matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）

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7 y$ G) j, u; m2 L" B4 x, n目录
总述
, y" N& ?8 q5 p" P7 @3 I7 H2 a* `函数调用格式
) h) a4 J% @# S# m9 O' a应用举例
% `" {( A  e$ X* P  U) `1 P' d, F例1：梯形法求积分
  w: k( ]7 t+ M! U. R例2：不同步长对积分结果的影响
3 C6 E$ B+ ^, {2 h, V0 R
总述

& z1 {9 q- C& K4 `  数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知，则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法，即已知数据点求积分。


2 q# Z* R" r( e; P9 Y9 g' p
' m; W9 e& k; n7 `* H( E
函数调用格式

( v( ^) U# v2 h% p- D

• S = trapz(x, y);
  

3 u/ q6 m2 w6 _+ C7 ?7 t
3 [1 J/ i7 u/ ?( o  S# W1 r& [应用举例

) _2 N0 @! F8 {( }) |. ?6 e例1：梯形法求积分

& g  Q: c4 M. S% |. A. D. \- o' \# U

9 y9 E) k; h% y- c6 [

• x = [0:pi/30:pi]';
• y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
• S = trapz(x,y)
  

! Y; Z( B& j5 R. J5 V, k结果为：S = [1.9982 0.0000 1.9995]
! N& J: k/ I- X( g8 Y7 \' ]
由于选择的步距较大，为 , 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充）

例2：不同步长对积分结果的影响
题目： 用定步长法求解积分 ，并讨论不同步长对积分值的影响。
1 C/ _# K+ |* T" k8 u
7 \! K0 n4 Z4 Y" s& e8 A' z

• 首先，绘制被积函数的图像：
  7 o  r0 {" S, ]

, C7 b. p7 w" y0 b5 U

• x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
• y=cos(15*x); plot(x,y)
  & v$ O* @  ?' X. f9 S6 C

* c' @# M8 V! f+ M7 T! a. ^* f4 L

由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。

, V5 D) ]4 a7 T

• 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
  ' ~. u! b9 u6 _7 T4 ]5 ~

• syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
• h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
• for h=h0
•         x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];  y=cos(15*x);
•         I = trapz(x,y);
•         v = [v; h,I,A-I];
• end
  

" _8 u( e; [' Q5 T
1 j( ?; J; y1 g3 u* x得出结果如下：



6 j8 I! U8 h. c3 f+ u% l& k可见，随着步距 h h h的减小，计算精度逐渐增加。
0 j  v  a+ o7 \& `

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