MATLAB —— 学习一下协方差 cov以及协方差矩阵的基础知识

mytomorrow

0 z3 L1 F  O2 h* E& x/ |1 k( ECovariance 翻译为协方差，因此，MATLAB里面的函数cov也就是求协方差了。至于MATLAB语言里面的协方差函数cov的语法是什么样的以及怎么用的，我们稍后再说，这里首先介绍下协方差相关的基础知识点。

' Y# @% V! h& H" f( m0 S本文内容参考自MATLAB的帮助手册，有的时候不得不说，数据手册才是最好的教材，不仅对于MATLAB，这里提供的都是原滋原味的官方内容。例如我经常去了解一些MATLAB中的相关函数，命令等，都可以通过MATLAB的数据手册；如果我想了解一些IP核以及与之相关的知识，我可以查看Xilinx的官方数据手册，内容应有尽有，相比而言，如果我去借一些书籍去查看FPGA的IP核，不仅版本陈旧，而已也有可能翻译的有问题，让人一知半解。
( q3 H0 u4 O2 L# H
) e6 b/ `( j! t2 o* z废话就说到这里，下面正式开始介绍。
+ I& U. `1 A  y& ^
目录
* i6 T3 F- }  E* G' S0 z
基础知识
' k# E0 l- u5 h' n! n! c7 l( y) e
3 S% e+ Y/ ?8 G7 q5 z4 ?9 L( m协方差（Covariance）：
5 @) I8 H: ]$ R, e  Y0 v# q: ~1 x
! V, h& Q8 K0 m" W6 y; D4 y协方差矩阵（ covariance matrix）：

矩阵的协方差：

, `3 c8 Z( f6 g7 ]$ Q6 h/ u方差：（这是赠送的）
& t" T& K+ p$ f/ _9 O' l
" ~/ q+ A: x/ {. \7 zMATLAB中的 cov
5 r4 B& V6 S! ^* t. K
. @- o/ N4 h% w8 ?7 O  {语法格式：

5 C. p" J! I9 f  H8 ]+ ZC = cov(A)

C = cov(A,B)
- H: X* l# x6 j" f( n6 \
C = cov(___,w)
- g5 `; q8 m* l- r0 {
$ f9 S. g+ C) i5 JC = cov(___,nanflag)
, W% J4 M1 q0 i9 I% e* y; `
示例

) ?, o9 n* t) H/ N5 b. CC = cov(A) 举例（矩阵的协方差）

cov(A,B) 举例之两个向量之间的协方差

cov(A,B) 举例之两个矩阵之间的协方差
; K3 m* p9 _0 \6 P, z+ I2 W
Specify Normalization Weight
; }) h# I* l" }8 N0 X: Q
, V+ ^& Q6 w9 O8 X8 F$ i5 mCovariance Excluding NaN
& Z- L8 `% |* k2 P( ]

1 E) T, @- G) S% U* i
* r: n6 S9 Q, ?* w- |基础知识
% @( `! Z2 _9 d. T协方差（Covariance）：

5 C' a8 H9 \& W4 V2 D对于两个随机变量向量A和B，那二者之间的协方差定义为：



其中表示向量A的均值，表示向量B的均值。

协方差矩阵（ covariance matrix）：

! A2 ]& \% P. k* U( J两个随机变量的协方差矩阵是每个变量之间成对协方差计算的矩阵，



矩阵的协方差：
' c4 a, S7 e3 s
" x# S7 ~/ l  u对于矩阵A，其列各自是由观察组成的随机变量，协方差矩阵是每个列组合之间的成对协方差计算。 换一种说法
& m$ B# H. S* w, _& ^. k


. |5 X6 o; a# A; i: Z; V$ M$ |方差：（这是赠送的）

3 V* `, F) E; a& k) b; g9 S* V& H对于由N个标量观测组成的随机变量向量A，方差定义为
' }$ K' C# M' c+ U, q


" G1 K7 d1 Y. t6 y( a! L& e其中u是A的均值：
# H0 E" j, L8 `5 w
  j, }, M+ i% X

一些方差定义使用归一化因子N而不是N-1，可以通过将w设置为1来指定。在任何一种情况下，假设均值具有通常的归一化因子N.
1 o0 V& {( e/ C% B
（注意：w是后面要说的MATLAB里面的协方差函数的一个参数而已，在具体的MATLAB函数里面可以通过设置w来指定归一化因子！）

4 H7 m- ^7 Y5 N7 C- R3 Q, M  B
MATLAB中的 cov

语法格式：



: a0 `/ N7 X9 Z1 f下面逐个讲解：
& P. L/ a. s% m6 @7 O' o# j
C = cov(A)
* {9 u' K6 h. g" L8 s
C = cov(A) returns the covariance.
) l" J& i% K0 ]$ H3 |
C = cov(A)返回协方差。

• If A is a vector of observations, C is the scalar-valued variance.
  # M) z1 V( ], S; {, }: Y6 a) e

3 _' R  d: k( F* g# G

• 如果A是一个观测向量，那么C是一个标量值的方差。
  

• If A is a matrix whose columns represent random variables and whose rows represent observations, C is the covariance matrix with the corresponding column variances along the diagonal.
  % S0 H4 r% C& m4 ~% E7 r

• 如果A是矩阵，其列表示随机变量，其行表示观测值，则C是协方差矩阵，沿对角线具有相应的列方差。（协方差矩阵的协方差是列的协方差值）
  

• C is normalized by the number of observations-1. If there is only one observation, it is normalized by 1.
  

/ b! e# }" q- W6 U" s, z

• C由观察数-1归一化。 如果只有一个观察值，则将其标准化为1。
  

• If A is a scalar, cov(A) returns 0. If A is an empty array, cov(A)returns NaN.
  ; N$ Q- P0 C! p# I

• 如果A是标量，则cov（A）返回0.如果A是空数组，则cov（A）返回NaN。
  4 A2 @5 J2 u: i& n+ P

（你看看人家考虑的多周全！）

# A: C7 J2 {2 r9 a2 W5 ~% W0 U; n( y
$ N: n) s2 ^8 N: y7 H  m7 qC = cov(A,B)
. Q7 K7 \- ~( m; ~# }
8 U! `7 D' \7 C# q$ q9 ~C = cov(A,B) returns the covariance between two random variables A and B.

- {; o7 g5 t# A/ {4 qC = cov(A,B) 返回两个随机变量A和B之间协方差。

• If A and B are vectors of observations with equal length, cov(A,B) is the 2-by-2 covariance matrix.
  

• 如果A和B是同等长度的观测向量，那么C是一个2*2的协方差矩阵。
  6 y* a7 a; K3 j& R. e# `! ~: s

• If A and B are matrices of observations, cov(A,B) treats A and B as vectors and is equivalent to cov(A(,B(). A and B must have equal size.
  

0 ^2 \, R& J. l

• 如果A和B是观察矩阵，则cov（A，B）将A和B视为向量，并且等同于cov（A（，B（:)）。 A和B必须具有相同的大小。
  

1 `8 s- \  W2 D/ H

• If A and B are scalars, cov(A,B) returns a 2-by-2 block of zeros. If A and B are empty arrays, cov(A,B) returns a 2-by-2 block of NaN.
  

  q' q( ?; {4 X6 e( B

• 如果A和B是标量，则cov（A，B）返回2乘2的零块。 如果A和B是空数组，则cov（A，B）返回2乘2的NaN块。
  

% j& _# q- y" u& _

C = cov(___,w)

3 H/ q, i. K; e% B) j# W9 BC = cov(___,w) specifies the normalization weight for any of the previous syntaxes. When w = 0 (default), C is normalized by the number of observations-1. When w = 1, it is normalized by the number of observations.
# o& u, z( p( c( U
C = cov（___，w）指定任何先前语法的归一化权重。 当w = 0（默认值）时，C由观测数-1归一化。 当w = 1时，它通过观察次数归一化。
) k5 O" j6 V/ V  R) r! c

C = cov(___,nanflag)

7 |9 ^: f+ e0 t( eC = cov(___,nanflag) specifies a condition for omitting NaN values from the calculation for any of the previous syntaxes. For example, cov(A,'omitrows') will omit any rows of A with one or more NaN elements.

C = cov（___，nanflag）指定从任何先前语法的计算中省略NaN值的条件。 例如，cov（A，'omitrows'）将省略具有一个或多个NaN元素的A的任何行。

6 ?! q' O2 H4 P; V
! M# q; r1 n7 ^4 v; s" P示例

下面举例说明重要的语法格式：
4 r! y% ~+ t/ O
C = cov(A) 举例（矩阵的协方差）
4 r- R. [$ ^6 x; T! S% ^
1 X; W* N% E- B0 r5 KCreate a 3-by-4 matrix and compute its covariance

• A = [5 0 3 7; 1 -5 7 3; 4 9 8 10];
• C = cov(A)
  

' D8 G  _7 p! r9 P1 H* W

• C = 4×4
• 
  & `2 u; D2 G" _! ^2 y5 D% R
•     4.3333    8.8333   -3.0000    5.6667
•     8.8333   50.3333    6.5000   24.1667
•    -3.0000    6.5000    7.0000    1.0000
•     5.6667   24.1667    1.0000   12.3333
• 
  1 U9 }9 D+ r% x! B2 L/ g/ A0 N; X8 _
    Z7 _# M+ C0 H/ s" L$ H

  


9 {/ l9 M6 W; {  ESince the number of columns of A is 4, the result is a 4-by-4 matrix.

由于矩阵A有4列，表示有4个随机变量，那么协方差矩阵是4*4的。
' f1 m+ ~3 c$ p! {! J; X# [  X8 d5 S
$ E8 f. f6 a+ f# \
cov(A,B) 举例之两个向量之间的协方差
8 ]1 I: J# ~- [+ W7 ^7 W# Y2 ?+ t
* j: u+ w6 Z2 \/ k" _1. Create two vectors and compute their 2-by-2 covariance matrix.
- @' O2 \- q' K

• A = [3 6 4];
• B = [7 12 -9];
• cov(A,B)
  

# {+ @4 B) o" i" ~% M* W( n  U
$ \, ^: Z" o2 B' c
  t7 L; Z9 j, t" L( g% V5 ]

• ans = 2×2
• 
  + {! Z" U/ Y  R: i
•     2.3333    6.8333
•     6.8333  120.3333
  

% Z0 S; E/ z% m) M/ a
' d1 g- W! I3 I5 E! K9 Q
, ]2 M6 X) |/ X6 pcov(A,B) 举例之两个矩阵之间的协方差

. Y6 }; V$ C3 F: p2. Create two matrices of the same size and compute their 2-by-2 covariance.

* ]1 l4 r# d, Q9 s. V

• A = [2 0 -9; 3 4 1];
• B = [5 2 6; -4 4 9];
• cov(A,B)
  

! S( u6 f. o1 }+ b

6 Z7 }' H4 B, u& @2 c4 W4 c) G

• ans = 2×2
• 
  
•    22.1667   -6.9333
•    -6.9333   19.4667
  

这相当于求A(：）和B(：）的协方差，如下验证下：







7 w9 c8 Q, d, w对比下cov(A,B)发现是一致的：


2 y  ?0 D* ?/ a5 P1 k& L7 ^

% T' w: O3 Q/ M, W" X; C+ o2 RSpecify Normalization Weight
( W7 \# L1 C$ Y% F4 i
创建一个矩阵并计算由行数归一化的协方差。
3 V' c6 J7 H! x  U6 o1 K

• A = [1 3 -7; 3 9 2; -5 4 6];
• C = cov(A,1)
  2 A$ L2 G0 V: A0 r( @1 J' {

2 W: I0 a9 T1 T. X

• C = 3×3
• 
  
•    11.5556    5.1111  -10.2222
•     5.1111    6.8889    5.2222
•   -10.2222    5.2222   29.5556
  * F* N0 |% t: a

$ [/ Y$ x7 \" p& H' V! N

* Y6 l3 |5 g2 m1 `$ ~
我觉得还是有必要比较下不归一化的情况：

' u1 u, q4 `) ]2 E6 P>> A = [1 3 -7; 3 9 2; -5 4 6]

A =
1 z  U5 E7 {! i- X+ P
     1     3    -7
     3     9     2
    -5     4     6
6 ]+ I) K. z; D1 O; B
3 _0 f; a" ?3 u) ~1 a. z>> C = cov(A,1)

C =
% p8 T; d' V. X8 F0 ]1 t! z
   11.5556    5.1111  -10.2222
    5.1111    6.8889    5.2222
  -10.2222    5.2222   29.5556

9 |9 D& N& z& B# y$ |>> C = cov(A)

C =

   17.3333    7.6667  -15.3333
    7.6667   10.3333    7.8333
  -15.3333    7.8333   44.3333
2 s0 D- S  D( P: M, }& v7 T

Covariance Excluding NaN

创建矩阵并计算其协方差，排除包含NaN值的任何行。

) A5 o$ q) G) _( S; J8 n  @A = [1.77 -0.005 3.98; NaN -2.95 NaN; 2.54 0.19 1.01]

3 R- A& U, a# ?2 ]# L* f  \

• A = 3×3
• 
  ) r6 d! |2 B/ ?, ?
•     1.7700   -0.0050    3.9800
•        NaN   -2.9500       NaN
•     2.5400    0.1900    1.0100
• 
  - ?9 C! X3 p: u% \& T, b
  

  

/ _  [; i* [4 d) T% W$ aC = cov(A,'omitrows')

• C = 3×3
• 
  : \+ c0 Y% P3 V% E; x3 o
•     0.2964    0.0751   -1.1435
•     0.0751    0.0190   -0.2896
•    -1.1435   -0.2896    4.4104
• 
  ( o2 S1 `* D) N6 c% F! X5 p
  

% @. C# ~5 j1 g- s9 \+ V

& G1 T, N; {3 X0 D8 u8 `; o

$ d# L6 L1 t' k0 f

$ b# ]! s2 w8 {

# x; z$ y5 P" `: e. k# d$ a' @
4 |. _7 v  O' E0 n. C

1 w; k/ w6 A$ m* B1 U* N

kinidrily

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