEEE编码和0.1就没有区别了，但是第二个IEEE编码也不是0.1的真实编码，而是距离最近的一个，换句话说0.1是没有准确的IEEE编码的，当然还有很多数据也没有准确的IEEE编码
• ans =
•     0
  3 z$ {' c; G4 S+ w0 j4 d

& _- t7 Z$ S% u# d$ ]$ F3 k1 u
9 _- E* f( s9 v$ e2 ]4 B  c也就是说那一大串0和1对应于上面那两个分数（为了保留足够的精度，这里使用分数显示出来，如果直接采用小数显示，您不会看到区别的）！

同理可以得到0.2和0.3的IEEE编码，以及相应的IEEE编码代表的真实数值！

• % 0.1的编码转换
• >> x_ieee_01=double2ieee(0.1) % 0.1 IEEE编码
• x_ieee_01 =
• 0011111110111001100110011001100110011001100110011001100110011010
• >> x_double_01=ieee2double(x_ieee_01)
• x_double_01 =
• 3602879701896397/36028797018963968
• % 0.2的编码转换
• >>  x_ieee_02=double2ieee(0.2) % 0.2 IEEE编码
• x_ieee_02 =
• 0011111111001001100110011001100110011001100110011001100110011010
• >>  x_double_02=ieee2double(x_ieee_02)
• x_double_02 =
• 3602879701896397/18014398509481984
• % 0.3的编码转换
• >> x_ieee_03=double2ieee(0.3) % 0.3 IEEE编码
• x_ieee_03 =
• 0011111111010011001100110011001100110011001100110011001100110011
• >> x_double_03=ieee2double(x_ieee_03)
• x_double_03 =
• 5404319552844595/18014398509481984
  $ }' R; s$ r& L' U, X  A' B, H

2 a7 o% t; G' J5 U& k2 J! ?现在模拟计算0.1+0.3-0.2的结果

• >> x_double_01-x_double_03+x_double_02
• ans =
• 1/36028797018963968
• >> 1/36028797018963968
• ans =
•   2.7756e-17
• >> 0.1-0.3+0.2
• ans =
•   2.7756e-17
  % b# Q( J4 p  y! {. Z' U9 W) C- l# y

也就是说在IEEE标准下，0.1+0.3-0.2的结果为1/36028797018963968≈2.7756e-17，显然这个不等于零！！
& [1 t* ?% k# {5 i7 I& P5 ]( S+ Q
接下来讨论下，为什么0.1-0.3+0.2和0.1+0.2-0.3的结果不一样？
1 ]) l( ]+ B* o. d: B" l" y
9 [! m) y( X3 J4 ~0 u5 Y4 q1 L这个主要是由于加法运算是左结合的，也就是说0.1-0.3+0.2是先计算0.1-0.3，得到-0.2；而0.1+0.2-0.3是先计算0.1+0.2，得到0.3。-0.2和0.3的IEEE编码当然是不同的，相应的误差也有区别，于是得到最后结果也就不同了。至于具体多少，大家可以使用本文提供的两个函数进行测试和推到下！

CCxiaom

MATLAB中关于0.1-0.3+0.2不等于0的解释