方程AX=b的解的讨论（特解、通解、零空间向量等概念）及其MATLAB实现

haidaowang

求矩阵形式线代方程组，讨论AX=b的解是最基本的一项内容。

AX=b的解 = 特解 + 矩阵零空间向量
% T7 Q$ B: s" Y  G5 l1 T" d
4 I- w1 b' ~# c& e- ]) i特解：AX=b的自由变量都=0时x的解。
* g9 O+ C8 o9 U; d
& c) m0 n& X+ z  M矩阵零空间向量：AX=0时x的解空间。矩阵零空间向量又牵扯到了零空间的概念，就不赘述了。我们可以简单记为：
) ~( P8 ^/ y& A; `" Z7 n& K
1 S3 s+ Y! |! e+ f) {X = X* +
% [) e$ t' I6 a8 \


零空间向量：

9 l, W  X: a1 P" w8 \

/ i' z* C; p; n关于可解性：
8 x( \: e4 S7 R! z
3 x# J4 H- A3 E7 c

通解、特解：
* D5 a& U  a" |6 `/ L

! |! X  I$ {$ b& ~- M% K* Y
: j; J% y( P  u" u9 J: Z对上述例子，写了个简单的MATLAB程序，用以求AX=b的解。更全面的代码，可以参考文末的参考文献。
# A% ]& }# H) S' X$ _- [
A = [ 1 2 2 2;
    2 4 6 8;
    3 6 8 10];
, f) z* G$ \$ L% z5 E, e. a: Rb = [1;
( P7 y( F/ [0 q     5;
     6];

, ^) y' Z& a' V3 ]format rat;
8 e. T2 O" @% I+ Y0 E5 `$ Ysyms n1 n2;
* T; Z, n1 j2 M+ ]  sX0 = A\b %零空间向量，即AX=0时X的解
5 G# O0 Y7 ^/ E5 f$ YC = null(A,'r');
X = C(:,1)*n1 + C(:,2)*n2 + X0  %X通解
& b1 W- C7 `8 w6 K7 h+ ]
% f3 q' R: p- w8 N& q7 M

  o9 ?  c9 ~7 P8 S
' i: t/ |4 l# M' f5 @
* P% t" j8 P! G' A" K, i

NNNei256

方程AX=b的解的讨论（特解、通解、零空间向量等概念）及其MATLAB实现