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{" ^, }" Q# \1 I2 x( p" npoly, u3 ?0 E9 `( H4 ]7 P% F3 k0 O
Polynomial with specified roots or characteristic polynomial$ \8 A/ p# d/ j; h" o5 K
7 a# R" Y3 d( e: f% J* E0 v( [. C. X: E: F* O7 S
Syntax3 _& j9 E$ ] x0 f+ H
% v4 Q& O$ u3 n; _; x: mp = poly(r); Y5 f3 P) g! m$ F9 W, a
0 w5 i+ ~( [. v2 b) k) cp = poly(A)" }9 q- Y" `( ?' F
/ r7 L4 j; o1 W3 o5 w4 Q
: G' m3 A' H$ W2 W- Z% JDescription
: D: Q# _4 \( n
' q) i0 z! Y# }. B9 q( ~$ Cp = poly(r),其中r是向量，返回其根是r元素的多项式的系数。
- I4 c b' p; {$ d) J( F
- v, B) D( f& n6 n8 P' h由多项式的根求多项式，由特征多项式的根，即特征值求特征多项式。7 z/ t" L" @4 f% u) {
2 B9 w3 x$ ]2 Q6 u4 M, p, W
$ L2 n7 l' [; o1 k3 n$ K特征值的特征多项式, ] {, O2 r/ Q
7 M. N3 D+ `0 ~' ^) ~2 V- j
Calculate the eigenvalues of a matrix, A.5 O3 b8 e" S, H9 Z+ q M0 E
, f- b: ]$ k/ f$ ^$ i$ V- K
# m# v' a4 K6 p [2 s$ `计算矩阵 A 的特征值6 ~6 E. {7 \# [1 q* a! d
( ~) k: A7 Z/ ~& T0 r& h8 `A = [1 8 -10; -4 2 4; -5 2 8]
' H. C0 v' ?' N( Z" C5 J+ f& e3 w+ I& u
z( m) U e {9 KA = 3×3" r. Y$ q* ?! ?( `/ Q4 L
2 [. s: k6 W/ u! E8 g7 w 1 8 -105 X8 L9 q1 O% a& o! ^
-4 2 4
, G0 ]% v% u v) E; \ -5 2 8" h- o' w! J5 j# }) j( s
9 @" t# U8 J7 g0 k4 B: `! h2 C# W+ s# N: P9 c" r% i
e = eig(A); S0 v8 Z' r- [6 l2 X# n; N
- Y" w1 s! T" N6 H
; z# f% }" B7 `4 p; U+ I( i# p
e = 3×1 complex5 ~$ ~7 i+ n& C( @0 {
9 F! @" q- K$ M4 m" f
11.6219 + 0.0000i
. C. s+ b* u0 z* Z- t7 ] c+ t -0.3110 + 2.6704i) ^- F+ y& H5 d4 q( l
-0.3110 - 2.6704i3 d% W. @& a% s! R4 _, o" x
$ G6 |( ~0 L8 E( u- n! f: J7 }+ l
; F8 v3 E& \6 `由于e中的特征值是A的特征多项式的根，因此使用poly从e中的值确定特征多项式。
* ]* Z/ R: q! p3 X6 ^8 R6 L4 g
8 a6 E4 f8 O! X& R4 Pp = poly(e)7 a* G$ P6 z( e& S0 p! n
( }4 C4 u( o. v$ f% Fp = 1×45 b1 \% ^/ _1 l1 h2 T
/ N, w; n. m$ [. q: b
1.0000 -11.0000 -0.0000 -84.0000
# P/ Z! A G( N! R* C/ x9 P8 V/ W$ ~$ o/ n( H
所以特征多项式可以写为：
8 m, J/ e2 L+ z* v" h- z! c
1 I1 l% a) Q( C" m( Y2 K3 {% `x^3 - 11x^2 - 84 = 0;
2 k' q1 T1 x- J' l* l$ W" r" \
! L9 a0 V J# S5 M0 Ap = poly(A), 其中A是n×n矩阵，返回矩阵特征多项式的n + 1个系数det（λI-A）。# _4 c# U, z" Y+ w
. Q+ \5 Y( p$ L由矩阵返回特征多项式的系数。
% P) ]4 Q& h& A A# Q$ C0 ?* l# u" }' f) |/ }7 u
! {$ _8 V! j9 t) D! j# N
Characteristic Polynomial of Matrix
9 r# g6 U5 q/ d- V c" o z0 c$ ?2 Z4 [/ |& O
Use poly to calculate the characteristic polynomial of a matrix, A." p$ [5 p; i2 P6 a
$ [' n/ m: U; \8 F3 O( JA = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 0], u8 @6 s' k: t; ^! Y9 u
4 J7 p* K6 f. X# z! G) I! p
A = 3×3
- E! a* r9 Q7 n$ @! J/ K
% k: n9 F0 X+ s, G0 k 1 2 3( L3 S! d# Z3 Q
4 5 6
4 _4 Z1 K* B2 ] 7 8 0' R; R$ g3 v! O- [/ C3 F
" P0 }& s/ U' |: m" ^$ c0 G i
/ D( c$ ?' \( L& b0 d$ I
p = poly(A)7 c# \ I3 a! W' g: h' _
: [' a3 ?2 f2 n" Y4 ?9 X
p = 1×44 j$ E/ M( x& j. K' H
) w3 I3 @1 D- z8 h) G 1.0000 -6.0000 -72.0000 -27.0000' o0 F0 i' F9 z1 _. I$ Q/ r6 d0 A; Z
j! H4 `& h; ~1 V6 \Calculate the roots of p using roots. The roots of the characteristic polynomial are the eigenvalues of matrix A.
1 n. Q: j0 s* }1 }% M8 Z3 a9 R2 T) u5 z3 u
r = roots(p)
; Y8 Z8 R! s! i% W- \* ?% p* T2 h7 z: E, T2 F1 R- R7 W* P
r = 3×1
" [) Z; ^8 W$ A! k& L, B- i3 J: p. J% {$ I+ f7 U$ }. ~# q4 l, y
12.1229
& ~; P A2 ]7 ]0 g -5.7345" I- T) c" u" G7 S0 K) t; {% a
-0.3884* |# D0 d+ M1 Z" `9 a F# d
再由根r来求其多项式y，可预期一样，y 和 p一致。
6 R* U3 U; x2 k& r6 \
, n" w' m# R, N' `8 N/ d7 X( V7 U; K
/ ]: s5 K8 V9 b3 \" q6 @/ d3 F9 D- U( G, X
, E5 A9 v& w6 r7 h
, i# z2 a* ?" a/ r
$ s. X$ `7 Z0 o6 I: P
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发表于 2020-9-8 14:00
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