MATLAB符号计算

cat12620

符号计算则是可以对未赋值的符号对象(可以是常数、变量、表达式)进行运算和处理。MATLAB具有符号数学工具箱(Symbolic Math Toolbox)，将符号运算结合到MATLAB的数值运算环境。符号数学工具箱是建立在Maple软件基础上的。
3.1 符号表达式的建立
$ r% i5 J4 I  k! c. \Symbolic Math Toolbox2.1版规定在进行符号计算时，首先要定义基本的符号对象然后才能进行符号运算。
3.1.1创建符号常量
符号常量是不含变量的符号表达式，用sym命令来创建符号常量。
( S& G2 P1 ~, k语法：
- M( C9 F/ Y! J% ^0 {$ a( [9 t       sym(‘常量’)              %创建符号常量
& c- Z; E+ i1 `4 A  J' |, L例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
>> a=sym('sin(2)')
a =
7 [' q2 Q3 Y$ X1 Z9 Vsin(2)
sym命令也可以把数值转换成某种格式的符号常量。
' u+ \& I7 Q; @8 M% J0 x- u语法：
+ j) k5 b) F. j. _1 a, V" m: i       sym(常量,参数)          %把常量按某种格式转换为符号常量
说明：参数可以选择为’d’、’f’、’e’或’r’ 四种格式，也可省略，其作用如表3.1所示。
5 W- ^7 x/ e1 N# A4 |) G

表3.1 参数设置

参数	作用 " d6 C1 ~3 V1 F& {" O' H  l
d	返回最接近的十进制数值(默认位数为32位)
f / b9 @8 V5 G% P8 @/ k	返回该符号值最接近的浮点表示 ' A$ L$ W' e9 z4 B' L
r	返回该符号值最接近的有理数型(为系统默认方式)，可表示为p/q、p*q、10^q、pi/q、2^q和sqrt(p)形式之一 , l1 n! a, \& U& A
e 1 S( y7 E  o* W/ J, u	返回最接近的带有机器浮点误差的有理值

例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
a=sym('sin(2)')

% ]7 Y* E: N5 f4 p* I6 da =
sin(2)  
/ u8 r% B2 o, ?0 |( u& H7 x) _

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1 _& ?( X8 j7 X6 R; F, ]: j$ E, X eig(A)                 %计算特征值
# \8 c$ d3 z5 j: [/ r( Y
ans =
[ 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]
[ 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]  

2 t% H+ _9 s" }: N3 K  t/ h4 N/ A【例3.5】符号表达式f=2x2+3x+4与g=5x+6的代数运算。
f=sym('2*x^2+3*x+4')

f =
2*x^2+3*x+4  
g=sym('5*x+6')
  a8 C7 M% g: p8 T9 d
+ f) O# @* C+ w, M  Cg =
6 ?3 C- I: k  s8 l" _+ S5*x+6  
, @8 P+ l' j2 \. ?; A, Y( l f+g                %符号表达式相加
7 i( V3 [8 ^7 [
. q  ]; A$ C! J0 K6 N! fans =
2*x^2+8*x+10  
f*g                %符号表达式相乘
/ q3 T1 U+ j. c  j  [) I* r
7 g& n2 {+ u: H7 Tans =
' A$ d+ n1 U0 U% @! j6 W2 u(2*x^2+3*x+4)*(5*x+6)  
3.2.2符号数值任意精度控制和运算
, d& M4 U. U, }1. Symbolic Math Toolbox中的算术运算方式
在Symbolic Math Toolbox中有三种不同的算术运算：
, y. F: W# z) K. ?- m$ H8 k$ O§      数值型：MATLAB的浮点运算。
; k7 b# V, L! Z3 n# j3 e/ B1 y2 j7 ]§      有理数型：Maple的精确符号运算。
§      VPA型：Maple的任意精度运算。

$ x, |+ N& ^5 d% N0 W1 |- E2. 任意精度控制
5 m6 Q: y9 C" z- E2 P! B, y任意精度的VPA型运算可以使用digits和vpa命令来实现。
7 B; C1 g! C0 H* L+ f语法：
  ]9 l5 \. u  ^* y' {! @7 b. C$ }       digits(n)                    %设定默认的精度
2 F8 w/ A" e0 d6 ?  D4 G8 w% h说明：n为所期望的有效位数。digits函数可以改变默认的有效位数来改变精度，随后的每个进行Maple函数的计算都以新精度为准。当有效位数增加时，计算时间和占用的内存也增加。命令“digits”用来显示默认的有效位数，默认为32位。
: q: z7 _( }( T语法：
       S=vpa(s,n)                %将s表示为n位有效位数的符号对象
4 X+ H$ a& }( q4 s, |说明：s可以是数值对象或符号对象，但计算的结果S一定是符号对象；当参数n省略时则以给定的digits指定精度。vpa命令只对指定的符号对象s按新精度进行计算，并以同样的精度显示计算结果，但并不改变全局的digits参数。
) e& [) N3 t' j# D; ~0 B9 t【例3.6】对表达式file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1.468/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gif进行任意精度控制的比较。
a=sym('2*sqrt(5)+pi')

  m& g, j0 E9 r/ {a =
2*sqrt(5)+pi  
$ R! o0 f% k. Z2 R5 d  w digits      %显示默认的有效位数

  o# B% a# J! f  S, t# ^
9 ~  `& z; I; J; @/ X; fDigits = 32
   
1 z2 q1 v' z' U) C2 u1 B( a) ] vpa(a)      %用默认的位数计算并显示

ans =
/ D. s4 u/ m* e: {/ ]/ t7 r  J3 e7.6137286085893726312809907207421  
vpa(a,20)       %按指定的精度计算并显示

6 `' L* s$ i% Qans =
1 ]' g" d: b. z+ Y* y$ D7.6137286085893726313  
digits(15)      %改变默认的有效位数
vpa(a)      %按digits指定的精度计算并显示
3 |" L" j- F, \2 x
ans =
7.61372860858937  
( I5 I( F7 {4 C6 Z6 w, i/ T" j
3. Symbolic Math Toolbox中的三种运算方式的比较
【例3.6续】用三种运算方式表达式比较2/3的结果。
a1 =2/3      %数值型
# {2 I7 i0 Z% ]# d6 Q7 Q) F  G
a1 =
    0.6667  
  Z, Q! u- i( r7 B% _- Wa2 = sym(2/3)    %有理数型
) y6 A0 f3 B  \# k7 J8 u
& E- s  u4 J$ M! ^5 Z  \) w6 Na2 =
2/3  
a3 =vpa('2/3',32) %VPA型
5 c* o; p! P0 f$ H
a3 =
.66666666666666666666666666666667  
程序分析：
§      三种运算方式中数值型运算的速度最快。
§      有理数型符号运算的计算时间和占用内存是最大的，产生的结果是非常准确的。
§      VPA型的任意精度符号运算比较灵活，可以设置任意有效精度，当保留的有效位数增加时，每次运算的时间和使用的内存也会增加。
/ a* B9 Y1 G  b! S+ g§      数值型变量a1结果显示的有效位数并不是存储的有效位数，在第一章中介绍显示的有效位数由“format”命令控制。如下面修改“format”命令就改变了显示的有效位数：
( b" d, e2 E3 b: t7 l/ Z4 L% p format long
# f/ H% G( W6 G/ `; O6 y a1
, l3 g$ R, W6 t0 w
; [! e5 [$ l* {$ P6 T6 l% |* Fa1 =
   0.66666666666667  
3.2.3符号对象与数值对象的转换
$ R: F& D3 e7 l7 C/ F1. 将数值对象转换为符号对象
+ w& j0 H6 m$ J( dsym命令可以把数值型对象转换成有理数型符号对象，vpa命令可以将数值型对象转换为任意精度的VPA型符号对象。
. \' E: j% f0 @
2. 将符号对象转换为数值对象
. {/ X  e6 e6 A3 ?" J6 Y使用double、 numeric函数可以将有理数型和VPA型符号对象转换成数值对象。
语法：
       N=double(S)              %将符号变量S转换为数值变量N
       N=numeric(S)           %将符号变量S转换为数值变量N
; ^- u9 [% J/ J' w0 O【例3.7】将符号变量file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1.468/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif与数值变量进行转换。
) e/ g8 X5 |( l) V) \- R clear
4 k7 U0 r0 m% b& q! b/ oa1=sym('2*sqrt(5)+pi')
( ]' \! o$ ~5 @
9 l- {  \. ^; {& \$ S1 N9 j3 r9 _a1 =
# k- Q; q6 s) e: u2*sqrt(5)+pi  
% g8 M% p* A+ V) F$ f2 O
b1=double(a1)             %转换为数值变量

b1 =
    7.6137  

a2=vpa(sym('2*sqrt(5)+pi'),32)

$ b) Z2 R( S! k1 x% X  t0 h, Za2 =
6 B0 B3 n* h2 x: v) @, m- [1 m* v7.6137286085893726312809907207421  
. A4 _7 q# b$ `7 [; B
b2=numeric(a2)         %转换为数值变量

6 }9 F0 L2 j& Fb2 =
9 K! R. y2 `5 C( V2 d7 m7 j% i" L9 n    7.6137  
【例3.7续】由符号变量得出数值结果。
b3=eval(a1)

b3 =
6 b( p) Y' `1 |% f4 O    7.6137  
3 _- J% z( z2 u! D" x1 o用“whos”命令查看变量的类型，可以看到b1、b2、b3都转换为双精度型：
& G* D4 }0 n: [, o1 D whos
* C' h5 z9 |" J* M8 t
' @( Y1 q/ D. G( w- H' E      Size                   Bytes Class
; `, P0 L7 y- r& `
        1x1                      148 sym object
% l% O  @/ e) y  X) a        1x1                      190 sym object
% L- R* t$ [* }5 t        1x1                        8 double array
% T- z* S5 ]3 ?3 V) s) X        1x1                        8 double array
* J  Y& j; |# ?6 Z, S6 D        1x1                        8 double array
; m3 `: B/ ^, F- I/ W
Grand total is 50 elements using 362 bytes  
3.3符号表达式的操作和转换
3.3.1符号表达式中自由变量的确定
8 @: U/ L% B$ a( \9 x8 p3 A- L1. 自由变量的确定原则
" T8 s& A; t, e( r' ^3 T，MATLAB将基于以下原则选择一个自由变量：
2 ^% g, j9 D6 v9 w4 _0 a§      小写字母i和j不能作为自由变量。
§      符号表达式中如果有多个字符变量，则按照以下顺序选择自由变量：首先选择x作为自由变量；如果没有x，则选择在字母顺序中最接近x的字符变量；如果与x相同距离，则在x后面的优先。
§      大写字母比所有的小写字母都靠后。
+ G4 K7 l- d, {( z( D) X" K4 _
1 {: H: q: b8 ?4 A8 H) |2. findsym函数
/ Y3 T* ]( Q- ~4 r6 \- Z如果不确定符号表达式中的自由符号变量，可以用findsym函数来自动确定。
1 ~0 H: [, }6 j1 B' _语法：
) N1 n- f% l) `1 G( q1 L       findsym(EXPR,n)        %确定自由符号变量
7 {( [. L) f6 t2 T( d7 i+ r说明：EXPR可以是符号表达式或符号矩阵；n为按顺序得出符号变量的个数，当n省略时，则不按顺序得出EXPR中所有的符号变量。
/ N% _1 `2 D1 \' }【例3.8】得出符号表达式中的符号变量。
f=sym('a*x^2+b*x+c')

f =
a*x^2+b*x+c  
findsym(f)         %得出所有的符号变量
( J$ P9 s4 g6 K0 R3 m9 c" `
/ B! U9 t$ v& `$ C7 Fans =
! w  N' D* D' ~5 [a, b, c, x  
g=sym('sin(z)+cos(v)') [/hide]

% C% B9 ~0 L! g3 V

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