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MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系2 S+ ]5 o' _, [$ j8 f6 T9 T
' ]5 l/ s1 {; F
" b7 X$ @# |' b4 }2 p: A- W: f' |上篇我们简单的讨论了离散傅里叶级数DFS和离散傅里叶变换DFT之间的关系，简单地说，DFT就是DFS在一个周期内的表现。
; `( Y+ \) t% N! ^3 P- @; L. M$ A7 K$ d7 J4 g
MATLAB ------- 用MATLAB实现离散傅里叶变换（DFT）和逆变换（IDFT）3 r; Y. m- p( H+ s h
( \* r* p {! _$ m2 M2 L7 w3 y为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：
2 ~+ u- \ [; `% K, a. m
* M+ ?6 V) Q4 N% d: m8 Q
（1）
M" N1 L- K5 H, i" c' {6 [, a. q8 C" ?2 O: [; @. W8 Y6 q& J* h
其中：* S+ T) T, o' e* t! t' | M
b* j2 n# S- c3 V. @* ^" x
7 r( V: }2 S0 H2 i
+ V- R$ K' q2 D' P
综合公式：$ C; V9 Y; o: @+ E
3 [' E! h; u5 D9 M1 `0 {
（2）8 m; ]. K* U2 X( d: d% P& w9 N0 [
* E. Z9 i7 O$ O7 J2 T
为了对比，给出DFT的分析公式：/ T, z% U( h# f4 m+ i
; h3 d+ M; ~: }5 Y6 A/ {$ K. O
（3）3 j- V! g3 A: A, K
( j; j3 i X) o7 u
（4）) y; A0 v! y: O
$ r9 U6 J0 s9 T5 @% U
p- f! g# P5 I$ x2 O( H0 B综合公式：
; Q {8 O* i! f$ W1 ~ f. _; @6 H1 D
( y9 W" {0 p) X9 S0 \# m
（5）
, Z# \- n0 X4 Y4 W( V4 v% Y- {
（6）8 z* u7 _5 O$ U
% @" |3 v0 B) @) Y' a/ T
下面讨论DFS和 z 变换之间的关系：* v& J7 F# A M1 _9 k# s
6 y9 V/ m2 s- `! s1 c7 ]这部分内容提取到文章：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系
' i/ F4 |+ o6 L$ K. {1 [! G: u, K$ A* o" j
设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，/ s$ T7 f$ n+ }4 e3 @- z4 @
- H4 K+ y3 @1 H% p% Z3 z$ O
（7）. R' q6 q d" k7 v! ~+ h& m. _
3 E0 u6 f1 f2 A/ @ w那么，能求它的 z 变换为：
: ?9 e. r) b3 `! F) ?
" k0 L6 S: `" Z
（8）8 I, J5 j6 M! |- H( h
7 E' Y2 j M) c( l2 J
现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即
$ T1 h/ f1 ]1 `& t+ z$ i1 X+ P
* X$ Y" v3 T1 W# c4 ~8 G
（9）9 p; N- A# ~2 s* {3 u
1 Q1 t7 f y# _7 A( v
的DFS给出为：$ z b5 [ c! I( ]) c1 Y
q- ~5 U3 J( X/ K* k! S
（10）8 p2 O4 c y# h+ ]8 d& N) t
, m( d& E5 A+ F R7 a4 {将（10）式与 z 正变换公式（8）比较后，得到：
q+ ]' N6 U$ }# q
7 m; h( M5 [. W( U
（11）* H! L. }5 ] r8 C! O( a. n
4 ?3 p' I5 D. X& J S2 B
这就是说，DFS
代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
6 c e3 b! }8 v, [# |# u! |( w- ~. r9 L0 ^$ e2 }: N. D/ D
接着讨论DFS和DTFT的关系。
- z9 b B; {& ~. C/ O* q( ^5 x8 h5 @
这部分内容提取出来到：【 MATLAB 】DFS 和 DTFT 之间的关系
m/ K9 h% [) [0 \7 e2 v9 h+ S4 Z) R; c$ a% W9 Y! w" H
我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：1 K$ X$ g G& L0 V
) D8 G. M5 K# c, c& Z9 R) |) `, f
先给出DTFT的公式：
x4 W+ ?! P/ R4 g* {) b" a8 \3 \) R, u" w* R/ Z* a2 Y, J2 J
（12）
& x4 B( @+ a# n% E% I9 s) W
( l3 U7 {' T& Z' i1 |! R对比z变换的公式（8），不难看出：
5 {+ ]: f4 o8 O, H, y: N/ e+ r% V* y! \7 s: r
（13）7 s2 y& A4 g ~7 a% D( I9 V% u
, e6 L( Q* l L4 H为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。1 u" C2 {& F! p2 b3 k, t
% z" p/ D+ l- e+ ~& l) [从（13）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。
: V N$ {) e+ o% U- }
+ g0 a5 |3 ~ p/ M/ i# [上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS
代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
: o* x/ ^, L( [$ c; B
9 t6 x+ F5 w& g1 g0 k+ ?结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS
是对DTFT
上的等间隔采样。采样间隔为
，下面我们正式推导二者间的关系。
b3 D, i$ p2 }5 w, y' {0 y' Z2 ~1 m3 B2 [
式（12）为:
1 F1 u/ J2 R A N- D; Q2 k. h4 ~$ S. a- H& ^
) n' @8 f' g+ ]8 w7 h- W# u8 P
/ Y& X1 D1 r) w5 z% i" @5 O
DFS为：
8 I& T- Q1 k% c" ]0 x( m+ V- |: U
5 {4 q7 b `* N3 w9 s
) Q5 g8 f' `: Z. A) J) G+ r
! i" U$ d9 G% C, [7 \" k0 Q6 M
4 ]8 C. T1 g& o可以看出，
( S( @& e5 A7 V0 v/ m2 n$ e! o4 D3 P3 k& U% b2 Y
（14）2 C/ @' F7 p* f5 ~3 e+ c) r
5 m. `5 A0 S+ B7 w
令" c9 C1 G" \- D+ O; W* k% W
（15）
: N8 |) W- ^8 k( a+ w- M1 l9 h3 Q. y/ T
这样，
! c* S I3 ?, s6 v* w/ |+ |" m, Q/ t! c8 ?9 Y
（16）7 B8 m' ^2 S" Z _3 n4 p
- A; w$ i |% K6 S. Y这意味着 DFS 可以通过以
为间隔对DTFT均匀采样而得到。
" |( h Z6 w9 z% @$ V: M' G8 ?+ @1 C1 _- H0 n# [
由式子（13）：
) b) i/ ]( z8 V! u+ {7 g$ I, P& ^: f$ q1 V# x$ E. o
( ]& U. F$ u, Z" ?2 w! x
/ |: U2 l# N' ^: w y以及式子（14）：' f2 }: t$ Y( p
0 n. e# L4 p a# G; X3 u. \+ K1 M _# z
9 d4 }% O8 `0 w9 G8 a
# _8 E" { A: E3 M2 o可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。
( i! }8 F6 ?* {) C
- Y1 T' y. P: W/ R4 E/ z间隔
是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。5 @4 ?! H, C* |- n! M! o7 P
8 j4 L5 ^. |) t3 P
. H" l! @/ b# s* N( {$ M" {+ \
' W' b k! t% Y* L9 w0 X" W3 L; y8 _' e, \
4 l" s3 A8 e( U1 T p; U( n# D2 q, ~: e9 d; A
3 R6 v3 b2 Z! @/ q5 e' T5 ]3 ]
4 [* J6 h% X- Q1 R0 u1 L% p" r, i5 k5 d1 h* f
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发表于 2019-11-27 14:52
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