Matlab 符号表达式和符号函数的操作

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Matlab 符号表达式和符号函数的操作

' v0 ]$ U. B7 m) e  y* ]6.2 符号表达式和符号函数的操作
6.2.1 符号表达式的操作

: {) i1 |0 w: Q3 F【 * 例 6.2.1 -1 】按不同的方式合并同幂项。
EXPR=sym('(x^2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t))');
' ~" K' q! }  x& jexpr1=collect(EXPR) % 默认合并 x 同幂项系数
! f+ x) b& M+ m  zexpr2=collect(EXPR,'exp(-t)') % 合并 exp(-t) 同幂项系数
5 K0 p0 @# N' i3 V  mexpr1 =
7 S/ U- ^% S0 H! z# ^x^3+2*exp(-t)*x^2+(1+exp(-t)^2)*x+exp(-t)
& ]; x, I  X4 ~8 d; K4 P; fexpr2 =
3 f3 S0 i5 {: V$ t9 Ux*exp(-t)^2+(2*x^2+1)*exp(-t)+(x^2+1)*x

【 * 例 6.2.1 -2 】 factor 指令的使用
, B; s* w9 B2 Q: z! z$ B/ r（1）除 x 外不含其它自由变量的情况
% \# F$ t; K, U* F7 isyms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;factor(f1)
0 p% [+ A" J* S, cans =
(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1)
: Y0 b: M. j: }
7 [- ]0 Z- u, [. n# Q' x（2）含其它自由变量的情况之一
f2=x^2-a^2;factor(f2)
5 S& T5 d, P* `. N
+ w0 A2 a2 m  S9 n& S5 Z5 N8 u3 Xans =
0 S: w; F" l2 D" T+ M6 {$ T: t, h% J(x-a)*(x+a)
' R9 ^5 `" F# g1 B( m( i
（3）对正整数的质数分解
factor(1025)
% H# F$ d3 J. I# wans =
9 U1 M3 C: u; e$ h" n5 5 41
6 S- z, |7 Z% t0 `+ a4 _5 M, e
【 * 例 6.2.1 -3 】对多项式进行嵌套型分解
clear;syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;horner(f1)
, U7 y; @( s/ r% b$ vans =
-6+(5+(5+(-5+x)*x)*x)*x
7 t8 E/ G5 y5 z# _
【 * 例 6.2.1 -4 】写出矩阵各元素的分子、分母多项式
（1）求矩阵各元素的分子、分母多项式
syms x;A=[3/2,(x^2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1);4/x^2,3*x+4];
[n,d]=numden(A)
5 a9 W% w7 e1 T) hpretty(simplify(A)) % 为方便阅读而设。请用 simple 代替 simplify 试试。 <3>
/ [7 C% t4 Q) B! e) Zn =
( G; _- I- {2 {8 L% T5 s[ 3, x^3+5*x^2-3]
[ 4, 3*x+4]
( I/ k# j1 R1 O, dd =
# t( l  }9 k; t' L9 D/ v[ 2, (2*x-1)*(x-1)]
[ x^2, 1]
+ ~' @- ^" b0 N4 S4 o[ 3 2 ]
[ x + 5 x - 3 ]
[3/2 -----------------]
9 w8 M; U: @" a; I! D

9 \9 A/ F0 o) M/ b# O+ o

6 ?2 i# N& i$ ]- p( u[ (2 x - 1) (x - 1)]
. N' s3 O5 O0 M[ ]
2 h7 K+ C: d5 b% T% U; S) m4 T[ 4 ]
[---- 3 x + 4 ]
. K# u( O( [& ?6 v4 m[ 2 ]
3 n' S5 K; Y" w! _) P/ W[ x ]

（2）请读者自己运行以下指令，显示结果应与指令 <3> 相同。
pretty(simplify(n./d)) % 注意这里用的是“数组除”，而不是“矩阵除”
[ 3 2 ]
/ |0 s6 c0 H& E' o7 n% }" o[ x + 5 x - 3 ]
[3/2 -----------------]
6 H, \  P; y* F1 ~, w[ (2 x - 1) (x - 1)]
8 Z  S/ y, U4 f* @7 o# q[ ]
[ 4 ]
, m  _. p' Z! O/ P1 n+ \[---- 3 x + 4 ]
[ 2 ]
/ f, P0 m, L. y' U! o[ x ]
9 w( B: a# D" p* g$ \  z3 V% A& u
8 \6 v6 T; K3 Z  _0 z- L
【 * 例 6.2.1 -5 】简化
（1）运用 simplify 简化（即使多次运用 simplify 也不能得到最简形式。）
syms x;f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3);
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# u3 T1 _$ h' ^( v/ a6 y+ f+ B
sfy1=simplify(f),sfy2=simplify(sfy1)
( `: H* ~' }8 I# L2 |: W' @sfy1 =
((2*x+1)^3/x^3)^(1/3)
( ~3 K0 n0 B5 G6 W2 Asfy2 =
((2*x+1)^3/x^3)^(1/3)
" }- r' P, l' d/ f, H' ?& J
（2）运用 simple 简化
3 K+ W+ N, ], l, ]g1=simple(f),g2=simple(g1)
g1 =
: C/ m, [8 m) |( q1 i& f(2*x+1)/x
g2 =
) a; D2 ]4 J& j2+1/x
# r% C/ }1 c( ^/ h
  ]4 p- K+ M6 w) K
【 * 例 6.2.1 -6 】简化
syms x;ff=cos(x)+sqrt(-sin(x)^2);
: q5 c2 ?% H% O! f& hssfy1=simplify(ff),ssfy2=simplify(ssfy1)
ssfy1 =
cos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)
* s5 y1 V# q0 O$ u' ]ssfy2 =
* g" V$ D# Z' c. Xcos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)
gg1=simple(ff),gg2=simple(gg1)
& K" K; p" p7 Wgg1 =
" X9 G4 g9 D& }8 i& c. ^cos(x)+i*sin(x)
gg2 =
: E. B* Z  i1 w3 y: x2 \, e6 kexp(i*x)


$ P7 @  p! @# T; A6.2.2 符号函数的求反和复合

　　

1 ~0 k, ]  h$ Z

【 * 例 6.2.2 -1 】求 的反函数
syms x;f=x^2;g=finverse(f)
Warning: finverse(x^2) is not unique.
> In E:\MAT53\toolbox\symbolic\@sym\finverse.m at line 43
+ _4 h4 H0 P3 ~5 T+ L1 Rg =
x^(1/2)

fg=simple(compose(g,f)) % 验算 g(f(x)) 是否等于 x
+ O  v) m& Y2 N  Qfg =
x

【 * 例 6.2.2 -2 】求 的复合函数

. N/ y6 X& \% {+ m5 t（1）自变量由机器确定
syms x y u fai t;f=x/(1+u^2);g=cos(y+fai);fg1=compose(f,g)
9 N  ~, s$ Q) q1 e# E& `# L; vfg1 =
cos(y+fai)/(1+u^2)

: _/ X7 b( }) `5 |（2）指定自变量

2 T5 ?& m$ a  u2 ]! n' Y. Gfg2=compose(f,g,u,fai,t)
fg2 =
x/(1+cos(y+t)^2)


, b- \3 B5 p6 q9 s/ v" o1 ]6.2.3 置换及其应用
6.2.3.1 自动执行的子表达式置换指令
; [2 v. p, C8 O8 g# N# x4 [( i
+ c0 }4 \) [- V" _- j【 * 例 6.2.3 .1-1 】演示子表达式的置换表示。
+ `: K3 _, E6 e/ w$ xclear all,syms a b c d W;[V,D]=eig([a b;c d]);
[RVD,W]=subexpr([V;D],W) %<2>
) G4 }" V, X! |3 K/ Q+ b+ CRVD =
[ -(1/2*d-1/2*a-1/2*W)/c, -(1/2*d-1/2*a+1/2*W)/c]
- l4 K& m' F/ X1 F% k[ 1, 1]
* y  R3 @2 A4 @6 m+ U% d3 p[ 1/2*d+1/2*a+1/2*W, 0]
9 R& K% V( v1 Q1 U* Z[ 0, 1/2*d+1/2*a-1/2*W]
% \$ R$ ?$ b4 J8 x7 o# D: ?W =
8 C- I, M8 w# ~) l- {( A5 T: C, [7 k3 X(d^2-2*a*d+a^2+4*b*c)^(1/2)

* T% L% M4 W6 i! d) J; i( f
. S0 S, W. y/ q1 X6.2.3.2 通用置换指令
3 h, ~. L( O6 Q. l6 y) L: J4 L$ E
( A& }9 ]% F: V2 |( ]【 * 例 6.2.3 .2-1 】用简单算例演示 subs 的置换规则。
# C% a. @0 j6 r: B; V( K（1）产生符号函数
syms a x;f=a*sin(x)+5;

（2）符号变量置换
2 K' e, Q7 q  t/ u0 ~0 pf1=subs(f,'sin(x)',sym('y')) %<2> 　　

; ]  x6 y! N, F# V5 \; E* a

0 B9 ]* S- }5 D9 S1 s! K0 _f1 =
a*y+5

（3）符号常数置换
; Q' u! P: H8 X7 N, vf2=subs(f,{a,x},{2,sym(pi/3)}) %<3>
f2 =
. `: X% |0 N  p: `" ~1 f3^(1/2)+5
) Z! `7 c& A5 V- i, c. Q" |& q
（4）双精度数值置换（即所有自由变量被双精度数值取代。取 a=2 ， x=pi/3 ）
f3=subs(f,{a,x},{2,pi/3}) %<4>
f3 =
6.7321
( `1 g3 e; F5 b& v* [0 W& b
& f7 Y' j" r7 J1 N（5）数值数组置换之一（取 a=2 ， x=0:pi/6:pi ）
f4=subs(subs(f,a,2),x,0:pi/6:pi) %<5>
f4 =
5.0000 6.0000 6.7321 7.0000 6.7321 6.0000 5.0000
6 M/ B* O2 x9 x$ `3 a. }$ P
（6）数值数组置换之二（取 a=0:6 ， x=0:pi/6:pi ）
, m' R0 `: Y' a2 `f5=subs(f,{a,x},{0:6,0:pi/6:pi}) %<6>
f5 =
% I4 x& s+ M2 x3 F7 s5.0000 5.5000 6.7321 8.0000 8.4641 7.5000 5.0000
* l* V6 U6 \6 G3 b9 n
( R7 N+ c( a' c  q
6.2.4 符号数值精度控制和任意精度计算
0 [' d, Y/ X# y7 o* d* l6.2.4.2 任意精度的符号数值

% i  z6 l5 Q( o3 t' Z* V/ M【 * 例 6.2.4 .2-1 】指令使用演示。
; m  S$ @4 B9 W4 P& e7 K: Pdigits % 显示省缺符号数值计算相对精度
1 J1 J/ R: T- X' uDigits = 32
p0=sym('(1+sqrt(5))/2'); %p0 为 (1+sqrt(5))/2 准确值
p1=sym((1+sqrt(5))/2) %p1 是 (1+sqrt(5))/2 在数值环境下的近似值
4 Q9 T" _2 e5 ^/ [# Ye01=vpa(abs(p0-p1)) % 在符号环境 32 位省缺精度下，观察 p0, p1 间误差
1 _& e) k2 c. C* m* Z5 l1 Lp1 =
' v9 ?0 j; B  n" I3 {8 P+ o2 \; Z) e7286977268806824*2^(-52)
9 F) T4 {# Y- {  t% ]7 a' N7 _7 \e01 =
+ J( O0 j" L" s5 W0 I.543211520368250e-16
p2=vpa(p0) %p2 是 p0 在 32 位相对精度下的近似
e02=vpa(abs(p0-p2),64) % 在 64 位相对精度下，观察 p0, p2 间的误差
) X0 o3 l& k6 {2 Up2 =
- F7 @' B* E& G# ]! k# j0 a& c% s1.6180339887498948482045868343657
/ g4 z2 H& I3 i  a* @; R( z4 ~. h. [e02 =
.61882279690820194237137864551377e-31
* ?. w% G0 @% X; C! n+ T9 Edigits % 验证 vpa 变精度计算不影响全局的符号数值计算精度
) Y3 i( E% Y% u$ r8 V( `# MDigits = 32

- ^* B. O) k  s8 H0 h- e/ w  P
6.2.5 符号对象与其它数据对象间的转换

【 * 例 6.2.5 -1 】符号、数值间的转换。
phi=sym((1+sqrt(5))/2) % 把数值对象转换成符号常数
. _0 ^6 G  C$ S2 e1 d$ ]double(phi) % 把符号常数转换为双精度存储的数值
phi =
' u# @* B2 e2 r5 {) H4 ?/ f8 u7286977268806824*2^(-52)
8 }; z0 f" x9 L. Q7 p8 f& Kans =
1.6180

- e, p" }$ g3 u/ N: D! ~. b【 * 例 6.2.5 -2 】各种多项式表示形式之间的转换
syms x;f=x^3+2*x^2-3*x+5; % 生成符号多项式
9 j) `4 H. ]3 qsy2p=sym2poly(f) % 由符号多项式产生数值系数行向量
p2st=poly2str(sy2p,'x') % 把系数行向量变成易读表示式
5 ?: g+ k. j; S8 Ap2sy=poly2sym(sy2p) % 把数值系数行向量再转换为符号多项式
pretty(f,'x') % 显示符号多项式的易读表示形式
8 q* e% f' [7 q8 \sy2p =
2 r$ P" [* d* H$ w: h% }1 2 -3 5
p2st =
x^3 + 2 x^2 - 3 x + 5
p2sy =
x^3+2*x^2-3*x+5
$ M+ T& O8 Q  W7 ^2 Y) X/ y3 2
x + 2 x - 3 x + 5

( v0 p; I1 @5 i& D  L3 S  f' k

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