matlab实现曲面积分（surf_integral函数）

ulppknot

- @  h7 {3 Q0 C$ i4 tMATLAB语言并未直接提供曲面积分的现成函数，因此，此处给出计算曲面积分的函数。
% W# d( B! d8 w) O7 B
2 h9 m0 D  `. M4 V5 n6 ]+ o) x/ E目录
; g$ Y. A$ |( [4 G, k9 A函数说明
7 p9 q9 U% A) D/ a6 m应用举例
3 v) c. _* K, T4 m) K第一类曲面积分
第二类曲面积分
2 b$ R! H2 b  }+ h- `函数实现

函数说明
1 c$ ^2 f' t, N: l$ i" K8 `5 I4 t
1 a2 Y# S* {7 C' N2 f5 t; |4 ~* E+ ~

• function I = suRF_integral(f,vars,t,a,b)
• %surf_integral
• %第一类曲面积分
• %   I = surf_integral(f, z, [x,y], [x_m,x_M], [y_m,y_M])
• %   I = surf_integral(f, [x,y,z], [u,v], [u_m,u_M], [v_m,v_M])
• %  Examples:
• %  计算int_int(x^2*y+z*y^2)dS, 积分曲面如下：
• %  x=ucosv, y=usinv, z=v, 0<=u<=a, 0<=v<=2*pi
• %  MATLAB求解语句
• %  syms u v; syms a positive;
• %  x=u*cos(v); y=u*sin(v); z=v; f=x^2*y+z*y^2;
• %  I = surf_integral(f,[x,y,z],[u,v],[0,a],[0,2*pi])
• %
• %第二类曲面积分
• %   I = surf_integral([P,Q,R], z, [x,y], [x_m,x_M], [y_m,y_M])
• %   I = surf_integral([P,Q,R], [x,y,z], [u,v], [u_m,u_M], [v_m,v_M])
• %  注意：I = int_int_S(P*dydz+Q*dxdz+R*dxdy)
• %  Examples:
• %  计算曲面积分int_int(x*y+z)dxdy, 积分曲面如下：
• %  (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1的上半部，且积分沿椭球面的上面。
• %  引入参数方程：x=a*sin(u)*cos(v)，y=b*sin(u)*sin(v)，z=c*cos(u);
• %  且0<=u<=pi/2, 0<=v<=2*pi 。
• %  MATLAB求解语句
• %  syms u v; syms a b c positive;
• %  x=a*sin(u)*cos(v); y=b*sin(u)*sin(v); z=c*cos(u);
• %  I = surf_integral([0, 0, x*y+z],[x,y,z],[u,v],[0,pi/2],[0,2*pi])
  

9 ^& r) Z+ x& h3 n
5 w, D8 v* }. f% m2 c应用举例
2 ~, `+ [0 W/ r" i; O8 n% v# h
第一类曲面积分
1. 计算 , 积分曲面如下：


求解方法
, G$ n$ Q4 q4 e5 s+ ]
( a* a2 a6 d0 p

• syms u v; syms a positive;
• x=u*cos(v); y=u*sin(v); z=v; f=x^2*y+z*y^2;
• I = surf_integral(f,[x,y,z],[u,v],[0,a],[0,2*pi])
  

第二类曲面积分
. q# s5 s( @: z& ?0 H' q4 R
% c: D  t6 w; l9 ]2. 计算曲面积分 , 积分曲面如下：
% X8 y7 x8 z2 b, O$ d- ` 的上半部，且积分沿椭球面的上面。
: y4 P- `9 ^6 h- I( X" L注：引入参数方程： ; 且
9 B9 ?. S- C% b/ W" i( `. g# w/ y

! W8 i: A4 F9 z: t求解方法

• syms u v; syms a b c positive;
• x=a*sin(u)*cos(v); y=b*sin(u)*sin(v); z=c*cos(u);
• I = surf_integral([0, 0, x*y+z],[x,y,z],[u,v],[0,pi/2],[0,2*pi])
  5 u' @* _0 _8 \- T$ X" P

函数实现

, a9 b2 Q7 z' Z& ]# ^

• function I = surf_integral(f,vars,t,a,b)
• if length(f)==1
•     if length(vars)~=1
•         E = simplify(sum(diff(vars,t(1)).^2));
•         F = sum(diff(vars,t(1)).*diff(vars,t(2)));
•         G = simplify(sum(diff(vars,t(2)).^2));
•     else
•         E = simplify(1+diff(vars,t(1))^2);
•         F = diff(vars,t(1))*diff(vars,t(2));
•         G = simplify(1+diff(vars,t(2))^2);
•     end
•     I = int(int(simplify(f*sqrt(E*G-F^2)),t(1),a(1),a(2)),t(2),b(1),b(2));
• else
•     if length(vars)~=1
•         A = diff(vars(2),t(1))*diff(vars(3),t(2)) - diff(vars(3),t(1))*diff(vars(2),t(2));
•         B = diff(vars(3),t(1))*diff(vars(1),t(2)) - diff(vars(1),t(1))*diff(vars(3),t(2));
•         C = diff(vars(1),t(1))*diff(vars(2),t(2)) - diff(vars(2),t(1))*diff(vars(1),t(2));
•     else
•         A = - diff(vars,t(1));
•         B = - diff(vars,t(2));
•         C = 1;
•     end
•     f = f(：); abc = [A, B, C];
•     I = int(int(simplify(abc*f),t(1),a(1),a(2)),t(2),b(1),b(2));
• end
  5 p) n8 ]" E6 S6 d

yin123

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