MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系

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MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系
( r( s* d' A" X- `

上篇我们简单的讨论了离散傅里叶级数DFS和离散傅里叶变换DFT之间的关系，简单地说，DFT就是DFS在一个周期内的表现。

0 G& [  Z3 Z0 \: y0 \2 J  WMATLAB ------- 用MATLAB实现离散傅里叶变换（DFT）和逆变换（IDFT）
5 g( V0 I! E3 \% R- t
- ]6 m/ @' b9 U- n3 |为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：
! c$ a' S5 J0 V* S4 [0 w$ L
$ [" q+ v' N/ y& `                    （1）

" k8 B$ ^, @5 K7 [7 x其中：



% W  n' ^! V  ?1 U' x综合公式：
/ _$ z* n: r4 @. c1 Y3 Z( A6 N
                （2）

为了对比，给出DFT的分析公式：

                 （3）
" U+ s& \6 n. h) {
                    （4）


* b8 `  R0 e" g. B( b综合公式：
6 x5 y# r% R. D$ m! y
& X" V5 g& {1 }7 H                      （5）

                （6）

下面讨论DFS和 z 变换之间的关系：
/ l" J7 q6 g0 R' P1 n9 i8 [5 |: c
5 F0 P" s7 a- {( o0 W- ~! k1 d这部分内容提取到文章：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系
; U4 @$ r% c) k0 O4 y* [6 ~
# ]' h) a+ K6 k3 t1 h' c2 h- ?4 Z2 d设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，
) X7 L4 K# r6 z: o( s! p
" E# q- z/ |4 Q6 U3 y  ^                     （7）
+ |/ {% F& h) [* F( m; e
9 i( _/ }( |+ z0 v  l! K, D那么，能求它的 z 变换为：

) U- Y! M! ?  f$ R6 E, ^                                            （8）
) v2 w8 [4 _4 w) w  a6 X
6 T4 a. S7 a' \6 ~现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即

# l% t4 K3 i4 |; o0 a+ l                           （9）

的DFS给出为：

               （10）
$ a. b) v& i5 d: ~. w
  v9 I: `& |0 {; J6 ^$ P5 G: d将（10）式与 z 正变换公式（8）比较后，得到：
6 g$ M4 C5 E+ E, H
- `) V' t7 H1 h, G3 U- ^+ B                                              （11）

这就是说，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
; D- E, C' r; T- \: ?
接着讨论DFS和DTFT的关系。
8 U, O5 C) O9 f6 \7 a- H$ b
这部分内容提取出来到：【 MATLAB 】DFS 和 DTFT 之间的关系

我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：

先给出DTFT的公式：
' A( M) D9 ^, S8 F: l
                     （12）

0 W6 X# U4 A" J, s对比z变换的公式（8），不难看出：

                                                    （13）

" }/ x$ w# O! Q$ x; Z为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。

从（13）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。
$ H$ C' I" Q* {4 \5 i1 _: [* U. _4 a
( r5 J1 [1 l+ A1 W2 `4 @上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

, l# S: I$ A6 G2 t% T: M结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ，下面我们正式推导二者间的关系。
$ D& w% |9 L8 u! L' X5 M: V& M& R1 r
1 g  R* r4 x+ t$ {% ?; p1 n! A$ v2 ~式（12）为:


" _- M! T1 p6 A1 {4 x
DFS为：
0 x, R4 O7 s# A$ |/ f) v1 l


4 _' p/ S5 ^* g8 A" h

可以看出，

                                           （14）

) `% R$ U" |6 m% L' G  A) h令
' ~; C* ~; d/ W                               （15）                                          

这样，
# J" O: ?4 e& S1 \
4 q; O9 ?. z( L) c                           （16）

2 M7 z. g+ f4 p3 k/ t* D这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。
- r* d" j$ y) d" @; I# e
由式子（13）：


3 P+ M* D0 S: I; l+ @& V
) J# W5 y0 a: f) s; [& F" r以及式子（14）：
& I9 k0 N# r: X0 b: Y! X) \% e) V
* m1 w; w9 f* R  j( p& N' G' Z. L/ q

可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。

* o) d, F& U7 i( A$ @间隔 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。

: X5 g3 p$ a8 {& u
2 s7 [  ~# z  ]3 K7 T! \% F6 k
: |' g. o  L3 v, O: m( b5 d, v8 Z





5 u0 ^/ Q4 n6 F$ j& }

hope123

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