Matlab求解线性方程组、非线性方程组

abcde1234

求解线性方程组
solve，linsolve
  Y1 E- |3 O- a6 c- w6 ^1 _例：
A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];
6 U) T  J, L% L( b8 y) d) o%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格
B=[3;1;1;0]
0 A1 t0 E0 w! VX=zeros(4,1);%建立一个4元列向量
X=linsolve(A,B)
% \) v1 r& `: N: ~* r) q+ vdiff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。
, G2 y$ |* Y/ h9 N5 R7 Q) p8 `4 K
例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式
8 t- ?4 ~) T, |, A3 vdiff(F); %matlab区分大小写
8 j3 E1 }- ?3 Wpretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式
1 @6 e1 e3 R% c% y+ g3 @9 z

* \$ g8 q1 v% o# q8 d3 ~非线性方程求解
fsolve(fun,x0,options)
0 i! o" H4 {! U  B; |其中fun为待解方程或方程组的文件名；
3 x. P6 X. c" e& ]- Fx0位求解方程的初始向量或矩阵；
option为设置命令参数
. A! W+ j. G) B; G6 x建立文件fun.m：
6 I% J. Z0 f1 y- |, ]function y=fun(x)
y=[x(1)-0.5*sin(x(1))-0.3*cos(x(2)), ...
+ w4 o. O) Q( P% ^8 n5 y5 ~x(2) - 0.5*cos(x(1))+0.3*sin(x(2))];
: H1 }  e3 l  |7 X
/ c* W) m% q& m4 T>>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))
2 ^# h9 h! X7 R% I4 T注：
...为续行符
m文件必须以function为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。

  @7 v! s# Q, l
Matlab求解线性方程组
; d& t6 u  h) X3 j: [AX=B或XA=B
在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如：
" i0 Z% M  P1 ~: [# w2 a, oX=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；
: Y+ ?; K+ l  f+ JX＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。
0 Z% ?+ l# U) V对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。

如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：
/ r5 s2 E( I9 z* o; V  ]m＝n 恰定方程，求解精确解；
4 O, Q3 t( [& e, }. V3 }' z! ^' km>n 超定方程，寻求最小二乘解；
m<n 不定方程，寻求基本解，其中至多有m个非零元素。
1 z+ s2 @( Y* _针对不同的情况，MATLAB将采用不同的算法来求解。

, M4 j3 F( Z* d9 C$ Q
一．恰定方程组
( C0 ^# m! n: L0 S7 K% X6 t恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：
) J  ]2 \' c6 ], o8 g( W% MAx=b 其中A是方阵，b是一个列向量；
! N, R" x. c8 a, t3 ?+ D$ l7 e4 }在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：
& X& k$ c3 m" m（1）利用cramer公式来求解法；
（2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；
; {( t" U& o& S1 f9 b# r. \（3）利用gaussian消去法；
+ M+ H0 y! R3 D. c（4）利用lu法求解。
一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在lu分解的基础上进行。
: X/ k' w% t  o2 B- w% ^9 B% q! H在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\b。
5 D' G2 X6 o: r; _, B3 F在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行lu分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。
如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。
注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用A\b的解法。因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。

! k) v) f  B- e: x0 O# i8 Z7 `9 w二．超定方程组
9 I% g# ?, N& K6 f4 K1 v对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；
" {% {& S5 |7 J% ?: \【例7】
求解超定方程组
A=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13]
A=
* c% }2 u  |# Q6 n- I4 ~- P- }8 b2 -1 3
- a. s# a% ?4 q3 1 -5
+ g0 T* X/ R9 [4 T8 J+ I' S2 z4 -1 1
/ v) v8 k9 [. l/ M1 3 -13
b＝[3 0 3 -6]’;
rank(A)
ans=
3
x1=A\b
4 d. }' y' D" N6 B: j/ N) j& Fx1=
1.0000
, c3 A* v- p8 T( t+ S) K2.0000
0 I; c: N, H2 Z$ V8 o3 x1.0000
x2=pinv(A)*b
x2=
1.0000
2.0000
. o  L: _- H2 K8 v/ ]( N9 y9 T1.0000
+ i3 w* z: J$ n: d* v" B% g+ R+ [A*x1-b
ans=
& E3 {, ~5 `5 l- b6 q1.0e-014
6 a. o$ N% ]. L* e& N- U6 z( ]! j  h-0.0888
. y7 t& h, u: Q6 i1 h" o-0.0888
5 X3 ~$ C0 Z9 m4 l& a-0.1332
0
( O7 r# O1 }- C可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。
! q2 i% n& |0 e& }: V- j, q
三．欠定方程组
欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。
【例8】
解欠定方程组
A＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5]
A=
+ u. r6 H+ \. Z/ l' M9 {1 -2 1 1
1 -2 1 -1
' B/ [. ~5 E( K1 -2 1 -1
1 -2 1 5
b=[1 -1 5]’
x1=A\b
Warning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015
x1=
/ _" G- b. z9 x3 v% S9 ~$ p5 h0
5 X5 B% S4 I1 h7 W2 p-0.0000
0
1.0000
x2=pinv(A)*b
: I6 J! Q! V9 l. Fx2=
. w8 z" v* z- N! [& T  u, @! ]0
-0.0000
) }% g, a9 B9 u5 l0.0000
7 T4 R, w: S( T3 }, j1.0000
7 r3 U4 C7 K" Z, O- b
" Z* |& s; r. F, i  S/ f& C4 W7 P. \四．方程组的非负最小二乘解
在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：
# Z2 s, [3 W/ m; I（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x 的条件下；
1 t& u9 U$ Z& m: S$ W, W& c" t1 Q（2）X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩阵的－1范数越大，求解的误差越大；
" }8 {4 H; c& K+ l（3）[X,W]=nnls(A,b) 当x(i)=0时，w(i)<0；当下x(i)>0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。
. F0 j9 _7 P% D1 n" w5 ~$ A【例9】求方程组的非负最小二乘解
* y& o; [  o0 w- K( q" hA=[3.4336 -0.5238 0.6710
-0.5238 3.2833 -0.7302
, O3 l: s/ s/ v/ p0.6710 -0.7302 4.0261];
b=[-1.000 1.5000 2.5000];
[X,W]=nnls(A,b)
X=
0
0.6563
0.6998
8 \3 b9 z4 l+ v: lW=
& H. S9 V: G6 N3 b$ g6 T-3.6820
# x9 O; i2 Q  X  r-0.0000
-0.0000
x1=A\b
x1=
$ j& \& G6 k, g" {- e% Q+ f: |-0.3569
0.5744
& U  t! g5 C+ h- @. w0.7846
# \& \% O& b% F2 I! w6 `A*X-b
ans=
2 |3 R- r! ~% ?1.1258
0.1437
% s7 D. k& k1 s9 t7 y. E- Q4 y-0.1616
/ e9 ~. U/ Z8 w, t/ Z# qA*x1-b
ans=
1.0e-0.15
-0.2220
0.4441
0

cat12620

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