matlab实现数值积分 【二】（integral函数）

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3 e, x3 {, Y( b) j7 c9 `& J3 f如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。
目录
函数调用格式
  ?4 C, K8 u* Y" m7 Z应用举例
& J9 C$ H5 G1 a3 d% K, ~例1：求解数值解并检验其精度
例2：分段函数积分
例3：与梯形法比较
8 q0 `8 y, s+ V1 j例4：大范围积分
2 y* V* Y8 X7 ?例5：广义积分的数值计算
' _2 g1 N- h; S5 I: {; `例6：含参函数数值积分

3 F. R/ Q/ [4 f9 D3 |$ Q1 n0 t9 I
( D; d/ I1 i. i. X* Y3 j函数调用格式



. c, \7 |: w7 p' s
, B/ [8 i! U" Q& F( l8 y
应用举例
& I) e  x( E4 j, I: a7 X
例1：求解数值解并检验其精度
计算积分
3 d5 A5 u: Q8 |7 U) A

• f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数
• y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解
  

结果为y=0.96610514647531

8 }, E/ q) X/ V/ _  C. R/ K求解解析解：
0 E" F+ B, J% ^- y1 g, j6 ]syms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
结果为：y0=0.96610514647531
  P+ N5 w7 J( E8 L; @5 h1 Q
2 \% y. b: R- u& W  W1 S0 r  p结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。

- f' Z  s( K5 f9 d8 w

例2：分段函数积分
! }4 B! C" h8 Q8 l, Z
给定如下分段函数：
9 @' l/ R( s0 `1 a5 ]
8 N3 `5 G8 k- j) b- r7 g​        
! S7 E+ m+ v) M/ l; y& J9 g

• 计算积分值 。
  

/ G3 |- N1 E% ~  |' e7 m6 q绘制 填充图
% H: ^0 a5 a* ]. \# ^
! t" \( K: I4 `3 p. J- h5 V, d

• x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
• y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图
  

# V' S. j' u  h5 S. v( t# O) u  b
* m# x5 e0 V* _' {  O5 o: ~& \! P

' C+ o4 Y, G: N8 C- E4 b- b8 z

• 求解与验证
  

• f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• I1 = integral(f,0,4)   %//数值解
• I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20)   %//提高精度
• syms x
• f = piecewise( x<=2, exp(x^2),  x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
• I0 = vpa(int(f,x,0,4))   %//解析解
  0 }3 p* H& L3 V2 n9 ^) Z0 ]. A

) g  F; V" n$ |: D, x4 p结果为：

变量        值
, N0 o' F" M0 G4 _, bI 0 I_0 I
' \; t  {9 M) Q" E, T7 f0
' o$ t) g! k8 A5 K! z! d1 a: O7 I​        
9 D3 R2 M  Z  J6 _* l7 j$ } （精确解析解）        57.76445012505301 033331523538518
) a6 N% \$ j4 d/ `$ UI 1 I_1 I
1
) T0 i2 R1 Z  k8 E1 }. ~% R0 G​        
5 n! g7 S) E2 I- n+ u& _ （正常数值解）        57.7644501250 4850495815844624303
I 2 I_2 I
+ p9 y0 l) b' o" J! x2
​        
（高精度数值解）        57.76445012505301 690453052287921
) ^6 [- j  l" u

' N+ E- W& J5 Y/ d

6 _: Q/ C$ X& p& V例3：与梯形法比较

7 k; E8 f6 Z9 B$ @( {/ O# i9 f5 N重新计算积分

• 梯形法求解链接
• 数值求解：
  

5 K7 u( U6 V! U4 {; i

• f = @(x) cos(15*x);
• S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)
  + u1 f3 @3 y4 {

结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。


0 P! g3 G- P' b9 r: n5 n
; `9 w4 }! V. P( |6 J例4：大范围积分
  w7 Y  Y7 _/ k& ?; \
计算积分

  {; P6 g' E3 h5 ~: ~

• f = @(x)cos(15*x);
• I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解
  5 z& Y* K" M" W, g

解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066
0 S) p! ^: D( X5 N- m


* @; M* ?0 t* h) T9 I) Y$ f7 w/ ?例5：广义积分的数值计算
" s: n8 x6 \9 O$ t2 L
( C: o% |. X5 [8 _9 J: Z计算
* {* R4 h1 F) f
6 O& K) r9 p. b; [! X
* O0 G& e, w( K+ A3 v9 a

• f = @(x) exp(-x.^2);
• I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解
  4 e% C' }: o& s

解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057
% O) d- A: ]2 M9 Q  f0 O* X数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957
8 P) i3 k! q4 b8 {( ~# X/ O5 k


例6：含参函数数值积分
4 P$ q" h  M2 K  j7 T( ]0 M. X3 [! c
绘制积分函数 曲线
& s. [+ R$ _0 R% k' `
! y2 n2 @6 @7 w8 e
$ ?. S9 X# A8 F# Y$ _

• a = 0:0.1:4;
• f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
• I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
• plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')
    \( w3 f% ?$ A( W4 l5 [

- Q9 e3 p2 _/ j3 ^! |! C

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matlab实现数值积分 【二】（integral函数）