MATLAB ------- DFS 和 DTFT 又有什么关系呢？

ulppknot

! j1 z+ X( V3 B' j: \; H上篇讲了DFS和z变换之间的关系：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系

这篇博文接着看DFS 和 DTFT 之间的关系，文章同样是从我的其他博文中抽取处理的，目的就是怕这种显然而重要的知识点被淹没。

为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：
' z6 L& U4 K/ ~
" u- y4 T' d! _* {9 n             （1）

# D$ w) f+ E" p! d- x9 X其中：
" E) Z  [" M) ?8 P


0 j( Z% Q# H& `, {综合公式：

                  （2）

% e; E7 Q; r* ]# C( e0 K
2 d3 e8 f( l0 E' T9 ]为了方便后面讨论，给出z变换公式供使用。
) A! ^% r2 U! f0 N9 k2 m1 E- O9 v) ^& k
' J! c$ D8 j" }( D9 `4 [2 T3 n设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，
0 b: _  \. n- R( I* W. G: @1 B5 O+ @
                   （3）
: U1 A* R4 \  T, R3 ~3 w" j7 n: S
那么，能求它的 z 变换为：
1 [$ x8 o) ]9 b* r$ t                   （4）
$ O! O8 {' f$ v5 L
现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即

! q9 M+ e: X& t              （5）
8 [; ~: f' t" M( v  i
" a$ x& q' L! U# L5 j
接着讨论DFS和DTFT的关系。

. ^2 P& S0 a" g0 I+ n# W+ _我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：

- _( ?8 O8 F! }1 C: G3 t先给出DTFT的公式：
4 e+ O: b: J* c3 \
/ z1 T0 L, k3 a$ a. \' M                    （6）

对比z变换的公式（4），不难看出：

            （7）
0 L- O, ~; }$ n0 d8 N
* c0 [) ^  d  m9 G* I7 K为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。

从（7）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。

0 P1 [" r$ L2 u, ^0 b. g上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ，下面我们正式推导二者间的关系。
' J4 Z7 _, ?8 C" {( z
式（6）为:
- k, h1 C8 X+ [( O* M
; \1 y# D0 H% S5 T

DFS为：

( \9 z' \: p; P
0 @6 o) I8 A& M- a
1 X0 w/ e8 U+ T
4 L0 U% V" O1 l
可以看出，
0 ~8 R$ r7 \* M% Z* }
, D7 B/ |6 k: C; Q( a: ~              （8）
( h' g0 Z" d! w4 b5 Q
令

               （9）                                          
0 G; ?, i, E, w' V
这样，
4 P7 U4 J0 p, h
* E; A* R1 F' K$ R             （10）
& H9 l. T! M/ O' b$ ?9 M3 |
这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。

% L8 {, y* @, C- ]) H+ L3 ?由z变换和DFTF之间关系：
9 ~: b: u) v% p2 i$ Y7 h
3 Q, C" H& D# U4 e3 D; d9 ]

) `3 e% B% F/ z% g* t以及式子（14）：

3 L: _7 ~+ v) b- |( s# Q% e

2 |; V: z% U# I! @; R% N1 _( L6 W可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。

间隔 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。


) |: n% L' y- c
- ?7 S6 ]: q7 I1 M3 w

% @8 ^. C  M& `6 O3 \$ [/ |  |
( S( b: ^; z3 U6 m  O: K

kinidrily

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