Matlab 符号表达式和符号函数的操作

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Matlab 符号表达式和符号函数的操作

; L' _6 _# n; l- n, Y* x+ w) ?/ T' L6.2 符号表达式和符号函数的操作
3 H3 S/ \$ Q1 G6.2.1 符号表达式的操作
* ?' M1 B2 A( z: Z! ]1 y8 Q
; M0 o1 e, I, l& A0 u( [; y【 * 例 6.2.1 -1 】按不同的方式合并同幂项。
EXPR=sym('(x^2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t))');
expr1=collect(EXPR) % 默认合并 x 同幂项系数
2 t* {9 T; V) V1 cexpr2=collect(EXPR,'exp(-t)') % 合并 exp(-t) 同幂项系数
expr1 =
x^3+2*exp(-t)*x^2+(1+exp(-t)^2)*x+exp(-t)
expr2 =
x*exp(-t)^2+(2*x^2+1)*exp(-t)+(x^2+1)*x

【 * 例 6.2.1 -2 】 factor 指令的使用
; \3 R- X! H( W$ A4 M: i2 ]（1）除 x 外不含其它自由变量的情况
1 _1 w5 Q# e' @5 p/ ~8 p2 usyms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;factor(f1)
: G! C8 Y# O. `# U1 x' ?ans =
; o6 a6 ^$ @: Z1 O(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1)

（2）含其它自由变量的情况之一
f2=x^2-a^2;factor(f2)

ans =
(x-a)*(x+a)

2 n) D4 p5 \8 g; f8 W. |（3）对正整数的质数分解
factor(1025)
ans =
. d1 r5 G( [/ Y8 f+ r1 x! y/ b5 5 41

【 * 例 6.2.1 -3 】对多项式进行嵌套型分解
clear;syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;horner(f1)
ans =
-6+(5+(5+(-5+x)*x)*x)*x

1 k; d: ~5 j2 W- I9 o【 * 例 6.2.1 -4 】写出矩阵各元素的分子、分母多项式
（1）求矩阵各元素的分子、分母多项式
syms x;A=[3/2,(x^2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1);4/x^2,3*x+4];
[n,d]=numden(A)
pretty(simplify(A)) % 为方便阅读而设。请用 simple 代替 simplify 试试。 <3>
7 j! _* z$ M7 E8 ]n =
* R/ Z2 H. t& D' K[ 3, x^3+5*x^2-3]
: x+ u2 }2 y9 U; H3 N[ 4, 3*x+4]
d =
[ 2, (2*x-1)*(x-1)]
# h/ m! c" S$ I9 `[ x^2, 1]
[ 3 2 ]
[ x + 5 x - 3 ]
# ?% H+ |, e5 f3 N9 v1 x[3/2 -----------------]
! a+ h$ L5 \* A* `
3 ]1 _- y5 R  |( \: D4 }) N- S

[ (2 x - 1) (x - 1)]
. d- j/ q( ?7 ^5 e6 o! D3 I3 b- S[ ]
[ 4 ]
[---- 3 x + 4 ]
) A' W2 C+ ~; e$ M% w[ 2 ]
[ x ]

" q2 I  m) b' N: M/ w（2）请读者自己运行以下指令，显示结果应与指令 <3> 相同。
9 g7 z4 p. p3 g) C5 Y5 l4 apretty(simplify(n./d)) % 注意这里用的是“数组除”，而不是“矩阵除”
[ 3 2 ]
[ x + 5 x - 3 ]
  k. w# `4 W$ P[3/2 -----------------]
* E' Q: g( K/ u- ?) s[ (2 x - 1) (x - 1)]
# d8 R; z( c& f8 ^: y4 B2 ][ ]
) `9 C5 t# q3 }9 {3 Y[ 4 ]
[---- 3 x + 4 ]
[ 2 ]
[ x ]

; k; @2 N2 \( `9 t# }  P: d- Z0 R
0 d$ P* b; E! o2 ]【 * 例 6.2.1 -5 】简化
4 W8 X! c. B: A2 }（1）运用 simplify 简化（即使多次运用 simplify 也不能得到最简形式。）
syms x;f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3);
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3 a; H' \3 b0 }5 D
+ Z7 i  Y! F  o' J* [sfy1=simplify(f),sfy2=simplify(sfy1)
- Q5 A; J8 k) G# g6 M+ {9 osfy1 =
9 ~5 o0 F- o1 Y& D5 p3 I/ z% i((2*x+1)^3/x^3)^(1/3)
sfy2 =
3 {  g  S8 `1 ^: a5 V7 e7 i6 W  W4 o((2*x+1)^3/x^3)^(1/3)
, }% T% n# y& S& l8 Y& C# d
$ [9 O/ ^9 p# l+ c4 `! S! [+ t+ M（2）运用 simple 简化
2 j; A# s* `8 ag1=simple(f),g2=simple(g1)
% i  ]" F7 d; V( y/ Ug1 =
) W/ s: A, S- z; G0 |(2*x+1)/x
g2 =
: ~) f- @% N- P* }2+1/x
: u3 O5 s; U7 K# l9 i$ u

【 * 例 6.2.1 -6 】简化
. x. s+ M+ T1 x+ Qsyms x;ff=cos(x)+sqrt(-sin(x)^2);
8 J0 x+ P( k2 bssfy1=simplify(ff),ssfy2=simplify(ssfy1)
ssfy1 =
) ~8 w2 O: |! C* H! Y. icos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)
ssfy2 =
1 s5 y* ^# S7 r- `3 mcos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)
gg1=simple(ff),gg2=simple(gg1)
gg1 =
4 V' Y7 n* C( r- H9 M5 }1 H! V6 f- d& hcos(x)+i*sin(x)
' }) h( _- m: `- dgg2 =
1 \) b' O2 B  }exp(i*x)
! N' ^- L) p# }) g; t( j

0 y; k9 ~2 D* I, ~: P6.2.2 符号函数的求反和复合

* H2 W5 ]) \, I: f

　　

【 * 例 6.2.2 -1 】求 的反函数
syms x;f=x^2;g=finverse(f)
Warning: finverse(x^2) is not unique.
+ R. }" F* G) t7 c> In E:\MAT53\toolbox\symbolic\@sym\finverse.m at line 43
g =
x^(1/2)

0 a* s  N. d6 E4 i9 s; }fg=simple(compose(g,f)) % 验算 g(f(x)) 是否等于 x
fg =
6 n6 X0 ~9 [! I+ V3 Ux
$ O7 A0 w" l) w7 O. ?1 G
. I# G) b; A3 r& T- r【 * 例 6.2.2 -2 】求 的复合函数

（1）自变量由机器确定
syms x y u fai t;f=x/(1+u^2);g=cos(y+fai);fg1=compose(f,g)
- Z- D2 f4 s( h+ Jfg1 =
cos(y+fai)/(1+u^2)

6 J% d3 O  @9 A. T. E" T' ]) f（2）指定自变量

fg2=compose(f,g,u,fai,t)
4 K) s% {) B$ m6 l" qfg2 =
& `( T: ~/ y# }2 M$ B4 [3 ~x/(1+cos(y+t)^2)
  p1 J* B3 x8 |3 |

2 A  w5 U$ N: V* L% d, U6.2.3 置换及其应用
' Z) e8 ?& h( V' e6.2.3.1 自动执行的子表达式置换指令

【 * 例 6.2.3 .1-1 】演示子表达式的置换表示。
clear all,syms a b c d W;[V,D]=eig([a b;c d]);
4 J1 B, q6 d9 i/ |; i* W' `7 v) q/ T[RVD,W]=subexpr([V;D],W) %<2>
- C1 `! L1 O' ?) }) R$ \RVD =
5 C! u1 `' N  E% t4 ]) D[ -(1/2*d-1/2*a-1/2*W)/c, -(1/2*d-1/2*a+1/2*W)/c]
[ 1, 1]
[ 1/2*d+1/2*a+1/2*W, 0]
[ 0, 1/2*d+1/2*a-1/2*W]
W =
(d^2-2*a*d+a^2+4*b*c)^(1/2)
( M4 K. L2 ]4 _  M. S# M$ V" n' Z  y
9 l; V4 E3 u+ r& K. ]
6.2.3.2 通用置换指令

【 * 例 6.2.3 .2-1 】用简单算例演示 subs 的置换规则。
- O2 n! ]- }4 y1 }（1）产生符号函数
syms a x;f=a*sin(x)+5;
$ u5 b$ n  Z/ n6 L0 G( n. l- ]
（2）符号变量置换
4 F  s% \; d" D5 J+ m' u$ W! Wf1=subs(f,'sin(x)',sym('y')) %<2> 　　

5 p0 s7 T9 g7 ~2 V* b# K; w6 pf1 =
8 C& k$ t6 A/ i6 X3 n- G8 |a*y+5

! f- v+ k, u' {+ O  ]（3）符号常数置换
* U0 G- D! k* S; ff2=subs(f,{a,x},{2,sym(pi/3)}) %<3>
# i4 ?  z3 S6 \6 Ef2 =
( Q. {+ Q* A8 N& w, s3^(1/2)+5
5 {/ A8 w+ G$ X7 F  F* ^0 T
（4）双精度数值置换（即所有自由变量被双精度数值取代。取 a=2 ， x=pi/3 ）
  `; p1 G( g) u" j1 Hf3=subs(f,{a,x},{2,pi/3}) %<4>
8 t  q: w0 l8 o6 E0 e  X0 Yf3 =
/ D: N( Z+ Y8 g3 n6.7321

（5）数值数组置换之一（取 a=2 ， x=0:pi/6:pi ）
f4=subs(subs(f,a,2),x,0:pi/6:pi) %<5>
f4 =
5.0000 6.0000 6.7321 7.0000 6.7321 6.0000 5.0000

（6）数值数组置换之二（取 a=0:6 ， x=0:pi/6:pi ）
) x" v( v* w8 }3 @" l3 U0 Q7 Yf5=subs(f,{a,x},{0:6,0:pi/6:pi}) %<6>
1 H9 Q/ T; [4 q5 w  h! ]; Jf5 =
* c4 h: ?8 q3 L5.0000 5.5000 6.7321 8.0000 8.4641 7.5000 5.0000

" @! G% |! A0 T) L" _1 c# v
6.2.4 符号数值精度控制和任意精度计算
/ v5 ?5 i3 m. T$ x# |3 [+ C6.2.4.2 任意精度的符号数值

【 * 例 6.2.4 .2-1 】指令使用演示。
6 n& W1 p" V: ~, [; J( Jdigits % 显示省缺符号数值计算相对精度
1 t, i: n+ A( O( eDigits = 32
p0=sym('(1+sqrt(5))/2'); %p0 为 (1+sqrt(5))/2 准确值
+ T! a+ P$ V1 W$ K2 M8 Tp1=sym((1+sqrt(5))/2) %p1 是 (1+sqrt(5))/2 在数值环境下的近似值
% O$ R2 M5 x9 t& v5 H, Me01=vpa(abs(p0-p1)) % 在符号环境 32 位省缺精度下，观察 p0, p1 间误差
p1 =
7286977268806824*2^(-52)
e01 =
.543211520368250e-16
) _% \& b+ A+ T+ L6 p8 {; O/ e8 `p2=vpa(p0) %p2 是 p0 在 32 位相对精度下的近似
# a$ Z( w- J) D( X( Ae02=vpa(abs(p0-p2),64) % 在 64 位相对精度下，观察 p0, p2 间的误差
; ^4 r% S: U3 g5 v, X) j# Op2 =
1.6180339887498948482045868343657
e02 =
" h, s3 N3 k3 ^1 c" h.61882279690820194237137864551377e-31
digits % 验证 vpa 变精度计算不影响全局的符号数值计算精度
  \; M3 E1 w( R" @% i- d  u2 WDigits = 32


6.2.5 符号对象与其它数据对象间的转换
6 S& E  Y) S1 z' _
8 F3 Y6 Q- H/ \6 C9 P

【 * 例 6.2.5 -1 】符号、数值间的转换。
4 h" x& F/ X; O% Ophi=sym((1+sqrt(5))/2) % 把数值对象转换成符号常数
3 D- X" [3 E) [5 L4 Y# v2 o7 c. sdouble(phi) % 把符号常数转换为双精度存储的数值
phi =
7286977268806824*2^(-52)
- {3 H- l' F. |0 h" ians =
1 i1 }& `; y4 f# r6 ~( a; I( P) ?1.6180

【 * 例 6.2.5 -2 】各种多项式表示形式之间的转换
syms x;f=x^3+2*x^2-3*x+5; % 生成符号多项式
sy2p=sym2poly(f) % 由符号多项式产生数值系数行向量
: y& b% h7 g& E7 s3 @# fp2st=poly2str(sy2p,'x') % 把系数行向量变成易读表示式
p2sy=poly2sym(sy2p) % 把数值系数行向量再转换为符号多项式
pretty(f,'x') % 显示符号多项式的易读表示形式
sy2p =
1 2 -3 5
p2st =
9 O  R6 Z% {5 v! p5 N; `' F9 Z; X! ^x^3 + 2 x^2 - 3 x + 5
2 J! ^' z4 c! @8 m$ D/ c: r) K- ~p2sy =
x^3+2*x^2-3*x+5
0 H) Y# l% v7 @( ^2 A3 2
x + 2 x - 3 x + 5

3 k7 ^" X# M0 s5 J

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