Matlab 符号表达式和符号函数的操作

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Matlab 符号表达式和符号函数的操作

3 m% X, i) z, l3 A% m1 |* b, R6.2 符号表达式和符号函数的操作
6.2.1 符号表达式的操作
9 K7 t4 j3 Z. u6 W' q- U6 u
7 G, y3 q/ E/ @8 D( P7 q【 * 例 6.2.1 -1 】按不同的方式合并同幂项。
EXPR=sym('(x^2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t))');
9 h6 p$ B/ j& R6 k  n; e4 H  L5 u$ }/ Sexpr1=collect(EXPR) % 默认合并 x 同幂项系数
expr2=collect(EXPR,'exp(-t)') % 合并 exp(-t) 同幂项系数
% v7 S  k4 q! |! S7 T$ }expr1 =
x^3+2*exp(-t)*x^2+(1+exp(-t)^2)*x+exp(-t)
* X  D# r* v2 dexpr2 =
) y7 [5 A# n" S/ ?x*exp(-t)^2+(2*x^2+1)*exp(-t)+(x^2+1)*x

【 * 例 6.2.1 -2 】 factor 指令的使用
（1）除 x 外不含其它自由变量的情况
$ c* X8 t  [0 T8 h* qsyms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;factor(f1)
ans =
(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1)
3 O1 m% {9 j( Z7 a* m3 }
- [- ]! S7 E% s( q5 q' M1 Y; B（2）含其它自由变量的情况之一
, x7 R# J9 y, ]f2=x^2-a^2;factor(f2)
$ b+ W" n( w  n  T  c* v+ F
/ z# o7 V4 n1 P0 l" V6 `ans =
(x-a)*(x+a)
# q: M; }) [$ }; a
（3）对正整数的质数分解
6 H0 C9 n6 M. E$ ~: W3 |factor(1025)
" F0 s# T7 A/ t( Nans =
3 W. F/ L  C8 Y$ |* O5 5 41

  R4 Q0 v/ q* q5 y, E- C【 * 例 6.2.1 -3 】对多项式进行嵌套型分解
. N* ?5 l% f9 \clear;syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;horner(f1)
6 T) ^) z* a+ M$ A4 s. b6 ^7 hans =
-6+(5+(5+(-5+x)*x)*x)*x
# H3 M4 Q  K; n( t$ @& h, p
- h3 i' ^6 [4 J: `【 * 例 6.2.1 -4 】写出矩阵各元素的分子、分母多项式
（1）求矩阵各元素的分子、分母多项式
# A( J! i" Y: ]" B7 O0 osyms x;A=[3/2,(x^2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1);4/x^2,3*x+4];
$ ~3 ^# Z( ]( p3 A! c# d# Y[n,d]=numden(A)
8 b; p& d5 |* e8 E, Bpretty(simplify(A)) % 为方便阅读而设。请用 simple 代替 simplify 试试。 <3>
* i0 g- m: _- Jn =
[ 3, x^3+5*x^2-3]
[ 4, 3*x+4]
d =
' }5 W# _3 C1 L" V- g7 X[ 2, (2*x-1)*(x-1)]
[ x^2, 1]
: Q; E4 @& ]/ _6 J[ 3 2 ]
/ C9 _2 c& k0 F[ x + 5 x - 3 ]
# G" a- q' U7 N3 o2 w) o2 U[3/2 -----------------]

3 Y8 s! \$ u4 e6 \3 C+ C
/ }0 U9 a" S, x4 v# G: f/ K

5 X! e. ~& v3 ]% K- d6 O[ (2 x - 1) (x - 1)]
. a( \& K( Q4 N4 u) J[ ]
% L* d2 i3 K$ ]8 b% a3 \' c$ s[ 4 ]
4 N/ P/ {# D1 A) |' |/ ?[---- 3 x + 4 ]
: ]) V7 G* y3 _. {+ v, N. c[ 2 ]
[ x ]
% \  T4 i: I3 G! Q) Y# s
（2）请读者自己运行以下指令，显示结果应与指令 <3> 相同。
pretty(simplify(n./d)) % 注意这里用的是“数组除”，而不是“矩阵除”
; u8 |& ]3 @6 ~7 f- d[ 3 2 ]
, T/ B. K! i* }* J, I- B. W6 |8 n[ x + 5 x - 3 ]
/ {' P/ K# v( X0 f7 j' i7 T# V' t[3/2 -----------------]
0 O% b; J: J$ h; y8 O[ (2 x - 1) (x - 1)]
! |% h$ t' j3 s* Y7 H( `[ ]
! ]8 u" O4 E& Z9 U2 N" r2 S. Y+ T  v[ 4 ]
5 y3 |; l& b3 O5 M8 |/ \[---- 3 x + 4 ]
[ 2 ]
[ x ]

+ p. B& O4 a9 s! g0 o  X( n
! w. Y0 _0 r" l; P4 r7 n. n【 * 例 6.2.1 -5 】简化
" k+ N1 \& r4 Z& e7 q（1）运用 simplify 简化（即使多次运用 simplify 也不能得到最简形式。）
& h4 U- R: Z; n5 D! z3 k* P0 `syms x;f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3);
/ ?+ j& x& L9 L( d  a计算机教程Matlab 符号表达式和符号函数的操作来自www.itwen.comIT WEN计算机教程网
* J2 v, N- [, k* n4 f1 |, U
sfy1=simplify(f),sfy2=simplify(sfy1)
: ~) Y2 e: E  k9 ?. |( S# Csfy1 =
* M0 ~5 M' G3 U' r! O4 B((2*x+1)^3/x^3)^(1/3)
, j# R) S( s; F# o) Vsfy2 =
((2*x+1)^3/x^3)^(1/3)

（2）运用 simple 简化
; H3 D  m  o* K/ l; h+ P0 e: ug1=simple(f),g2=simple(g1)
) `# t9 ~2 S$ N! r: F  Z. R0 sg1 =
$ r" G4 t4 N$ M. g(2*x+1)/x
g2 =
+ Y  a0 \  [) h! ^2+1/x

1 `: ?! z9 `# e0 z* {- E. j2 s
$ I  d$ [6 g: _0 A9 s/ e【 * 例 6.2.1 -6 】简化
syms x;ff=cos(x)+sqrt(-sin(x)^2);
ssfy1=simplify(ff),ssfy2=simplify(ssfy1)
ssfy1 =
cos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)
ssfy2 =
cos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)
gg1=simple(ff),gg2=simple(gg1)
" s; T6 a$ w+ @gg1 =
4 b, L; L( E! q# V4 |/ \! gcos(x)+i*sin(x)
gg2 =
1 q" ?' Y2 u% V  g, L3 ^' oexp(i*x)
6 h% F' {) l( \
4 I9 ~6 l  n' ^- o  l0 t- T1 N
9 k7 W$ K* ]' z# W  `. v, {6.2.2 符号函数的求反和复合

0 ^: B4 z* i% P& U

　　

* g8 k6 G7 V# T【 * 例 6.2.2 -1 】求 的反函数
syms x;f=x^2;g=finverse(f)
6 n3 M2 H! n- _0 }1 P& VWarning: finverse(x^2) is not unique.
- _: M. r3 O- t8 z# f+ w1 i' k> In E:\MAT53\toolbox\symbolic\@sym\finverse.m at line 43
7 ^, Y6 x) W3 l& ag =
x^(1/2)
% A" Z, j2 Y( L( ?0 H
fg=simple(compose(g,f)) % 验算 g(f(x)) 是否等于 x
fg =
x

【 * 例 6.2.2 -2 】求 的复合函数

- Z5 @1 [7 G: Z" x$ |, b6 F; O（1）自变量由机器确定
. u, u+ V3 z' r1 K, a3 n# ^syms x y u fai t;f=x/(1+u^2);g=cos(y+fai);fg1=compose(f,g)
fg1 =
cos(y+fai)/(1+u^2)
# S# e8 x: X; {! c
* v/ U3 Q% z3 n1 z) m（2）指定自变量

fg2=compose(f,g,u,fai,t)
fg2 =
x/(1+cos(y+t)^2)
( U5 ?3 y; i- B0 C

( d) z9 g) `& u9 ^# b6.2.3 置换及其应用
6.2.3.1 自动执行的子表达式置换指令

5 y) A+ H% d) i$ h【 * 例 6.2.3 .1-1 】演示子表达式的置换表示。
1 U% i0 N- Y: G/ d8 ~* q/ y0 Tclear all,syms a b c d W;[V,D]=eig([a b;c d]);
[RVD,W]=subexpr([V;D],W) %<2>
RVD =
2 C. Y# W5 s0 w- Q" s[ -(1/2*d-1/2*a-1/2*W)/c, -(1/2*d-1/2*a+1/2*W)/c]
0 U7 U0 T( g! Q[ 1, 1]
7 Q  p1 A7 ~: e0 j0 L[ 1/2*d+1/2*a+1/2*W, 0]
[ 0, 1/2*d+1/2*a-1/2*W]
/ S& E* c# p: A3 F( _) EW =
(d^2-2*a*d+a^2+4*b*c)^(1/2)
7 k) W1 ?0 b1 z( s- }/ P+ V: i

6.2.3.2 通用置换指令
: P, Y1 K3 c. C
- R1 }9 R) w, _# {0 P- n) M8 u# I【 * 例 6.2.3 .2-1 】用简单算例演示 subs 的置换规则。
' s7 r, R1 L! ^$ @8 Z. @% ^# d/ Q（1）产生符号函数
syms a x;f=a*sin(x)+5;
$ j/ M  @: _8 Y1 g2 f. [6 [; m
% b, S. Q9 X! C: i（2）符号变量置换
f1=subs(f,'sin(x)',sym('y')) %<2> 　　

- k" m) k4 g( `2 ?, R! T

f1 =
6 E+ T# l- U) n. v4 s5 m8 q! s$ {4 e6 ya*y+5
# ?5 n: E$ e. Q! l7 x: T9 ?, w2 |
（3）符号常数置换
f2=subs(f,{a,x},{2,sym(pi/3)}) %<3>
f2 =
/ |' c# ~) Z& o& a& T3^(1/2)+5

+ I) A1 X+ G! B" ~) T（4）双精度数值置换（即所有自由变量被双精度数值取代。取 a=2 ， x=pi/3 ）
  Q& [% |) u, n' lf3=subs(f,{a,x},{2,pi/3}) %<4>
f3 =
6.7321

（5）数值数组置换之一（取 a=2 ， x=0:pi/6:pi ）
) }1 |. O1 ?0 Zf4=subs(subs(f,a,2),x,0:pi/6:pi) %<5>
$ Z0 k% H# T" vf4 =
8 J! `+ |) l; Y5.0000 6.0000 6.7321 7.0000 6.7321 6.0000 5.0000
0 j. ~. O; @# m' T9 ~
- a' ^7 Y8 `+ s7 \& a  B  h3 H（6）数值数组置换之二（取 a=0:6 ， x=0:pi/6:pi ）
- x9 D% N# k: ?0 ^6 \/ P) i6 mf5=subs(f,{a,x},{0:6,0:pi/6:pi}) %<6>
# B5 k8 ^& a% t" m1 F1 tf5 =
5.0000 5.5000 6.7321 8.0000 8.4641 7.5000 5.0000
7 q$ w% r2 P* p$ Q, W' s! U+ y# J  z

6.2.4 符号数值精度控制和任意精度计算
& x5 h0 _2 \6 ~2 z5 F6.2.4.2 任意精度的符号数值
: M/ f0 _$ G) B1 e; R& Z
0 ~0 h$ R" _! \& i/ Q0 _【 * 例 6.2.4 .2-1 】指令使用演示。
digits % 显示省缺符号数值计算相对精度
4 z! A! x  m! U* z) X/ i" R6 {' M7 Y& D' DDigits = 32
1 b. W4 \; {+ o1 T) L% {! Lp0=sym('(1+sqrt(5))/2'); %p0 为 (1+sqrt(5))/2 准确值
" e# O9 B7 v+ D3 ]& J& P* y* Vp1=sym((1+sqrt(5))/2) %p1 是 (1+sqrt(5))/2 在数值环境下的近似值
! X4 h$ t4 v4 M6 V" ?( S( De01=vpa(abs(p0-p1)) % 在符号环境 32 位省缺精度下，观察 p0, p1 间误差
p1 =
/ f0 f/ i' P  z7286977268806824*2^(-52)
$ k# n: z- X  [& je01 =
.543211520368250e-16
p2=vpa(p0) %p2 是 p0 在 32 位相对精度下的近似
0 T. D" d& r( ]7 qe02=vpa(abs(p0-p2),64) % 在 64 位相对精度下，观察 p0, p2 间的误差
p2 =
1.6180339887498948482045868343657
e02 =
  I, `3 g0 Z2 [5 R.61882279690820194237137864551377e-31
$ b( W  [: E5 X& L; t# c' Ndigits % 验证 vpa 变精度计算不影响全局的符号数值计算精度
Digits = 32
4 i2 r; @1 H. y- j
  u' ]2 a. y  G. r$ w' F$ K
3 c+ l) b( {$ j" t, X# b& u' Z) @' z6 K6.2.5 符号对象与其它数据对象间的转换
9 G& o% z2 P7 }" ~  O/ ^: S% @

【 * 例 6.2.5 -1 】符号、数值间的转换。
/ X9 M  Y! }! J& @phi=sym((1+sqrt(5))/2) % 把数值对象转换成符号常数
/ e; n3 E) ]) o$ c# n& q: k% mdouble(phi) % 把符号常数转换为双精度存储的数值
phi =
7286977268806824*2^(-52)
ans =
1.6180
: k- K0 U. `2 W4 W
2 v( @: q9 v; i6 \% n: f【 * 例 6.2.5 -2 】各种多项式表示形式之间的转换
syms x;f=x^3+2*x^2-3*x+5; % 生成符号多项式
sy2p=sym2poly(f) % 由符号多项式产生数值系数行向量
3 s* E% T' k! `# Qp2st=poly2str(sy2p,'x') % 把系数行向量变成易读表示式
- s  a6 i# u7 K) ~, \+ op2sy=poly2sym(sy2p) % 把数值系数行向量再转换为符号多项式
pretty(f,'x') % 显示符号多项式的易读表示形式
sy2p =
1 2 -3 5
; \5 s8 q/ Y8 k! o5 M. Lp2st =
+ Y- a  Z, ]- d3 Ux^3 + 2 x^2 - 3 x + 5
p2sy =
: R$ T: V& T5 g, F, yx^3+2*x^2-3*x+5
: u; q# g& b+ x  C$ ?5 |3 2
x + 2 x - 3 x + 5

* @, _6 ]# w$ x

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