Matlab 符号表达式和符号函数的操作

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Matlab 符号表达式和符号函数的操作

1 q/ V/ [+ _' Q$ e" u. T6.2 符号表达式和符号函数的操作
6.2.1 符号表达式的操作

* l" O. O+ E# l5 e# z7 J& @; q【 * 例 6.2.1 -1 】按不同的方式合并同幂项。
4 J( o7 e' d: V7 X% UEXPR=sym('(x^2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t))');
% V: u, @+ j. L! q* e- texpr1=collect(EXPR) % 默认合并 x 同幂项系数
expr2=collect(EXPR,'exp(-t)') % 合并 exp(-t) 同幂项系数
expr1 =
x^3+2*exp(-t)*x^2+(1+exp(-t)^2)*x+exp(-t)
0 ~$ }) E! p  Aexpr2 =
' }, i6 D8 l$ x1 p) vx*exp(-t)^2+(2*x^2+1)*exp(-t)+(x^2+1)*x

+ f9 T5 Q6 @% t: K$ U/ N- C' S【 * 例 6.2.1 -2 】 factor 指令的使用
$ H& q" l/ f( A& K. i（1）除 x 外不含其它自由变量的情况
syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;factor(f1)
ans =
3 e- N. V$ ^6 ?& f& @8 Z6 `(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1)

（2）含其它自由变量的情况之一
f2=x^2-a^2;factor(f2)
6 e* h0 }" l8 e. {
4 [3 K5 P8 b& z/ a  p6 S& Mans =
(x-a)*(x+a)

（3）对正整数的质数分解
+ C& [+ {  j6 s: g7 Qfactor(1025)
ans =
5 5 41
* B' z8 Q5 y1 W9 j4 S
9 o1 \1 |; ~/ U' M; @9 S+ T【 * 例 6.2.1 -3 】对多项式进行嵌套型分解
clear;syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;horner(f1)
- K5 G) ~+ Z* t( `! H' W# `ans =
-6+(5+(5+(-5+x)*x)*x)*x

8 Y( z# G4 s- P- {8 N, \【 * 例 6.2.1 -4 】写出矩阵各元素的分子、分母多项式
) \/ J- {- d8 s- v: D( }（1）求矩阵各元素的分子、分母多项式
8 O+ J# ^4 y) ~. u4 l0 Wsyms x;A=[3/2,(x^2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1);4/x^2,3*x+4];
[n,d]=numden(A)
pretty(simplify(A)) % 为方便阅读而设。请用 simple 代替 simplify 试试。 <3>
n =
[ 3, x^3+5*x^2-3]
[ 4, 3*x+4]
d =
6 {# ?2 L8 e9 F/ Z% x[ 2, (2*x-1)*(x-1)]
2 B% b3 v" T& K[ x^2, 1]
9 j1 D- g) _& Q& A$ g6 f5 g2 C[ 3 2 ]
" c- {9 K+ u0 H$ J[ x + 5 x - 3 ]
[3/2 -----------------]

) i1 X# h  H  ?) e$ h' u[ (2 x - 1) (x - 1)]
[ ]
[ 4 ]
[---- 3 x + 4 ]
[ 2 ]
( \: S9 a, U4 }, A; G[ x ]

（2）请读者自己运行以下指令，显示结果应与指令 <3> 相同。
8 s) y2 R, B4 npretty(simplify(n./d)) % 注意这里用的是“数组除”，而不是“矩阵除”
/ t' q( `+ {8 \2 y[ 3 2 ]
[ x + 5 x - 3 ]
2 Q5 b9 q" _5 U; v" h  }[3/2 -----------------]
. d/ _1 Z2 o' y# b' S1 C[ (2 x - 1) (x - 1)]
[ ]
[ 4 ]
[---- 3 x + 4 ]
[ 2 ]
[ x ]
) a/ `8 ~' t( Y' L" O1 G( F

【 * 例 6.2.1 -5 】简化
（1）运用 simplify 简化（即使多次运用 simplify 也不能得到最简形式。）
syms x;f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3);
9 F( B4 ^6 p) L* l计算机教程Matlab 符号表达式和符号函数的操作来自www.itwen.comIT WEN计算机教程网
. }9 z& s$ f: A& T, k0 Q
sfy1=simplify(f),sfy2=simplify(sfy1)
sfy1 =
' S* d: F6 z+ u((2*x+1)^3/x^3)^(1/3)
sfy2 =
4 k: f# S+ E- z1 p( K+ e4 g((2*x+1)^3/x^3)^(1/3)
0 J: K" t6 ~# U$ |; l
! m" E- a/ B& u+ P（2）运用 simple 简化
g1=simple(f),g2=simple(g1)
: b2 M6 v+ o6 d! fg1 =
(2*x+1)/x
, V. Q& ]# i( T3 |. Gg2 =
2+1/x
  m; x* i( |' O3 F: X  F# i1 W
* Z- P. K- G+ s9 J6 b1 k% t
& j. w3 y' o' X8 e* x& y; o【 * 例 6.2.1 -6 】简化
+ R8 x, F1 L) Fsyms x;ff=cos(x)+sqrt(-sin(x)^2);
2 R6 d9 X. q3 d+ m; {5 ~2 Cssfy1=simplify(ff),ssfy2=simplify(ssfy1)
4 H8 `1 g  o9 j! a! f5 o: W' Yssfy1 =
cos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)
/ G1 a& m4 r4 V' x2 p/ |1 Cssfy2 =
2 Z( k3 U0 w$ ?: Z% r3 U$ acos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)
gg1=simple(ff),gg2=simple(gg1)
gg1 =
, \% u2 S, c& A! K& ]7 h9 Ucos(x)+i*sin(x)
: e- v- G$ U- Bgg2 =
exp(i*x)


  j  `1 D; L) \6.2.2 符号函数的求反和复合

4 J. p: [  s0 f1 n7 D! s% n3 E  S$ [

　　

+ [$ q5 V( z% N$ U+ b8 i- y

【 * 例 6.2.2 -1 】求 的反函数
; C2 z, B3 r" ?( I  Z' f$ K3 Jsyms x;f=x^2;g=finverse(f)
Warning: finverse(x^2) is not unique.
; N# d9 Y/ y' L* ]2 J) o1 L/ \> In E:\MAT53\toolbox\symbolic\@sym\finverse.m at line 43
) V. y6 o' B5 R# l0 J, vg =
x^(1/2)

fg=simple(compose(g,f)) % 验算 g(f(x)) 是否等于 x
+ K) F1 g# Y- j* K% \fg =
x

【 * 例 6.2.2 -2 】求 的复合函数
$ _' I9 P# w: w# b, c, E/ n. Q
# z2 f' P9 H3 E' G6 \8 X2 W（1）自变量由机器确定
0 a" s) W/ X- [syms x y u fai t;f=x/(1+u^2);g=cos(y+fai);fg1=compose(f,g)
) A3 w) X" f4 y  [$ ~6 E' A; hfg1 =
# ]) s8 f8 w0 m! scos(y+fai)/(1+u^2)

（2）指定自变量
; U: w7 t, k+ V- ^
fg2=compose(f,g,u,fai,t)
8 @* [9 P- u. o1 H/ kfg2 =
- o, n4 y! d0 w; P) Px/(1+cos(y+t)^2)

- R9 _- e# V" f. M# T" H
6.2.3 置换及其应用
6.2.3.1 自动执行的子表达式置换指令

: k9 Q8 w, p: |" g* Q" N) f9 U【 * 例 6.2.3 .1-1 】演示子表达式的置换表示。
clear all,syms a b c d W;[V,D]=eig([a b;c d]);
[RVD,W]=subexpr([V;D],W) %<2>
1 o( ]! R4 l1 C' x7 g/ O8 t# q% sRVD =
! t6 M5 ]3 ~8 a5 ?* X1 i' @" j[ -(1/2*d-1/2*a-1/2*W)/c, -(1/2*d-1/2*a+1/2*W)/c]
[ 1, 1]
8 Y8 L  [" D* o2 e[ 1/2*d+1/2*a+1/2*W, 0]
# D! r; t! [1 {3 m: w, e; k[ 0, 1/2*d+1/2*a-1/2*W]
W =
: P/ U6 E) ]9 s+ n" Y$ _3 Q3 X/ M(d^2-2*a*d+a^2+4*b*c)^(1/2)
5 u. S& u+ V+ g8 w
5 C' h& f: v: P4 S3 K( m3 H. ?
( \% ?8 f5 }' L2 q& O) f6 n6.2.3.2 通用置换指令
! W. n# {6 v8 t- O
9 B7 q: V5 t# Z【 * 例 6.2.3 .2-1 】用简单算例演示 subs 的置换规则。
, |5 v; C+ Z5 a! n（1）产生符号函数
5 Z1 b5 @( w$ P2 d+ w- n! Vsyms a x;f=a*sin(x)+5;

* \: ~6 b5 Z- g（2）符号变量置换
/ k4 T2 S' Q! F' Z1 K! Ff1=subs(f,'sin(x)',sym('y')) %<2> 　　

f1 =
a*y+5
; E$ [; @/ M5 y, n0 @0 s
+ m% E9 \5 Q3 H' }( ?6 D! R（3）符号常数置换
f2=subs(f,{a,x},{2,sym(pi/3)}) %<3>
8 J1 f" T) Z6 C' t* h: ?f2 =
3^(1/2)+5

（4）双精度数值置换（即所有自由变量被双精度数值取代。取 a=2 ， x=pi/3 ）
3 K2 O& c# O- ]7 L, Sf3=subs(f,{a,x},{2,pi/3}) %<4>
f3 =
6.7321
* z% y0 S0 t3 l& o
4 x! ]' Y7 g3 ^! {（5）数值数组置换之一（取 a=2 ， x=0:pi/6:pi ）
f4=subs(subs(f,a,2),x,0:pi/6:pi) %<5>
f4 =
, M/ P: \( x5 P+ A5.0000 6.0000 6.7321 7.0000 6.7321 6.0000 5.0000
  {5 J% H! u. w* P  C; k1 P
) N' a) x1 B  m（6）数值数组置换之二（取 a=0:6 ， x=0:pi/6:pi ）
# l  a+ a3 b( |% d$ cf5=subs(f,{a,x},{0:6,0:pi/6:pi}) %<6>
5 _* A) W$ Y  ]( k& mf5 =
5.0000 5.5000 6.7321 8.0000 8.4641 7.5000 5.0000

, ~' ]9 S) D5 f. x$ }$ E  f5 b
( W/ U+ Q3 u' K  I. g$ E$ D6.2.4 符号数值精度控制和任意精度计算
6.2.4.2 任意精度的符号数值
: H5 [. O' ?9 T$ Q
【 * 例 6.2.4 .2-1 】指令使用演示。
digits % 显示省缺符号数值计算相对精度
4 J4 |% z& E/ e9 }% S2 CDigits = 32
p0=sym('(1+sqrt(5))/2'); %p0 为 (1+sqrt(5))/2 准确值
. W; O! K, ^. r+ X. m/ ?p1=sym((1+sqrt(5))/2) %p1 是 (1+sqrt(5))/2 在数值环境下的近似值
e01=vpa(abs(p0-p1)) % 在符号环境 32 位省缺精度下，观察 p0, p1 间误差
p1 =
7 o) Z# z3 }3 y3 R$ T, f7286977268806824*2^(-52)
e01 =
.543211520368250e-16
* ^' g( O, I8 Vp2=vpa(p0) %p2 是 p0 在 32 位相对精度下的近似
+ D* w$ g" P! ^, k$ Q( Re02=vpa(abs(p0-p2),64) % 在 64 位相对精度下，观察 p0, p2 间的误差
/ q) {! n- D* r( [- q8 fp2 =
4 f0 ^: Z+ o. C  d1.6180339887498948482045868343657
1 ]( o- u% L: }$ I4 Le02 =
& ]. J. O; ~! n  g7 ].61882279690820194237137864551377e-31
digits % 验证 vpa 变精度计算不影响全局的符号数值计算精度
Digits = 32


+ r% o5 z8 n6 i. t0 O' ^6.2.5 符号对象与其它数据对象间的转换
9 v2 b5 J7 W- Q+ U

【 * 例 6.2.5 -1 】符号、数值间的转换。
+ a7 U8 Y& {; h! D: vphi=sym((1+sqrt(5))/2) % 把数值对象转换成符号常数
9 X' m8 c+ G% V/ a5 H* {double(phi) % 把符号常数转换为双精度存储的数值
" @5 ?" O3 t3 N1 R3 P; `phi =
7286977268806824*2^(-52)
ans =
) G- H" C4 q. s$ T) @, V1.6180
3 J( y) h1 I! ]1 F0 B) ^) D- u
: m$ @. i. M8 w! D( I3 Q! C【 * 例 6.2.5 -2 】各种多项式表示形式之间的转换
6 n4 e# L: t. X& ^/ O  Hsyms x;f=x^3+2*x^2-3*x+5; % 生成符号多项式
0 U: d4 P, C2 x- z4 Wsy2p=sym2poly(f) % 由符号多项式产生数值系数行向量
p2st=poly2str(sy2p,'x') % 把系数行向量变成易读表示式
p2sy=poly2sym(sy2p) % 把数值系数行向量再转换为符号多项式
  ~, q/ I: g6 i7 Mpretty(f,'x') % 显示符号多项式的易读表示形式
sy2p =
. T( G1 W: j+ z9 C+ x1 2 -3 5
# W; C  a& l- hp2st =
$ r/ Y. j9 e2 ox^3 + 2 x^2 - 3 x + 5
p2sy =
( S7 h" r# p* H5 q8 `x^3+2*x^2-3*x+5
! M6 P; n7 E9 B; j7 [- d, {3 2
% d8 W3 n- s& z4 g2 Z; px + 2 x - 3 x + 5

- s9 }  i4 {3 b5 s. i+ E

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