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x
/ T7 a7 E5 x x+ {7 X: c x1、向量组的秩：rank（A）* z* W& ?& J+ S9 ~% e
7 Q3 E) ?4 `- n- t% f8 _0 F3 a
2、判断线性相关性3 g8 h) {# U& [! C4 Z
+ S$ m+ e0 J1 r3 b2 k ]一般步骤（1）输入向量组* c% H8 M1 ]: b" y1 \- E& A E" |
' V6 j1 |1 j6 \" _! B- u8 N, @ （2）用A’将行向量转置为列向量/ i( [) @$ S ^3 x- I
/ }9 B/ z. k' O
·· （3）用rref（A）命令求秩
; J" B. y$ D5 h( `. @/ F; s) Q8 S9 A" ` w( ~- f6 `
例：判断向量组a1=(1 2 0 1), a2=(1 3 0 -1), a3=(-1 -1 1 0)是否线性相关,并求秩。2 v" ?# J+ ^8 Y% f, L: k! |0 Y2 P! z
+ H& r% N# N2 g P
>> A=[1 2 0 1;1 3 0-1;-1 -1 1 0]; %输入矩阵
; Q' Y8 f$ k( U" S* T3 D9 ~ W: v# \, c: ]+ p6 p" C3 U
>>A=A’ % 将行向量转置为列向量再求秩/ Q# k' l# k) g$ d) H9 z) o8 g
* w! x1 ?4 E. B) }$ G/ R
>>rank(A) %求秩& r5 L5 B4 k1 Q, B6 K2 o! k5 a& j2 g" g
% M( J' [* L& o: aAns = 3
& l& N( U- r/ o( m2 w7 ^2 m) a. ~ p! e5 [: k% T' [, S# f
（注意：当rank（A）等于向量组个数时，线性无关，否则线性相关）* P8 F* ]3 g0 I2 I k/ M+ g
6 ?. n+ S& n3 \+ |9 C) q6 A
3、求向量组的极大无关组6 w4 t: _5 I T k m
) B t# y$ ^+ X$ \8 i( ` 一般步骤：（1）输入向量组，并将其进行转置
; I6 }* u+ g6 J
( Z7 K+ w0 X( j" N% m （2）化为分数形式: F! d/ b& [ \
# I7 [, p, |1 e( o) \8 F1 X! \* Z
（3）将向量化为行最简型# j6 L+ f% F( Y% R z
/ ]4 K ]% \% T" S
（4）对线性相关性进行判断
/ G. b9 _7 m3 L( \ W0 K& U2 C- l9 c- G; Y* `, @( T
注：将矩阵化为行最简型的命令为：rref（A）或者rrefmovie（A）2 z& k* s. g+ J$ h% C: [7 A
5 U( o8 N4 m/ K: w. E% u
例1：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。1 z: t# s; g( _8 K& }7 t
0 s, A7 `3 ^2 n" G1 Va1=(2 -1 3 5)，a2=(4 -3 1 3)，a3=(3 -2 3 4)，
( k/ F9 C2 R6 r6 X! k1 q3 o- H
a# ~" l" C" ya4=(4 -1 15 17)，a5=(7 -6 -7 0)
7 p" w* I4 s" t4 A D% a. Z; q8 n
" E* b4 q( L" d6 z( O>> A=[2 -1 3 5;4 -3 1 3;3 -2 3 4;4 -1 15 17;7 -6 -7 0];( n- ^ o# T$ W% P' \
) I: E n4 Y2 ?$ E. C( a; ]>> A=A′ %将行向量转化为列向量进行运算
( ?5 t1 i% y. {( y
% k; Z/ i c0 J) w>> format rat %分数格式形式
* i! K3 K- i/ Y# A# @, z- m
, i" f, J0 o3 |$ [>> rref(A) %将A变换为行最简型+ R( b2 w4 ?# ]% a' F0 K
; ?1 L7 s M4 }" S1 m1 Oans =
6 I6 S7 I, M1 p$ U( \2 i1 v) [7 t& ^4 M/ x$ n( r
1 0 0 2 1
% @6 S3 h. ]& ?# Z* g& K* g; _3 b: T+ F# g
0 1 0 -3 5
7 T+ |4 {$ Y, s
% i" |! I7 x8 P* p 0 0 1 4 -5! d9 T5 J6 s' @8 s2 e& }
8 F& l( d& A) [1 y 0 0 0 0 0
! n4 B, c( n+ `" }* G) o/ W2 Z# R% W: }
因为前三行的向量均不全为0，且第1，2，3列的均为1开头，所以a1，a2，a3为一个极大无关组。: v1 O4 ?4 e9 s2 s6 Q3 T8 N
2 k/ i$ l7 h J) O6 m% I
9 L3 V' J; s# v6 ^+ i
6 n% m8 Y0 O; s# B$ j- E例2：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。' L5 L# r8 q/ a/ Q' u: ^
a1=(1,-2,2,3)，a2=(-2,4,-1,3)，a3=(-1,2,0,3)，a4=(0,6,2,3)，a5=(2,-6,3,4)
) A+ r2 T1 p# p+ |, @# s: j' }3 y' n% ?4 |
解：, w2 N* [4 w! k
N9 q4 h6 M5 D1 ~9 X3 @- A7 EA=[1,-2,2,3;-2,4,-1,3;-1,2,0,3;0,6,2,3;2,-6,3,4]
, r- {, e0 }# i
# d/ V- P: C/ u8 r& E2 j. n; T>> A=A′ %将行向量转化为列向量进行运算
P( ]* {# ]% E) q8 W
) g+ ~1 Q/ F$ w9 n>> format rat %分数格式形式
. Y4 O! c! C& ~7 h/ \
6 ~/ c" h/ M5 R" W$ \, J k/ d>> rref(A) %将A变换为行最简型0 H) W3 o% `0 u# u$ g
3 h* \1 m5 H# v5 ]' t! t
" b. G9 s2 y q1 M, k4 r% i
& N+ r4 Y, F% W6 T: I2 LA1,a2,a4为一个线性无关组，a3，a5可用其其线性表示
: i7 O2 s8 ^6 F$ e& @( c* ]6 h) b3 \$ W
3、线性方程组的求解
: @" Q) H- \2 w0 e* N, f( v0 x* Q! @, ~9 t
（1）使用克莱姆法则求解
U* S' [$ w5 M- x9 J
& S1 \, a" i' u" _
1 C! ]! {$ U4 J7 Z, g- u" C* q( ?9 e- k9 f/ U
! f3 Q1 ~: P: A8 p R$ H4 z
>> A=[2 1-5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6]; %输入系数矩阵
/ s. ~* ^3 A9 _6 @6 [/ U
. a/ J" x$ e, x# p3 X>>D=det(A) %判断解的情况8 q. B+ f9 i" ?( `8 o
0 C5 f: V7 M1 X9 H8 o( c1 SD = 27 $ ]/ T% @9 b6 z( I: f9 I2 \0 ?1 \
; f* K8 e, p: b( I- W* t
>> C1=A;C2=A;C3=A;C4=A;b=[8;9;-5;0];( k6 A+ R8 f" e2 V" T. i6 @- N+ b" n
9 f; I4 j" a3 P) H$ a4 ?: X%将A赋值给不同变量
# L; E1 h5 I: |- S5 ]
/ O- ]. W, y3 g2 X6 F) e6 x>> C1(:,1)=b;D1=det(C1); %将某行替换为系数列5 C: K! S$ X) e2 n) }7 W
7 |( d w: x: N5 `8 dx1=D1/D %x求解x1
2 N" k$ {$ l- ~9 x5 k4 b0 D2 E7 ]
8 Z6 s6 e( e/ ^ b' s- l; Qx1 = 3" ]+ M( S+ s: w% S9 e5 G
6 q/ [+ p7 B! ?, I \0 y
>> C2(:,2)=b;D2=det(C2);x2=D2/D
" `/ u2 `7 J6 C; [
, w6 S3 H' j5 r/ X i( v; {+ T>> C3(:,3)=b;D3=det(C3);x3=D3/D
$ D& I- Y2 n& U2 r
- K3 k! w+ v1 l2 ?% _>> C4(:,4)=b;D4=det(C4);x4=D4/D
1 S7 \- ?9 j( a5 ~% W; y* e; \) K2 E E* X
（2）使用矩阵左除法求线性方程的解* o/ }1 Z0 a# V, b
0 T( ~+ n" o9 W! X. l8 T; X线性方程组AX=B的一个解为X=A\B。! c/ q" i- ]( P- i* \
! I7 }$ ?( @( d5 ]" e; V1 T8 K( B例：利用左除法求解上题中线性方程组的解.! }" C' U8 {1 E/ U* ]
$ A2 l2 e/ `) F1 m1 v9 f. [
>> A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];
9 y2 p, c& _8 I4 E8 B
6 h. q% B) I1 |>>rank(A)# \6 ^* Z/ @; f& H$ t: v. D
& A3 d( M& v; }( y>> b=[8;9;-5;0];# T5 d3 f9 d2 |7 ?8 b' U) x9 c! s* D
B" n3 W0 y% t' z" x8 R" @8 C
>> x=A\b %左除法
1 i. T6 O# a& F1 R- p& j: I% d
: L# n: B4 O( Z; k' B/ kx =
& U T' l" h7 l0 ~, A! n3 g9 h9 X: h! n* M' `! V" o2 M# K
3.00007 b2 G2 v r) y* }$ k1 u' {1 r- A
, i+ Z' r9 T7 Y7 C; _# e, _8 `: F5 z -4.00001 H0 C/ T8 I- I9 h
& G* U7 t( R! F9 a$ {6 q
-1.0000. O% t- y+ C- c/ J0 q
" w6 A- K( \+ C! b9 [ 1.00004 }# r/ ~7 P: l$ d: V
% r4 E! x4 i. u/ U" b# ^* U$ M
(3)利用矩阵的行（列）初等变换求线性方程组的通解
- {# W9 H% l0 ?$ t; D$ E) B+ K7 I3 A5 V2 L: G! f9 H+ S
基本步骤：（1）将线性方程组表示成增广矩阵的形式；& o% n3 g. M7 \. b" _7 P
% f3 A& h* T+ N6 o（2）对增广矩阵实行初等变换，使增广矩阵转化为行阶梯形矩阵；
9 Y& S3 l8 ]' G1 L+ K6 g! m% T3 W A. o, W$ i
（3）得到方程组的解。3 z9 j X8 J6 Z
( v- Y4 w( A" b* K例：求解线性方程组/ b$ E4 o2 n' i3 b5 w' t8 V
7 x# H) o3 J' z/ H
! H# L9 `7 g: S X. @9 H" P
8 a0 P) ^# R9 G
7 P W+ u4 S' x6 P w J>>A=[1,1,1,1;0,1,-1,1;2,3,1,3]; %方程组的增广矩阵
2 v% u- F7 K3 l. x9 f( K+ R3 A3 B: G3 c, i
>>F=rref(A); %将方程组增广矩阵化为行阶梯形矩阵
- g& w5 l- k8 k1 N6 {+ H; _' l
1 C% j# S" j# m' S! ^) n. v2 |>>F %输出增广矩阵的行阶梯形矩阵
$ o8 S" D# a- e' V7 V N$ @1 b" s8 r0 I# K; R! q( m1 q
F =
~4 c; C, J% J/ Q- u; k9 y$ k, u; a' g
1 0 2 0' k1 M# K8 g J6 V+ ?
9 a9 R3 P: t' d0 g: b
0 1 -1 1
8 X: Q# Z% o# m0 \& N3 k# { P$ ?3 G( ~$ U* Q3 A$ ?8 L T$ `; p
0 0 0 0+ z5 D5 n% E. d7 e- z
0 G) S& ~( G; {( M+ v2 r2 C由该阶梯形矩阵，可得方程组：x1=-2x3 x2=x3+1
7 t3 {% r4 o9 \% [% M2 j
- A' Q/ [5 Z! }4 A; o, ]$ x; ^6 U( |/ d1 C) N2 g- n. F0 M
}: k8 {7 {5 L（4）求非齐次线性方程组的通解2 c) D1 [# h( Z$ w% I1 r1 P" M
" U( ^# a8 H% i6 q, a
非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解。
! ?# ]9 e: i4 R* q
2 v: H) H; P& E: J' g* B7 n一般步骤为：4 i! v* B7 `2 P$ q6 p8 v
9 U( a0 a+ d5 l
第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步；（R(A)与R(A,b)比较，即比较系数矩阵的秩和增广矩阵的秩）
' L6 Z! |! O- O: T3 F
) @' u$ @8 J: r1 O1 t. S+ d第二步：求AX=b的一个特解；（矩阵除法）
2 U& e+ J: ]) X. Y. E/ B$ H3 d* V- {
$ l0 g4 {! U0 E第三步：求AX=0的通解；（利用null命令）- |) R5 c& Q; @3 Z F5 Q/ I! E
' V! a2 O. Q. C- p( Q" Q: t: \第四步：AX=b的通解：AX=0的通解+AX=b的一个特解。
- b) F/ s: y5 \0 ~# d' [, |. P k; p9 W# p8 m
例：判断方程组
2 ]2 l) g) E" ^% H
1 d" z x# T* o; G5 P+ t%第一步：判断系数矩阵与增广矩阵的秩, a+ z7 `) [5 l4 z" f8 e
' P% \) Y/ u- T# B/ Z/ p5 M
>> A=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1]; %系数矩阵A' R1 m& |8 ~6 t
* ]8 a' Q5 h! U. m+ g) s>> b=[1;1;-1]; %常数b" F: c1 o1 L( p) C9 U9 o4 t* J: D0 v
9 r" a! F2 F' _& f- X1 ~1 B
>> rank(A) %系数矩阵的秩: l- Q) v# m2 ^# m6 W
! |7 e5 a+ y; L* zans =1 y5 y6 h5 g9 ^2 q
& x1 l; b5 e0 } e' c! [: U9 c 2
! S$ L9 h) N3 B+ Z5 l0 t1 `
/ P' ^* O* \. Q0 T6 _5 e>> rank([A,b]) %增广矩阵的秩
: c4 O; n1 O$ z7 m: `' ?$ Z+ s7 m# _! I% C
ans =0 `1 N1 Y. v$ E9 C ]1 ^
+ W( u* c, N/ W4 K+ P 2
9 C1 c1 _2 o4 x" ]8 }4 I
9 D' L% N3 o6 u3 k- ?%求通解" h2 e3 ?, M% u/ u; {1 B
( E' d5 t- F5 d9 `6 l化行最简形，用rref命令5 J1 A1 Y9 G; w5 j" L
5 k: |8 }. B: F! f! h' S
>> rref([A,b])
+ q$ S7 `' @- Q8 u; W- r3 d' G4 S1 C+ V- O/ M! l4 m) _
ans =
3 r/ l" U! T0 s0 w- E# I$ R3 A# x, q) N5 n4 o' G/ D0 d9 F
1 -1 0 0 0& t/ Y! _5 n) ~, x
" g. \2 T5 j- z9 a* w5 W+ z b) K 0 0 1 -1 1: C: G/ j2 L8 O
7 O7 }7 I+ {) y0 ^: g. n' I
0 0 0 0 0
& }* G9 m4 @/ B. y7 p6 j+ f; N3 z8 A! W& o/ _
取x2,x4为自由变量,从而通解为：x1=x2,x3=x4+1
; ]+ ^' z1 w$ Q. z% K6 F$ S0 ~0 t) @+ L4 K3 l
（2）先求出特解及导出组的基础解系, 用命令null，例如：
- q6 X2 D! L2 c* w4 N3 t& a, H: e. P) U, R* L; k% L' ~7 I
>>x0=A\b %方程组的一个特解
# e1 s( s. q, p4 Y- F0 L- v
) J f8 Z8 A1 X2 h) N0 s6 r. R6 Bx0 =5 c, n0 ^4 p! g2 T( m
, g5 W' H- I5 Y 0% s. a& u2 E3 | X' u
- p }) \. e& @% L6 ?
0+ C" p; A: D8 `* ?7 }, k3 x
- t+ S5 e$ A1 i7 K
1 |* n7 C) l0 a6 o4 ^
% U: g) r3 T& Q1 {0 r
0
& w R. t! W9 c1 I9 m: |; v" h
% S, G) K( z; g* S' D4 q- J; b% t>>x1=null(A) %求导出组的基础解系
. ]. Y; q# g, Y! W/ [- F
, @7 Q6 n# m7 M* I/ R2 ?/ N* }x1 = w$ w ] k" }( B3 P
) Y1 a$ { B$ T2 c9 G1 z8 f) h0 G -0.7071 0
v& c, R2 z9 g& L8 D
) }3 }# d j9 u m% l9 B& L7 e -0.7071 0
Q f, T3 T* u, g, o7 Y. @! [/ d# G9 ~" u" ~
-0.0000 0.7071; Z: r+ Z& S2 u8 d* r7 U, Z
" w% J. X4 l/ N2 t/ {, N% I
-0.0000 0.7071
* M/ R/ R, t$ g
" e0 P& F' E8 F故原方程组的通解为& X8 |- Q: y! P$ X5 H: O. t
* |4 I5 {# q% h0 r(x1,x2,x3,x4)=(0,0,1,0)+c1(-0.7071,-0.7071,0,0) +c2(0,0, 0.7071, 0.7071),c1,c2为任意常数.6 V: ]$ n% X; C( k6 ]& \( \
/ R5 ]" W( T, o6 z
null是用来求齐次线性方程组的基础解系的，加上'r'则求出的是一组最小正整数解，如果不加，则求出的是解空间的规范正交基。(x1=null(A,'r'))
0 d3 c8 q5 T5 c# h3 `0 t |
|
/1 
发表于 2021-9-29 10:50
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