matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）

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目录
5 M# Z0 R6 c$ {' A! c/ p总述
函数调用格式
' Z8 X. G9 w) H: F( z+ m( A9 F6 F应用举例
4 \. @/ }2 j( ?, [例1：梯形法求积分
6 `- d/ c* U5 g5 c例2：不同步长对积分结果的影响

5 ^4 g8 y8 X$ H& A总述

( m  H; F: o# [* z3 v  数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知，则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法，即已知数据点求积分。

0 ^! d* l( |# f2 ?+ q

; {) V$ \1 W" l8 x. i6 j
函数调用格式
9 E1 t% v' L5 j8 g
, T( @, X6 p( y! ~) f  H6 E! @5 B

• S = trapz(x, y);
  ( ~7 V+ ?" s) V

应用举例
3 ^9 F0 @# ~( P6 ?  [! g# k
例1：梯形法求积分


& g& k" {. M5 o4 C" ?
$ D7 \+ c, u6 \( U

• x = [0:pi/30:pi]';
• y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
• S = trapz(x,y)
  2 z: K' m7 n9 A: Z0 r2 Z6 ~9 f

$ f" u7 z9 ~, J# D  g  r
8 d+ E- c( ]  r" @+ K* @结果为：S = [1.9982 0.0000 1.9995]
( {) Q; X: X1 T
9 O8 N  V& E* ?( `  |由于选择的步距较大，为 , 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充）
. l# _/ ^  [/ C1 w( h; f
/ W3 o' T# {5 p- S例2：不同步长对积分结果的影响
/ C. v$ {  W4 [题目： 用定步长法求解积分 ，并讨论不同步长对积分值的影响。

• 首先，绘制被积函数的图像：
  ) J3 N# A- l) j2 f8 O5 y; b

$ S7 h! Q) d3 w2 Y& E# \. M

• x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
• y=cos(15*x); plot(x,y)
  0 x$ x* ?- m5 f) W0 A& t1 G

" L1 V3 G- L0 f/ J3 j- }/ g

% L4 T" W0 X" Y( f1 ?. s$ ^
8 L: e9 G( J& W$ z由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。

. \+ e1 Q' v7 u3 J

• 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
  

• syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
• h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
• for h=h0
•         x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];  y=cos(15*x);
•         I = trapz(x,y);
•         v = [v; h,I,A-I];
• end
  % d+ C7 z. o6 M  m

9 Z  M$ H% m- ]) a" k# c: l2 G
7 v+ @  J8 S+ O5 H* R$ ^得出结果如下：
9 w9 |3 P6 Y8 {8 h* I' B* u


9 K5 g: X* {; q; H5 k* ~! z6 z可见，随着步距 h h h的减小，计算精度逐渐增加。

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