MATLAB ------- DFS 和 DTFT 又有什么关系呢？

ulppknot

上篇讲了DFS和z变换之间的关系：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系

* [6 j& h: @8 R$ T这篇博文接着看DFS 和 DTFT 之间的关系，文章同样是从我的其他博文中抽取处理的，目的就是怕这种显然而重要的知识点被淹没。

为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：
7 {. @6 S$ r5 o# e) A
! K+ Z1 j" _: T7 m7 x6 A             （1）

, U9 w' ?( f- d6 V4 i其中：

9 L  B2 @4 o* t4 }: I# I' I
4 @: H9 g3 N1 d9 M8 ~) U! K
, ^4 Y& q5 |8 `9 [综合公式：

                  （2）
% B" n% m7 X8 c% i2 U- Z

* l) h- U* }. B2 r+ G为了方便后面讨论，给出z变换公式供使用。
+ s" a9 ?& J9 D( h7 q
' h# x& G3 R" X0 W9 h. O设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，

                   （3）

那么，能求它的 z 变换为：
                  （4）
, _1 x* I/ Q. S0 G/ t5 ]) w; S5 B
现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即
7 C/ I  B  r: [6 `( k5 U) @% K3 D
9 V- j* @* @% m' f) T: ]$ e* r              （5）
) K6 J  {4 l. b
% L9 H8 M' U! r( b& ?4 s
接着讨论DFS和DTFT的关系。
6 l. p9 j4 p/ m2 R
( M# X7 x% J5 v3 ]9 q2 p. ^我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：

先给出DTFT的公式：

; m8 S' H( T* |                    （6）
0 `& {# a) j: x! C% @+ Z6 ^
. X' W; W$ W2 K& M1 ]) e/ n对比z变换的公式（4），不难看出：

# f/ Q* ~* [- A2 Q6 `( z             （7）

为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。

. n  p6 T- q! _* U+ q$ m从（7）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。
; K- C1 U7 ~% L5 Y( n# H4 k& v! ^
上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
' Y' p% }- L/ o: g. N  y
9 j" s- ]6 I+ p7 y结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ，下面我们正式推导二者间的关系。

( Y+ I& D/ {' ^式（6）为:
9 H! y% z( D4 y% p. R. |( _

8 y/ m0 M0 c4 ^1 v6 z' a* ~
) q) I  v& v; f5 KDFS为：
! ]6 D  j. i6 L% L




1 t/ ^3 h, |+ B* ?" n可以看出，
  M8 B" W3 r/ S
, l! F6 t# k0 ?1 k              （8）
% T, m) b2 O# _* d3 p
- l' U" ?; j2 }( B令

               （9）                                          

这样，

            （10）

/ W2 c( E' G3 Y1 ~' k# d4 W这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。
, m: I& ^$ @: o  D1 F$ a
由z变换和DFTF之间关系：


+ F) E9 y3 X* z1 S6 n2 ~
以及式子（14）：



可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。
4 i: Z# D$ [8 d5 e6 G2 U& a* }5 X* e
间隔 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。
$ ~8 Q8 v$ t: E/ }# k+ T




6 P+ p" {$ B& g


8 R- ]4 _' M9 @7 z

kinidrily

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