Moore-Penrose广义逆：可解决MATLAB报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能...

haidaowang

上一篇讲到：方程AX=b的解的讨论（特解、通解、零空间向量等概念）及其MATLAB实现，程序中用到的是mldivide或者A\b的方法（二者相同）来解方程。

但实际上运行过程中我们会遇到：当AX=b线性方程组是一个病态方程组；或者A是奇异矩阵（即det(A)=0，不可逆），没法求逆，用不了inv(A)方法只能用A\b，此时MATLAB会报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确”…网络上很多人问这个问题怎么解决，其实不是MATLAB的问题，而是MATLAB内置算法的鲁棒性问题，直接用A\b方法无法处理这个棘手的问题。如果没有矩阵论或数值计算方法基础的同学可能会一头雾水。本文借用Moore-Penrose广义逆来解决这个问题，帮助大家理解带奇异矩阵的病态方程组如何解决。
% {& I" i/ F/ `% w
8 U$ y, R0 V, Z, {% x首先我们先来看下mldivide, \在MATLAB中的含义：


5 {0 G4 y# |0 e: \2 n
% S* o6 B6 m# Q; W" @
! K1 p8 V; H" T% U
0 i4 I4 \5 ?% @+ u

7 R& x0 F: O$ V1 T也就是说，A\b的方法是可以求包含奇异矩阵的方程组的，但是可能会出错。而且错误可能非常离谱。（这个例子告诫我们，不要以为MATLAB算出来的结果都是准确的，MATLAB也不过是调用一些算法进行运算，每个算法都可能存在一些缺陷，无法处理某些极端的情况）。

! u% s* D. q& X
这里就涉及到数值计算方法领域矩阵的性态的问题了。我们可以直观来感受一下：
- A4 D" k- N% m& @( k7 {) W
$ h& p# R) ?3 p2 u! x6 _6 c假设如下方程组：



其精确解是(1,1)。

0 w, ~% P) s7 D/ R- t, i若对左右边都做一些非常非常微小的变化：
2 R$ G* y! L$ `


1 Y, g  y2 k7 V; N( Y其精确解变为：(10,-2)。
4 t+ g3 v( Z% Q
一个非常非常微小的扰动就让方程的解产生巨大的变动，我们称上述方程组是病态方程组，系数矩阵A是病态矩阵。
: ?* m# ~5 D% r8 A% Z
* U( Y7 l5 E$ r* r4 N9 A# `* d. B  q如果我们遇到不是方阵的矩阵，或者不能求逆的方阵，要想求解AX=b，避免奇异值导致MATLAB产生错误的情况，我们可以采用“伪逆”来帮助我们解决这个问题。

广义逆矩阵：

3 P- M1 \7 a; ~1 D对任意一个矩阵A，提出四个条件：


) M- z' d7 I) r: q3 C  X
如果存在矩阵G满足上述的一部分或全部条件，G就可以称为A的广义逆矩阵。最常用的四种广义逆矩阵定义如下：

$ J+ q1 v" F/ h: A3 R3 {

MATLAB中自带的pinv方法，就可以求矩阵的M-P广义逆，即A+矩阵。

大家可以查阅官方文档看具体应用实例。
  X2 B) ]+ z$ E/ K: r! {

  e; h3 k6 s; U' m7 j( q- R1 E/ {! K6 o
$ N7 h$ ^8 f0 E3 ?# [: n; @如果我们求出A+，就可以有另一种思路来解AX=b了：
% V- {* E$ L6 [# D% O# c! D


2 S' v& }& o  ?5 k' E, g5 G这里，通解的表达式还是类似于X=X*+X0的形式，A+b相当于是特解，后面那一项就是带系数的自由解，y可以取任意数，注意维度匹配即可。
* c' A9 l. B# G
所以，大家调用pinv求出M-P广义逆，然后用x=A+b + (I-A+A)y这个式子构造出通解就可以啦！

2 f! S$ Z- |# z# y3 W# z- z
2 v$ U5 v) h9 {+ X3 z


  J! ]  w( a4 L: [

youOK

太实用了

yin123

可解决MATLAB报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误