matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）

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# f+ U+ K$ @, d. F' ^目录
( Z1 [( D( U% J8 m/ @. \+ k5 N) x- p总述
3 S8 H7 x. R6 e$ X$ U6 l函数调用格式
5 ]% x5 g8 i6 k! i应用举例
例1：梯形法求积分
例2：不同步长对积分结果的影响
; n" V/ }' n& L4 x, I: o) b! `" {( y( ~
% W( b* ]& G, S3 d) N8 d/ a! B
! t& ~7 {) }$ [/ Z7 U, u总述

  数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知，则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法，即已知数据点求积分。

函数调用格式
& G* @2 X# G* [/ o. s$ S

• S = trapz(x, y);
  ; g$ ]7 Q/ K/ }4 G

9 }! M. g8 d9 J  n: X- c
应用举例例1：梯形法求积分
2 \5 p6 }' u( i- L

# c7 B7 P6 {" H4 G- H8 W  p8 i
1 Y; k. J, w9 `; L2 L% `, n5 X4 g; U

• x = [0:pi/30:pi]';
• y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
• S = trapz(x,y)
  

# H) G! `* x  g3 I

结果为：S = [1.9982 0.0000 1.9995]

" }5 Z" F* o2 y8 s6 I& M, _2 a

由于选择的步距较大，为h＝π／30=0.1, 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充）

例2：不同步长对积分结果的影响

题目： 用定步长法求解积分

: B0 W8 G! \- U. `* a，并讨论不同步长对积分值的影响。

• 首先，绘制被积函数的图像：
  3 R# x2 M1 i8 }& M7 ?

• x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
• y=cos(15*x); plot(x,y)
  

  m  w+ I7 {" G* G
9 t. x* v4 t; F
由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。

; M! b  p$ \( f, h

• 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
  

• syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
• h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
• for h=h0
•         x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];  y=cos(15*x);
•         I = trapz(x,y);
•         v = [v; h,I,A-I];
• end
  5 g* b) g1 B8 D7 d$ N

% N8 @# K8 ?+ p- E得出结果如下：
% c7 g) {0 ]" ^& T1 s
6 [9 V, R5 K: Y" O
# G6 T. I) ~8 C
+ w/ {: B7 F6 E  r5 O/ l5 U( J可见，随着步距 h h h的减小，计算精度逐渐增加。



* U  v& @, n) U/ ~; a
" l2 w# E( G9 X8 i3 g
# t# o" O6 ~/ o; H

( @( f7 A9 f7 O' s5 T; U

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matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）