TA的每日心情 | 衰
2019-11-19 15:32 |
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x
目录# N7 R/ q* t& P
一元函数的导数
0 e0 V. D5 F3 p I( `MATLAB函数语法
1 t6 N' ]8 e |( M: O6 q, N应用举例
# {8 V2 h- ?( ~例1 ：普通函数求导, }2 l+ B5 I. k/ _5 Y) M1 N
例2 ：复合泛函求导
- F3 U0 f* V5 c8 I例3 ：矩阵函数求导; G; W6 ~: n/ ?: m1 C2 V& `
多元函数的偏导数2 k/ m5 R. a) x2 O
MATLAB函数语法
$ g6 e" h1 ^" o6 H* _- Y9 x7 S应用举例 X O. g9 N1 `# b& S/ m( }/ _
例1 ：求偏导并绘图+ f- L2 Z4 h) X9 G# Y
例2 ：三元函数求偏导
) P0 b8 n& J e Z9 Q% x" r' h* W! h. N% B
一元函数的导数: w# h# t; Y1 ~( e d, I! V
MATLAB函数语法; X" c, q8 e, U% y/ {
- y = diff(fun, x) % // 函数fun的一阶导数
- y = diff(fun, x, n) % // 函数fun的 n阶导数* z/ ^) C i" }5 { e
0 U# _+ X& p; d; V
6 N/ w+ ~8 e+ d; Y
注：自变量为唯一符号变量时，可以省去 x x x。; ^! O1 V. E5 P6 E N) |) s
7 o' ]0 n# L5 r$ b0 Z应用举例
* l) G5 I! h5 g0 l例1 ：普通函数求导
, Y5 Y% \4 E$ L4 m6 h$ m2 O7 d8 _3 h给定函数
3 O9 {* z. k+ p5 p
% c$ d! p+ g; b1 K& M" Q; U6 Q
$ e7 d0 ~5 ~' v0 M3 T+ s分别求其一阶导数和四阶导数，并绘制原函数和一阶导数的图像，计算求解50阶导数时所用的时间。
3 J8 I! X" H1 p( j
% S6 a c% h+ j- \- syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); f1=diff(f)
- ezplot(f,[0,5]), hold on; ezplot(f1,[0,5])
- f4 = diff(f,x,4)
- f41 = collect(simplify(f4),sin(x))
- f42 = collect(simplify(f4),cos(x))
- tic, diff(f,x,50); toc
2 U$ v) j+ ]+ d6 U0 N0 f
c/ p: V/ \) q+ H" H& N! X
. ?5 ?. k$ O% K根据结果可知diff函数的效率较高。/ m3 z( e0 K9 W0 e
( K1 w1 F8 }. K$ Q
例2 ：复合泛函求导- B: V0 h/ y% U/ j
已知函数
，推导其三阶导数公式。
5 a; `. J& H8 J/ B2 Q: w% j1 W' M! v
分析：该题难点为如何定义 f ( t )( T- t" c2 {. [5 i
3 j8 x4 L- {" o) ^
- syms t f(t)
- G = simplify(diff(t^2*sin(t)*f,t,3)), B, ?. L% i: z, g# P7 I5 d9 k! a
; ^9 i/ R' A$ V) Y2 g4 b% G. c
/ {7 w6 @& m2 X' l
当
时， F ( t ) 的三阶导数为7 t- p- m7 H; Y8 y5 {
* ?0 Y" n4 ^5 \/ R% y2 U
- G0 = simplify(subs(G,f,exp(-t)))
- err = simplify(diff(t^2*sin(t)*exp(-t),3)-G0)
, I$ f2 i6 s, m) S3 ~$ ?3 A9 ?
& x) \) [ ?* i$ {4 t5 q' f$ b
2 }9 }& v# f- p) k C( W7 D7 c" o
例3 ：矩阵函数求导% @& e% B+ i, a+ P
) s* H; ?, b/ c) U$ N! y
+ o4 U1 U; a7 M/ X% N% [对每个矩阵元素直接求导
9 z, |5 o; e8 _3 A4 }9 A& E9 N" n: U% o5 E; @6 a
- syms x;
- H=[4*sin(5*x), exp(-4*x^2); 3*x^2+4*x+1, sqrt(4*x^2+2)],
- H1=diff(H,x,3)
& P* m$ v1 w5 J% y+ d+ n
: ~ m5 x9 K+ b- c7 m
, [1 a/ c% Y. E$ o" a# f! y5 W多元函数的偏导数& B6 Q$ F5 U) J, R- ]
MATLAB函数语法7 k4 c- d: ~. B$ R+ `& q
高阶偏导数
% d, m) }7 q0 V0 |5 n o
6 X4 |6 i4 g7 ]. J% ]3 u3 |& A的求法% G. K1 Y* {" k% M
% L( i/ d9 q! H% W& U
- y = diff(diff(fun, x, m), y, n)
- y = diff(diff(fun, y, n), x, m)7 J* S' T! Q" p' Q
' v, f6 a w: f- J
" E, `9 i' a: y( Q2 G7 i/ L应用举例* d# B1 B5 K9 r. j' N# N
例1 ：求偏导并绘图# x! C5 ^9 n2 k" \' f+ ^5 _2 U! U
求函数
的一阶偏导
,并绘图。. _$ F# X& }6 R& H/ f! f
4 A- D1 _% r- ~8 z* h5 t4 p- syms x y
- z = (x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);
- zx = simplify(diff(z,x))
- zy = simplify(diff(z,y))
5 ]- G. ?% s3 y7 M4 Z" q: W0 m+ ?
/ i8 a" P3 n7 L3 ]
( I6 H) A3 E2 W2 \- E( F
- 绘制三维曲面
1 l8 |6 ]4 W" ?& |$ v
- [x0,y0] = meshgrid(-3:.2:2,-2:.2:2);
- z0 = double(subs(z,{x,y},{x0,y0}));
- suRF(x0,y0,z0), zlim([-0.7 1.5])0 T1 o/ _% a$ e+ C( Z& V f
+ ]+ r$ b0 p( ^9 T0 n. v
, u) M, U- v: d2 [ v: a% M
: v; h; }: P% ?; x+ P
2 y$ {! C5 n0 T* w% {. i- 绘制引力线（负梯度）
+ o" G! d* Q% E5 ^4 l0 I2 c) f
- contour(x0,y0,z0,30), hold on
- zx0 = subs(zx,{x,y},{x0,y0});
- zy0 = subs(zy,{x,y},{x0,y0});
- quiver(x0,y0,-zx0,-zy0)
; e" m" ~- | C0 p8 K7 X+ K0 s
$ @( R# a- n$ J1 W. J& w4 ?
6 q; [ Z s! x
z2 z. |- e0 R7 h% r: _) J
* u3 k1 w4 j/ a例2 ：三元函数求偏导
- `5 r7 N' T' y& Y! O求函数
的偏导数
- q& r, G# y9 `+ p8 \
- syms x y z
- f = sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2);
- df = diff(diff(diff(f,x,2),y),z);
- df = simplify(df) e" N; q+ L, {1 x' Y+ c
2 \" h; X0 J+ V& e
* L4 [# K. j' k% W8 ~8 H+ ^ |
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发表于 2021-1-25 18:25
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