对离散时间傅里叶变换DTFT采样

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0 X9 O' g/ z' ~& b( z9 o8 ~) ?/ ?" d
# d# `( r4 {, q2 `( }$ g/ [; }+ @% r上篇（对离散序列的傅里叶分析大总结(一)）的最后讨论了有限长序列与周期序列之间的关系，首先给出了有限长序列以及由其构成的周期序列之间的关系，具体参看，得出的结论是：
1 x6 h* }, j- c; W: w$ m8 p( Q

+ y, T) _3 d4 O3 `5 t+ |
今天的主题：
6 X+ `6 D6 X  r+ a/ }今天的主题讨论了非周期序列与周期序列之间的更一般的关系：

先给出非周期有限长序列以及其DTFT，然后对其傅里叶变换（DTFT）进行等间隔采样，等间隔采样后的序列的逆变换对应的序列是什么样的呢？

. n% P: B8 w' T; o! o是不是有限长序列的周期延拓？
5 n5 e0 D1 U! [' z$ S- X7 f
看下面的分析：
- J6 g# Z  Q6 L$ t4 k

. P" n0 e9 j4 g! [# ?

# b* _- X# l$ v  `  z- I
- b* E* W5 K6 [) d1 X3 Z
3 s* ^2 T  {; {$ s% C! P

可见，是一个周期延拓关系，延拓周期为N。

# K4 B: G6 N8 D有意义的举例讨论：
$ r* T. A! `# I6 k/ y( ]下面再给出一个十分有意思的讨论：
9 d  |5 P3 K( ^* ~$ O1 O1 }
$ e' y& U- y% c5 T# h9 k# J* e情形一：
: p, _. f; I4 _. X在下图中，x[n]是长度为9的序列，对其进行傅里叶变换（DTFT）得到 ，对 进行等间隔采样，间隔为 ，取N=12，也就是间隔为 ，得到采样后的序列为 ，该序列对应的时域波形为 下图（b），也就是对x[n]的周期延拓，周期为12。

2 d) H% P1 z6 k. a) P
/ B2 l9 }- d0 V1 C

情形二：
" {, S9 s: O+ y* p: T8 c同样是这个有限长序列x[n]：
, f5 V+ j; \% n) X9 F' r- \
, J5 m2 l4 [. O1 ~5 x
8 p8 K' M& c2 h* u9 k) a! D
8 W+ t7 N2 i, Z  N当N=7的时候，对应的 为：


% D! @5 |- q  G: k2 M3 o9 k) G
; i& o) i; N. R" d& \; Z可见，发生了混叠现象。

下面对其进行解释：
+ Z* X8 b; p1 \8 [. h0 K
情形一的情况， 的一个周期是x[n]，这是没有发生混叠的情况，但对于情形二， 的一个周期就不再等于x[n]了，这是由于时域波形x[n]周期延拓后发生了混叠。

尽管如此，下式依然成立：
" q3 @5 U$ v) q# P5 S
; O& Q5 |/ ?) z' y. m- A

" b6 _2 w" K& E5 o9 c! U/ u( |4 r也就是说在这两种情况下， 的DFS系数都是x[n]的傅里叶变换在频率 整数倍的等间隔点上的采样值。
; t' q- c9 `8 L8 Y& c; r
对于情形一，原来的序列x[n]可以从 中抽取一个周期而恢复。

同样，傅里叶变换 也可以从频率上以 等间隔地采样来恢复。
* R1 T" R/ g% t$ D; {5 a
# u$ k) H/ L8 e9 v# z与之相反，对于情形二，x[n]不能用取出 的一个周期的方法来恢复。
' x5 y& L* x% \8 X7 D( D, A( T1 B
1 x0 A6 k" u7 G3 y( m! K类似地，如果采样间隔只有 ， 也不能由它的采样来恢复。
9 i2 v, I  a1 X9 x9 Z2 e
实际上，情形一说明的情况是，已经用足够小的间隔（在频率上）对x[n]的傅里叶变换采样，以便能够由这些样本来恢复该变换。而情形二，表示一种对傅里叶变换欠采样的情况。

在欠采样的情况下， 与 的一个周期之间的关系可以认为是时域产生混叠的一种形式。
9 M  p! F4 ^, O$ S9 m1 L
5 G- `. S" P6 o" P( j7 r  n显然，只要 为有限长，时域混叠就可以避免，正如信号的傅里叶变换只要是带宽有限的，其频域混叠也可以避免。

5 g6 z7 m. G2 @: y
1 r5 X: e% x+ V% c' e最重要的结论：
( A6 {8 F3 D" }) m从上面的讨论中，我们已经看出：
( x3 o: C- H" ~( F: X

  K$ |2 g9 q0 Q5 M8 s9 G. k5 j
. N2 K; |( }& I- v! ?重磅内容：
" o1 ?! h( M- |6 ?' z# \9 p

* B/ ]+ ?, a: K0 G* s9 A
在推导、讨论和应用DFT时，我们应该始终记住：通过傅里叶变换的采样值来表示，实际上是利用一个周期序列来表示有限长序列，该周期序列的一个周期正是要表示的有限长序列。



: m: F2 U' k4 D1 B, ]

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