Matlab求解线性方程组、非线性方程组

abcde1234

求解线性方程组
solve，linsolve
例：
: Y9 k6 x* w% R9 e* w; SA=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];
+ M3 q" k6 y0 X! B; ~%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格
% F; G+ N9 ?4 c; |% p# l2 @6 iB=[3;1;1;0]
- b- j$ n2 X7 j' T. N* ~" ]X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量
7 g* |7 D" L5 _X=linsolve(A,B)
7 ~* I! D8 I3 M9 tdiff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。
( k/ q+ z$ A- M; P' S' j. n
例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式
diff(F); %matlab区分大小写
pretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式

9 H% B& O! c# F6 w
( B$ a7 x: \! i' l7 {; @非线性方程求解
fsolve(fun,x0,options)
其中fun为待解方程或方程组的文件名；
x0位求解方程的初始向量或矩阵；
option为设置命令参数
建立文件fun.m：
function y=fun(x)
y=[x(1)-0.5*sin(x(1))-0.3*cos(x(2)), ...
$ G& f* l6 s% e: z- x' ux(2) - 0.5*cos(x(1))+0.3*sin(x(2))];
6 \/ H* t" J2 ~4 v! |
% z" @8 {& a6 p>>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))
注：
7 |! L* i- w0 a+ ]7 J' I...为续行符
. g: L8 L/ R  ]4 S2 }6 `m文件必须以function为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。

. [* ~; b, ^! s% \% u: L
Matlab求解线性方程组
AX=B或XA=B
$ s7 q2 W& Q9 c3 A6 `在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如：
X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；
X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。
对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。

如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：
m＝n 恰定方程，求解精确解；
% I; b* G% e2 V# j) ~6 nm>n 超定方程，寻求最小二乘解；
5 I: q. R7 ~5 t3 ?) im<n 不定方程，寻求基本解，其中至多有m个非零元素。
针对不同的情况，MATLAB将采用不同的算法来求解。

7 q6 n& L" D: r. D. x) T% Q2 p
0 P; t6 G. \) p5 h. c一．恰定方程组
4 k" s$ P" N  Y3 r1 X  j恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：
Ax=b 其中A是方阵，b是一个列向量；
在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：
（1）利用cramer公式来求解法；
（2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；
- u  F1 c8 t, H! u0 ]  E（3）利用gaussian消去法；
4 v# r) A. H) F' U7 f（4）利用lu法求解。
* l& G2 K4 v# w8 F9 F$ \一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在lu分解的基础上进行。
9 c4 A4 _8 w3 b: \1 C" ]在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\b。
( ]  \2 V) d6 k3 {& y在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行lu分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。
  P6 Q  ?( T( v# v2 r4 E5 B# I: f如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。
注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用A\b的解法。因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。
9 a1 K6 r/ j: ^$ `7 @
二．超定方程组
对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；
【例7】
7 k% |( R% y4 Z3 g求解超定方程组
- `6 T: L5 e2 u3 @. IA=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13]
  ~/ c& X+ x& v# `- W8 }A=
( [- k# j8 m8 H* r! t2 -1 3
3 ~* l. R7 a7 ]4 n6 W4 `. [: j3 1 -5
4 -1 1
1 3 -13
b＝[3 0 3 -6]’;
rank(A)
ans=
3
x1=A\b
x1=
4 Z9 a) e$ X0 A7 j1.0000
3 |2 J! f, d% H- g- Z- Q. R- j2.0000
1.0000
x2=pinv(A)*b
x2=
1.0000
, y* _2 c- Y# G5 F& z: [0 m5 @2.0000
% Q. C5 V, u; D, O2 X( e; e1.0000
- V! n, e* r, sA*x1-b
7 L7 H4 J5 p& c  u3 qans=
& ^8 U0 d" d1 N, J! X1.0e-014
& x% E5 V1 X2 K& I& B2 l-0.0888
7 }/ l) V* u& `; L-0.0888
-0.1332
/ S6 Z6 ~% u% p0 |% Y9 ]0
可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。

) u) q8 R/ S% N! n: ^) {) V三．欠定方程组
8 v: u; H% t6 g, B% [欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。
【例8】
解欠定方程组
A＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5]
8 r' Z$ ^- L- f3 q; E* vA=
1 -2 1 1
; R) H3 G8 R# T/ P- m- c& f* T1 -2 1 -1
1 -2 1 -1
1 y8 m, D- Z6 P# q2 A+ g/ Z1 -2 1 5
: r. E% L! t# [$ y5 Hb=[1 -1 5]’
* C3 u4 J, i' X+ R% [+ K6 j9 c! yx1=A\b
$ [% D: E) Z2 FWarning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015
x1=
0
- b6 P% h$ [% N6 a% F# U' Y-0.0000
0
  H6 A  F( i  U1 j1.0000
1 v3 \& p+ ~+ ]# cx2=pinv(A)*b
0 o: ^& l% G5 B0 E, G; r8 K* gx2=
  `# X0 f) J" }; P- u0
-0.0000
0.0000
$ w! O5 v2 n0 R5 t1.0000
) G5 k: \+ H" L% v- x
' I) B- t9 v( `7 M# g四．方程组的非负最小二乘解
在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：
+ a# ^5 u" d0 r1 ~. X（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x 的条件下；
（2）X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩阵的－1范数越大，求解的误差越大；
（3）[X,W]=nnls(A,b) 当x(i)=0时，w(i)<0；当下x(i)>0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。
【例9】求方程组的非负最小二乘解
A=[3.4336 -0.5238 0.6710
* {) f$ I5 S! j$ _-0.5238 3.2833 -0.7302
0.6710 -0.7302 4.0261];
7 p5 D* ]  i; zb=[-1.000 1.5000 2.5000];
[X,W]=nnls(A,b)
X=
0
- t7 ^6 W' C! Y! N1 Q) k; D; l1 s0.6563
9 U0 b% n& N7 W0.6998
6 }3 E7 J! S0 c: ~8 ?W=
' \4 p; w3 ]1 p: s-3.6820
0 V2 O7 S! k7 m1 @! W-0.0000
% w1 n5 q) s: Y2 V" q. {. K* J0 y. X-0.0000
; ~, o$ Q" m6 e* U% Wx1=A\b
- V2 d% Q+ E- q8 A: k6 {" lx1=
-0.3569
0.5744
0.7846
A*X-b
; F6 M- b+ [; h+ s! X8 ]( S9 ~) _ans=
1.1258
; T% L: M5 }1 _0.1437
7 _1 ]/ a& D. l4 ?7 j4 p" T8 l-0.1616
' w% Y0 p9 F  b7 G0 ^0 \1 }3 Z* vA*x1-b
1 |- z' n6 p5 [& v+ `3 n6 c0 u3 pans=
( ]% S- U. P( G4 _9 L1.0e-0.15
-0.2220
0.4441
0

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