Matlab 符号表达式和符号函数的操作

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Matlab 符号表达式和符号函数的操作
2 Q* C0 J+ W% v- e" H
6.2 符号表达式和符号函数的操作
6.2.1 符号表达式的操作
. d9 \# o. ^) w8 A
【 * 例 6.2.1 -1 】按不同的方式合并同幂项。
EXPR=sym('(x^2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t))');
$ x* W  z  @* J8 |8 i! u' @$ g5 a; T, Jexpr1=collect(EXPR) % 默认合并 x 同幂项系数
8 i% E- ]( s4 N6 e3 zexpr2=collect(EXPR,'exp(-t)') % 合并 exp(-t) 同幂项系数
; F; u$ n! h9 ]' V1 S/ n+ n7 fexpr1 =
  Z9 s# S# w' W. U# i; g# |1 Bx^3+2*exp(-t)*x^2+(1+exp(-t)^2)*x+exp(-t)
expr2 =
x*exp(-t)^2+(2*x^2+1)*exp(-t)+(x^2+1)*x

【 * 例 6.2.1 -2 】 factor 指令的使用
2 i0 V+ T  X& c! F; E（1）除 x 外不含其它自由变量的情况
# j/ N3 t% a$ V" ?syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;factor(f1)
ans =
(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1)
( K; i" m" R* o% {
（2）含其它自由变量的情况之一
f2=x^2-a^2;factor(f2)

, Z( c! F$ r$ `' ?. c) t% z0 cans =
(x-a)*(x+a)
7 j7 F8 C* W0 M
; b: F) h4 o) V（3）对正整数的质数分解
factor(1025)
5 r$ Y1 P- y6 H8 nans =
* e  H0 H: d6 O5 5 41

【 * 例 6.2.1 -3 】对多项式进行嵌套型分解
clear;syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;horner(f1)
* J$ l; z$ V8 W2 g# Dans =
- a2 j6 ~3 }1 \% s9 K  G5 Q-6+(5+(5+(-5+x)*x)*x)*x
" E) }  R# v4 X( x* A+ X
【 * 例 6.2.1 -4 】写出矩阵各元素的分子、分母多项式
$ r: c7 ~" b. |3 u0 g（1）求矩阵各元素的分子、分母多项式
syms x;A=[3/2,(x^2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1);4/x^2,3*x+4];
) m+ t0 T: z& D- V[n,d]=numden(A)
pretty(simplify(A)) % 为方便阅读而设。请用 simple 代替 simplify 试试。 <3>
7 z4 ^) R+ B. G1 ]+ S, wn =
[ 3, x^3+5*x^2-3]
[ 4, 3*x+4]
4 q6 m% k6 L" u' u* `& c! a1 zd =
  w8 l9 C3 ?7 d5 T0 g8 e[ 2, (2*x-1)*(x-1)]
, q9 M4 |8 N3 |. r+ V! k* `$ Q[ x^2, 1]
[ 3 2 ]
[ x + 5 x - 3 ]
8 i- B( v5 T2 ]2 x8 |+ s# c8 |[3/2 -----------------]
7 R$ o, I# z) ~4 X
5 I- {  M, N/ c, l( I
0 c/ q# f( P: K. g8 {, ]3 X1 w

3 ^0 \5 c, z. x" l[ (2 x - 1) (x - 1)]
[ ]
[ 4 ]
[---- 3 x + 4 ]
% ?5 z& ?5 Z2 P9 s0 V" K' f[ 2 ]
6 Y. T" z9 ?$ u4 @2 A" W[ x ]
& h3 d1 Y2 s1 i* C+ G* P
$ {- |/ X4 N$ |4 b, }（2）请读者自己运行以下指令，显示结果应与指令 <3> 相同。
pretty(simplify(n./d)) % 注意这里用的是“数组除”，而不是“矩阵除”
# F6 b+ [# s- |; l[ 3 2 ]
/ N" A& p8 Q" Q9 T! y. ?/ i; t[ x + 5 x - 3 ]
5 K6 N2 t; ?2 R) P6 o# d+ K[3/2 -----------------]
' x7 \  g" M' O6 c, W[ (2 x - 1) (x - 1)]
5 A1 c. [4 J2 z" \2 O[ ]
; i6 K) [- b. J3 V# J9 J) T, [[ 4 ]
! @. ]0 S" X1 W, l" w* A6 J7 S[---- 3 x + 4 ]
[ 2 ]
[ x ]


5 H4 Q; e& K. m2 z" R【 * 例 6.2.1 -5 】简化
; A; I' L6 m1 [$ W. f' r$ j9 n  q. P（1）运用 simplify 简化（即使多次运用 simplify 也不能得到最简形式。）
) ]' \! i& s3 p- B# bsyms x;f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3);
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: ^3 s* @+ z( Y! J4 F
sfy1=simplify(f),sfy2=simplify(sfy1)
sfy1 =
((2*x+1)^3/x^3)^(1/3)
sfy2 =
((2*x+1)^3/x^3)^(1/3)

（2）运用 simple 简化
g1=simple(f),g2=simple(g1)
g1 =
% q7 I: N+ l; L8 q6 `1 a+ x, b(2*x+1)/x
3 o; P/ U+ B1 m  C& kg2 =
3 p0 e, A/ G; O- S( j* b, T' q2+1/x
" g  n+ t) M& \' D
  O% g$ I$ r. e& Z$ O2 n% w. D8 i
【 * 例 6.2.1 -6 】简化
syms x;ff=cos(x)+sqrt(-sin(x)^2);
5 @5 l9 \9 j7 C* P: Xssfy1=simplify(ff),ssfy2=simplify(ssfy1)
ssfy1 =
' `+ A9 ]% |5 m1 Ecos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)
9 A8 S2 w8 @+ m: L0 l, Qssfy2 =
cos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)
gg1=simple(ff),gg2=simple(gg1)
gg1 =
: U& o% J( D) g( y) I- \cos(x)+i*sin(x)
gg2 =
exp(i*x)


: ~/ H' X) u3 n8 y* I6 J0 g6.2.2 符号函数的求反和复合

+ R! M5 s. h; K9 B6 e

　　

2 c% a$ r2 F+ X

【 * 例 6.2.2 -1 】求 的反函数
syms x;f=x^2;g=finverse(f)
Warning: finverse(x^2) is not unique.
4 o4 c3 Y  m, S- G+ P6 @> In E:\MAT53\toolbox\symbolic\@sym\finverse.m at line 43
4 h5 d, E# Z# U, Jg =
x^(1/2)
. \$ X3 k( M" L
+ U$ g+ X& ]/ Qfg=simple(compose(g,f)) % 验算 g(f(x)) 是否等于 x
fg =
x

/ a$ p, o$ o' l/ J5 \【 * 例 6.2.2 -2 】求 的复合函数

' Q3 n% m, s. d1 n1 `（1）自变量由机器确定
  E" r$ G# \, Tsyms x y u fai t;f=x/(1+u^2);g=cos(y+fai);fg1=compose(f,g)
7 J% U* N; m; e# Bfg1 =
cos(y+fai)/(1+u^2)
1 Z2 w, h. C) V( o! Y2 Z# W
（2）指定自变量

fg2=compose(f,g,u,fai,t)
) e& X0 d% r+ a9 V3 X( V5 yfg2 =
x/(1+cos(y+t)^2)
& t4 V; \! x0 `- {' ?

6.2.3 置换及其应用
6.2.3.1 自动执行的子表达式置换指令

  c. x" y' |; N# V. K3 O2 l【 * 例 6.2.3 .1-1 】演示子表达式的置换表示。
clear all,syms a b c d W;[V,D]=eig([a b;c d]);
6 K0 H. N9 v, u0 R8 {9 W, b9 S[RVD,W]=subexpr([V;D],W) %<2>
RVD =
[ -(1/2*d-1/2*a-1/2*W)/c, -(1/2*d-1/2*a+1/2*W)/c]
* _! |8 T3 ?  R0 L/ W$ @' X8 j* T0 |[ 1, 1]
  ?% k4 G7 U1 D/ D/ B[ 1/2*d+1/2*a+1/2*W, 0]
[ 0, 1/2*d+1/2*a-1/2*W]
4 \2 h- I! F8 ^W =
, l+ X  i- t+ z; ?(d^2-2*a*d+a^2+4*b*c)^(1/2)


6.2.3.2 通用置换指令
" V" }. B4 ]' ]8 v2 a
1 V1 d7 _% G3 M' A/ V【 * 例 6.2.3 .2-1 】用简单算例演示 subs 的置换规则。
, S+ d1 Y% w0 [, C（1）产生符号函数
syms a x;f=a*sin(x)+5;

（2）符号变量置换
f1=subs(f,'sin(x)',sym('y')) %<2> 　　

* }8 n9 g% ~3 ^" u

f1 =
: M7 W, Z) M. ga*y+5

4 C9 F/ J% v/ Y% G5 }1 Y3 v4 n; M（3）符号常数置换
f2=subs(f,{a,x},{2,sym(pi/3)}) %<3>
2 }* J' n! d  r& C! W) m4 Zf2 =
3^(1/2)+5

% h) I. W$ M* g# X; h（4）双精度数值置换（即所有自由变量被双精度数值取代。取 a=2 ， x=pi/3 ）
6 E; n4 T# Q, V  R. jf3=subs(f,{a,x},{2,pi/3}) %<4>
f3 =
, k1 g2 x  m5 P- e+ i6.7321
5 d+ j% O2 {' O: A7 x, ]) w. J
2 g0 ]" p5 i/ [' [（5）数值数组置换之一（取 a=2 ， x=0:pi/6:pi ）
f4=subs(subs(f,a,2),x,0:pi/6:pi) %<5>
0 _/ n# Z8 p7 C7 m9 Zf4 =
5.0000 6.0000 6.7321 7.0000 6.7321 6.0000 5.0000

. e$ M8 ~' W/ V8 `4 d) g# p（6）数值数组置换之二（取 a=0:6 ， x=0:pi/6:pi ）
. h/ F* Y2 v4 w! w+ G- b! A  B( jf5=subs(f,{a,x},{0:6,0:pi/6:pi}) %<6>
f5 =
5.0000 5.5000 6.7321 8.0000 8.4641 7.5000 5.0000


6.2.4 符号数值精度控制和任意精度计算
- B; A& n! Y3 l9 F+ S3 m7 f& c6.2.4.2 任意精度的符号数值

【 * 例 6.2.4 .2-1 】指令使用演示。
digits % 显示省缺符号数值计算相对精度
: B0 `9 A: N! VDigits = 32
p0=sym('(1+sqrt(5))/2'); %p0 为 (1+sqrt(5))/2 准确值
3 M7 p8 |3 ~7 c9 Dp1=sym((1+sqrt(5))/2) %p1 是 (1+sqrt(5))/2 在数值环境下的近似值
1 M: N" F1 r* N8 o( C1 J. J  `! Q# Ve01=vpa(abs(p0-p1)) % 在符号环境 32 位省缺精度下，观察 p0, p1 间误差
2 g' R8 r3 P9 i" e- C$ g( y+ W; Vp1 =
7286977268806824*2^(-52)
' q- i" Y$ n% G9 w8 U7 de01 =
.543211520368250e-16
  k9 v2 a1 z1 K0 S6 Y8 m! u% I& m3 Dp2=vpa(p0) %p2 是 p0 在 32 位相对精度下的近似
) L* Y8 Z, M( i/ @" \  Be02=vpa(abs(p0-p2),64) % 在 64 位相对精度下，观察 p0, p2 间的误差
! s  X6 n8 J8 P7 K. w2 ^% Q6 ]! Xp2 =
1.6180339887498948482045868343657
e02 =
! y' e: @1 K5 y" v.61882279690820194237137864551377e-31
digits % 验证 vpa 变精度计算不影响全局的符号数值计算精度
Digits = 32


6.2.5 符号对象与其它数据对象间的转换
. \9 s( ^3 ?- L9 @4 v9 b) T4 a1 h

7 k3 X1 C' ^2 N% m' c5 y" X【 * 例 6.2.5 -1 】符号、数值间的转换。
/ x! N5 w' M" Aphi=sym((1+sqrt(5))/2) % 把数值对象转换成符号常数
double(phi) % 把符号常数转换为双精度存储的数值
phi =
  e7 p: ~9 m# W1 ?0 ?1 ]7286977268806824*2^(-52)
ans =
$ W6 G6 e' u% y: M" j9 s5 d1.6180

8 y) X6 ]2 P* C" L$ f【 * 例 6.2.5 -2 】各种多项式表示形式之间的转换
2 r  v2 X  l* tsyms x;f=x^3+2*x^2-3*x+5; % 生成符号多项式
sy2p=sym2poly(f) % 由符号多项式产生数值系数行向量
: _3 c7 O1 Q$ X+ E( `$ kp2st=poly2str(sy2p,'x') % 把系数行向量变成易读表示式
p2sy=poly2sym(sy2p) % 把数值系数行向量再转换为符号多项式
- F) }8 P# B6 f4 i$ Y: ]3 tpretty(f,'x') % 显示符号多项式的易读表示形式
sy2p =
1 2 -3 5
0 t) z3 P* o' O- a5 kp2st =
; K3 m$ n4 k$ C& Jx^3 + 2 x^2 - 3 x + 5
; E0 M; i5 v: h! N- _1 S, bp2sy =
x^3+2*x^2-3*x+5
& o: Y! Q- I6 M6 B4 k: n3 2
x + 2 x - 3 x + 5

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