matlab求解极限问题（limit函数的用法）

ulppknot

本文介绍利用MATLAB求解函数或序列的极限问题，顺便介绍limit函数的用法。内容主要包括单变量函数的极限和多变量函数的极限。
目录
; u8 j. n/ L6 m单变量函数的极限
极限的定义
普通极限
左极限
5 i2 h8 r8 H2 Z  n3 s" H7 Y右极限
* i$ h7 A, o) w* {+ b5 Z3 o8 }matlab实现方法
  p& E5 t) R, d应用举例
  C6 Q( ~1 |- g0 _" d- M多变量函数的极限
matlab实现方法
应用举例
& o% M0 W) c8 I- M0 |* ]单变量函数的极限
1 L( u$ i4 m$ W0 ^极限的定义
+ h9 g$ \/ \: @9 l6 N3 \$ @
- A. R9 B4 n. P9 ]% \5 l+ F! I


matlab实现方法

• L=limit(fun, x, x0)                % //普通极限
• L=limit(fun, x, x0, 'left')        % //左极限
• L=limit(fun, x, x0, 'right')       % //右极限
  / p' v2 I6 R3 O2 L$ K9 `- W. n# P

! b, }- U% P$ s8 M# L/ L
: n: H. c' q# I( d, P1 N应用举例
求解极限：
& X! W; M9 F2 H" S( l

8 r: P- i3 I: X0 N0 S​        

) c6 S& v4 i, m& U: s

• syms x;  f=sin(x)/x;  L=limit(f, x, 0)
  : e1 b2 J9 g7 Y; q# F

求解极限：

5 }7 @6 @' N, o
8 r6 l- R: i) `$ p+ M
$ }6 h3 d  ]6 {9 p

• syms x a b
• f = x*(1+a/x)^x*sin(b/x)
• L = limit(f, x, inf)
  # d& j( ~% S0 {3 C+ ~5 D) r

/ L4 R, z& }$ ?0 Q& i求解单边极限：
2 b* N8 S( v6 Y" w. V


4 d& ]2 S! S6 }* k( i1 k# ?

• syms x; L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')
    m9 D3 j9 X: S. m6 @2 M  N

9 E  G/ N. r) O2 v3 y! L
用下面的语句还可以绘制出 ( − 0.1 , 0.1 ) (-0.1,0.1) (−0.1,0.1)区间的函数曲线。

# {2 T- k+ ^& q

• x0=-0.1:0.001:0.1;
• y0=((exp(x0.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x0-sin(x0)))));
• plot(x0, y0, '-', [0], [L], 'o')
  

函数曲线如下：

可见， 对这个例子来说， 即使不用单边极限也能求出函数极限值是12。
, Z" w2 c! _! j# e

• L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0)
  

; ~' q- q6 u" I3 y+ }6 Z# B. T求函数 t a n t tan t tant 在 π / 2 \pi/2 π/2 点处的左右极限。
: \( N+ w+ T' v8 u

• syms t; f=tan(t);
• L1=limit(f,t,pi/2,'left')
• L2=limit(f,t,pi/2,'right')
    X  r8 @  p, @; }- D% x" E! V1 ]

* }/ b+ G- m- Z3 J8 [2 }
0 ^4 ^+ s- b" B* T求下面序列的极限
+ r3 E6 @8 @* F' O- Q

• syms n positive
• f = n^(2/3)*sin(factorial(n))/(n+1);
• F = limit(f,n,inf)
  ! r: R! J) |  d4 [7 ]8 o- P& ^( j% y% B

6 x0 M/ ~9 z2 }( X
) C* O" i" f( R- q; Y求下面序列函数的极限
/ A1 |* z5 V3 P9 q- W' q7 k
2 c/ \4 i9 t. x- g6 [

• syms x n
• f = n*atan(1/(n*(x^2+1)+x))*tan(pi/4+x/2/n)^n;
• F = limit(f,n,inf)
  % E; M2 `1 Z5 E5 Y

多变量函数的极限
matlab实现方法
多元函数的极限也可以同样用MATLAB中的limit()函数直接求解。

) o$ s( S( u. j+ Q6 ?假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的累极限

则可以嵌套使用limit()函数。例如:

• L1 = limit(limit(f,x, x0), y, y0)
• L2 = limit(limit(f,y, y0), x, x0)
  ! y" m* j- w, ^1 |" Z* w  j

如果 x0或y0不是确定的值， 而是另一个变量的函数， 例如 x → g ( y ) x \rightarrow g(y) x→g(y)， 则上述的极限求取顺序不能交换。

假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的重极限
# {! y& s3 l& Q6 o' L3 n

- x1 B' _: r- g2 L6 p
. Z+ W8 S/ U: K4 ?理论上不易求解，只有沿所有方向得出相同的极限才可，不可能用累极限方法求解。

" v% C  {2 [; F9 V应用举例
试求出二元函数极限值
' u3 {; n) V2 U( Y: l. J5 ?0 j6 g

• syms x a;  syms y positive;
• f = exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);
• L = limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)), y, inf)
  : m6 L9 r1 r6 N7 N) ?! z

: \( Q, S7 O4 Z# L0 ?
) ^. R! T1 @5 W$ T2 g重极限的尝试 ，求解重极限

4 M. V, g& C( D+ d% N$ x9 Y

• syms x y;
• f=(x*y/(x^2+y^2))^(x^2);
• L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf)
• L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)
• L3=limit(limit(f,x,y^2),y,inf)
• L4=limit(limit(f,y,x^2),x,inf)
  

3 _1 D- a+ N$ S' I: F  t' k8 p
判断重极限是否存在

证明极限不存在比求重极限容易的多，可以沿 y = k x y=kx y=kx趋近。
% b2 q% Y# \# s6 c# W, F
5 G6 ~. W2 M' F/ ^/ l; m

• syms r x y
• f=x*y/(x^2+y^2);
• L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)
  

NingW

matlab求解极限问题（limit函数的用法）