MATLAB ------- DFS 和 DTFT 又有什么关系呢？

ulppknot

上篇讲了DFS和z变换之间的关系：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系
" D/ @: U3 r. B) m
! I  j' U* I; [# ~这篇博文接着看DFS 和 DTFT 之间的关系，文章同样是从我的其他博文中抽取处理的，目的就是怕这种显然而重要的知识点被淹没。

为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：

2 w- D: @# K+ g7 h& P1 {3 H             （1）
/ O( m/ }/ u+ G1 O
8 a* p$ F/ O: c其中：
2 d0 m7 t1 `% |1 d9 U2 D


/ B7 b) X9 g+ u, V' w7 I0 l综合公式：
7 f: J) u4 A. d7 P: M, \+ k. f* X
; V, \$ b: G1 l3 x3 m# d8 ^( B( \                   （2）
1 I8 I3 A( |2 o1 o1 |+ l  K

为了方便后面讨论，给出z变换公式供使用。
  o7 y- S$ f2 P3 L0 E7 F; i! {
+ @/ ]% A3 B; l1 Z设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，
( O3 Q% `) l. W) Y
& Y, E% K' X) P4 }                    （3）

, m0 w7 c8 _7 [, D0 `- Z" h那么，能求它的 z 变换为：
1 g- P* x7 U8 @- {6 Q                   （4）

现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即
# n1 v$ [7 J% u; e  ]/ E3 I
             （5）

& p  W& f3 b2 I
接着讨论DFS和DTFT的关系。

我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：

: s$ Z9 O2 B1 F* l  i先给出DTFT的公式：

                   （6）

( U7 }- |' g; l/ _2 _对比z变换的公式（4），不难看出：

; z) Y; z+ i. U/ M' O! w7 d0 j             （7）
7 {8 p4 Y3 U/ Z4 w3 ?( m% J" L
为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。

从（7）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。
; R* Z  t$ W  k6 G
* f) ~' P+ o5 p2 \" p上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
2 i4 p! R- m6 {2 h8 E/ l
2 y8 T. s3 u. R& C1 @0 D结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ，下面我们正式推导二者间的关系。
) I. t8 m. f, l" w* N
. W: e1 `, R" }: n式（6）为:

" v) \. a7 {5 F2 x7 S" R- h
" l& g( k( m* U6 Y
1 r6 z6 P0 b& M8 w0 b, v8 k: FDFS为：


& p. l3 c- I& w

& r: k4 q7 g7 z7 q: S0 T
可以看出，
% x) p  w& y+ M& N  l
6 M( Z0 G( G3 C; l8 x% b* t              （8）
/ F( r* z  u- j$ n: X' N
5 K: P! U0 o$ m+ _& u* ^6 S& d令

8 g/ w3 ?* {4 v                （9）                                          

( c2 Q. a$ |& F$ k8 W0 e这样，
' d9 p9 H2 m- C9 ~+ Z8 j3 w; O) g
" k  L$ b6 F$ [, ]             （10）
# A; `7 ^1 l' f$ e/ G
这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。

1 X) s! n6 C- c3 A; c由z变换和DFTF之间关系：
2 X6 P0 ~. ~+ q) \2 A

! u6 m( @; d. n  y- v
以及式子（14）：
+ n1 g# ^1 h0 p

6 ^) b; }9 _0 R
0 X2 s$ a. U: o8 J2 W0 d可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。

* j+ ^3 I! Y! A' E+ F* a. r间隔 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。

0 e5 S6 s: e7 G1 x

& k/ q" Z$ n( l0 L, R
: A* k: i9 I) {6 a; Q- P# k; D

5 r# e0 E  l2 v  K
* ?. i! O; i" s$ C. \8 W

kinidrily

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