MATLAB符号计算

cat12620

符号计算则是可以对未赋值的符号对象(可以是常数、变量、表达式)进行运算和处理。MATLAB具有符号数学工具箱(Symbolic Math Toolbox)，将符号运算结合到MATLAB的数值运算环境。符号数学工具箱是建立在Maple软件基础上的。
3.1 符号表达式的建立
Symbolic Math Toolbox2.1版规定在进行符号计算时，首先要定义基本的符号对象然后才能进行符号运算。
3.1.1创建符号常量
符号常量是不含变量的符号表达式，用sym命令来创建符号常量。
语法：
" V" Q( _  H$ H3 _       sym(‘常量’)              %创建符号常量
例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
>> a=sym('sin(2)')
$ y# |; m* B$ \5 ?& q' ya =
sin(2)
3 W  w4 C) P3 P5 S2 Gsym命令也可以把数值转换成某种格式的符号常量。
- o0 X# \1 c* L4 B语法：
" v( `3 ^5 ?: K. c$ d$ ^       sym(常量,参数)          %把常量按某种格式转换为符号常量
说明：参数可以选择为’d’、’f’、’e’或’r’ 四种格式，也可省略，其作用如表3.1所示。

表3.1 参数设置

参数	作用 7 A. g( d; O7 W7 E& L4 p
d	返回最接近的十进制数值(默认位数为32位)
f , K, H/ f! R1 B  X- }	返回该符号值最接近的浮点表示 9 U; M+ y/ V; x; a: Q6 K0 s- M
r ) D+ v3 t2 f9 a4 Y' i	返回该符号值最接近的有理数型(为系统默认方式)，可表示为p/q、p*q、10^q、pi/q、2^q和sqrt(p)形式之一 4 x! }, s8 [- x! ?& M* _$ D% G
e	返回最接近的带有机器浮点误差的有理值

例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
a=sym('sin(2)')
0 w# ]+ z. p2 S6 b- q8 y: [
/ V; u% P- [0 T' xa =
( I9 r( y( P6 L3 x2 O! Lsin(2)  
: J2 z0 r% m2 V! d7 n

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* d4 y% c- [/ \+ K0 }0 s5 R8 ^) l eig(A)                 %计算特征值
1 ?0 Y+ J& x1 N' ?2 c$ z+ W
ans =
[ 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]
3 E2 T1 [" X) u7 Q6 Z[ 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]  
* F: _& M1 H" c, u* X" I
【例3.5】符号表达式f=2x2+3x+4与g=5x+6的代数运算。
f=sym('2*x^2+3*x+4')

f =
  s. D$ U* {1 r$ ~9 a' K+ v2 S% Z6 }2*x^2+3*x+4  
1 I# Z( c6 P6 v) s& p5 D) B g=sym('5*x+6')
4 i# K' H# K% q5 u7 Y- q* }; ~
5 v. O& x0 X# h* R& i9 p! |7 Kg =
0 r$ A0 q. X  C: s# c% s  |5*x+6  
f+g                %符号表达式相加

" o2 m, k3 M" K  ~ans =
2*x^2+8*x+10  
1 ~; Q: f$ s" T6 B f*g                %符号表达式相乘

' l$ g1 C* @) b! W* m& _. w. W* k" Ians =
' Q5 P5 R( M/ U5 z4 M(2*x^2+3*x+4)*(5*x+6)  
2 {2 z- t" A! C0 T% R1 ]3.2.2符号数值任意精度控制和运算
1. Symbolic Math Toolbox中的算术运算方式
在Symbolic Math Toolbox中有三种不同的算术运算：
§      数值型：MATLAB的浮点运算。
/ @) F, U, B* K4 E6 K§      有理数型：Maple的精确符号运算。
1 m( {3 ~9 z" T3 I, J% R0 ^$ J§      VPA型：Maple的任意精度运算。
6 g3 y$ m' Y7 U6 w( X
: l" I9 {* k* b' t1 N  o2. 任意精度控制
任意精度的VPA型运算可以使用digits和vpa命令来实现。
语法：
       digits(n)                    %设定默认的精度
5 l# j6 n* D6 `' P  m' G说明：n为所期望的有效位数。digits函数可以改变默认的有效位数来改变精度，随后的每个进行Maple函数的计算都以新精度为准。当有效位数增加时，计算时间和占用的内存也增加。命令“digits”用来显示默认的有效位数，默认为32位。
: A  i1 |: j  h语法：
% t' }5 s- s2 q) H       S=vpa(s,n)                %将s表示为n位有效位数的符号对象
5 L5 Q3 f  K/ v说明：s可以是数值对象或符号对象，但计算的结果S一定是符号对象；当参数n省略时则以给定的digits指定精度。vpa命令只对指定的符号对象s按新精度进行计算，并以同样的精度显示计算结果，但并不改变全局的digits参数。
【例3.6】对表达式file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1.468/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gif进行任意精度控制的比较。
a=sym('2*sqrt(5)+pi')
0 L# t0 p% y" E+ K! B3 J. \
- }! b! H) U, n, F% E( ?2 |a =
2*sqrt(5)+pi  
( Z' [) I7 i  h digits      %显示默认的有效位数

2 E. L4 [, M7 l: Z6 L
Digits = 32
   
6 W7 p( J# U" C vpa(a)      %用默认的位数计算并显示
3 U. h+ G' \2 x% E3 o8 Y
2 |" N# T9 U  o* N7 yans =
/ \/ q2 V# S6 Q, x! b7.6137286085893726312809907207421  
/ a, M: e8 y$ V# O) b6 z vpa(a,20)       %按指定的精度计算并显示

ans =
5 B6 L9 G! ~) a1 |$ o% K) l7.6137286085893726313  
  u  U0 a/ O* [5 n digits(15)      %改变默认的有效位数
" d! @4 O% p& W+ _; m  A6 L, }4 H vpa(a)      %按digits指定的精度计算并显示
3 T+ {& x# b2 h: I! Z
: P: k$ K( i9 Eans =
7.61372860858937  
* ?9 H; x4 G1 s' G2 i3 A/ Z
3. Symbolic Math Toolbox中的三种运算方式的比较
7 s7 S' e2 v' m  c5 X* M【例3.6续】用三种运算方式表达式比较2/3的结果。
a1 =2/3      %数值型

- x) p) A; O* g/ d1 Ha1 =
! c' G5 ?  f0 _) I  M$ ~    0.6667  
a2 = sym(2/3)    %有理数型

. k, _5 p, F. E4 O" ha2 =
2/3  
a3 =vpa('2/3',32) %VPA型
4 |8 P# b5 Q& C" P1 a! [0 c4 R) }
a3 =
.66666666666666666666666666666667  
程序分析：
, |2 u, ~+ w. s" ~§      三种运算方式中数值型运算的速度最快。
9 \  S) h+ \3 ^7 X* S9 I§      有理数型符号运算的计算时间和占用内存是最大的，产生的结果是非常准确的。
+ b1 @$ z& I. w§      VPA型的任意精度符号运算比较灵活，可以设置任意有效精度，当保留的有效位数增加时，每次运算的时间和使用的内存也会增加。
4 `* s" K0 I9 t4 [8 o1 u, A§      数值型变量a1结果显示的有效位数并不是存储的有效位数，在第一章中介绍显示的有效位数由“format”命令控制。如下面修改“format”命令就改变了显示的有效位数：
format long
a1
/ c7 o, J7 S2 S2 J; e9 {. h; i5 {
a1 =
   0.66666666666667  
3.2.3符号对象与数值对象的转换
) M( J  _9 N7 p, n  y1 k; N1. 将数值对象转换为符号对象
sym命令可以把数值型对象转换成有理数型符号对象，vpa命令可以将数值型对象转换为任意精度的VPA型符号对象。
6 b: L7 F; @* T, x' E: ?* d
  D+ \5 E( [& C, F% T1 G0 |: P, R2. 将符号对象转换为数值对象
; i2 z2 C, Y2 `: y使用double、 numeric函数可以将有理数型和VPA型符号对象转换成数值对象。
语法：
       N=double(S)              %将符号变量S转换为数值变量N
       N=numeric(S)           %将符号变量S转换为数值变量N
【例3.7】将符号变量file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1.468/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif与数值变量进行转换。
3 p" F! d% v* l; ]3 S( d clear
a1=sym('2*sqrt(5)+pi')
- W3 v* ]! b0 P# ?0 N
a1 =
2*sqrt(5)+pi  
$ A9 u  Y+ }3 F: Y/ i/ m
; K9 n" `6 V7 d6 \  n  X b1=double(a1)             %转换为数值变量

( i8 v+ f3 I+ O* wb1 =
    7.6137  
& T7 F$ p! m! s% N) A3 [8 l* y- P; w! G
2 j$ N) T/ p9 Y+ B6 J% A% N5 q a2=vpa(sym('2*sqrt(5)+pi'),32)

  p5 W" A7 z. d5 t7 A- ]a2 =
7.6137286085893726312809907207421  
2 E  ]1 N3 D1 M7 o' Q$ i. |
b2=numeric(a2)         %转换为数值变量
- |8 d" |) Q: x* l4 @( L
b2 =
$ o5 p  F1 }  t    7.6137  
【例3.7续】由符号变量得出数值结果。
  a9 g4 G6 b( l( v! x7 A b3=eval(a1)
+ v0 X4 Y8 G, o- f9 \+ t8 a
8 Z% E7 W6 h( F, U5 Ab3 =
    7.6137  
用“whos”命令查看变量的类型，可以看到b1、b2、b3都转换为双精度型：
) p, t9 i4 r' f9 f$ u' P whos

      Size                   Bytes Class

        1x1                      148 sym object
        1x1                      190 sym object
* Z8 P" ~# d/ X; p" i; a        1x1                        8 double array
9 H) V" A! D1 W& ^        1x1                        8 double array
) S' u3 Z$ |$ l5 T. L: {        1x1                        8 double array
0 \( B* p; D2 i) @% ?) K2 R  c& |) U1 P
Grand total is 50 elements using 362 bytes  
3.3符号表达式的操作和转换
3.3.1符号表达式中自由变量的确定
1. 自由变量的确定原则
' {/ u( `  G& n4 H& s9 X1 f，MATLAB将基于以下原则选择一个自由变量：
4 y. ~" B. A6 d3 Z! f2 \§      小写字母i和j不能作为自由变量。
; f- q# J! R& X' C% z§      符号表达式中如果有多个字符变量，则按照以下顺序选择自由变量：首先选择x作为自由变量；如果没有x，则选择在字母顺序中最接近x的字符变量；如果与x相同距离，则在x后面的优先。
§      大写字母比所有的小写字母都靠后。

  d% P) p  \9 C8 z) P1 U. K2. findsym函数
如果不确定符号表达式中的自由符号变量，可以用findsym函数来自动确定。
8 P" Q! Q9 \" E' @' ]语法：
1 p+ v1 z* k6 u+ G* V$ a       findsym(EXPR,n)        %确定自由符号变量
6 F' k0 W4 w/ ?8 P4 N. g0 }说明：EXPR可以是符号表达式或符号矩阵；n为按顺序得出符号变量的个数，当n省略时，则不按顺序得出EXPR中所有的符号变量。
9 w/ R6 t: s% ?【例3.8】得出符号表达式中的符号变量。
f=sym('a*x^2+b*x+c')
, x, \( c1 U. ~1 t: y0 J. c
/ g1 a9 B7 W5 t# Mf =
a*x^2+b*x+c  
: U" {4 W7 O# z1 V; h- J findsym(f)         %得出所有的符号变量
4 P- |& L" N9 V( P2 [
ans =
a, b, c, x  
) W! j, |9 R. Q g=sym('sin(z)+cos(v)') [/hide]

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