MATLAB符号计算

cat12620

/ H' W! C( q" e9 g
: X& k4 T0 I/ g& _符号计算则是可以对未赋值的符号对象(可以是常数、变量、表达式)进行运算和处理。MATLAB具有符号数学工具箱(Symbolic Math Toolbox)，将符号运算结合到MATLAB的数值运算环境。符号数学工具箱是建立在Maple软件基础上的。
6 j, D( Y/ K' G8 i# u! T3.1 符号表达式的建立
Symbolic Math Toolbox2.1版规定在进行符号计算时，首先要定义基本的符号对象然后才能进行符号运算。
2 g- a7 h/ k8 N* J6 f1 {" g( l3.1.1创建符号常量
符号常量是不含变量的符号表达式，用sym命令来创建符号常量。
1 |  o* r# M! c  F, Y) `) g语法：
       sym(‘常量’)              %创建符号常量
" U) `6 p& s' O; f8 L! `例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
2 G7 a; c* o" e! P>> a=sym('sin(2)')
9 d6 _2 c, J  _2 ^% P0 P6 ?a =
sin(2)
& ^6 G" W2 }8 gsym命令也可以把数值转换成某种格式的符号常量。
语法：
( Y2 y) ^6 d# R, V* x; s       sym(常量,参数)          %把常量按某种格式转换为符号常量
说明：参数可以选择为’d’、’f’、’e’或’r’ 四种格式，也可省略，其作用如表3.1所示。

表3.1 参数设置

参数	作用 * C2 Q2 {7 ]( k0 Y5 v
d	返回最接近的十进制数值(默认位数为32位) 4 [: u9 c* {$ w) _
f & u5 l; L) U1 x/ f2 g+ D  O6 \& s	返回该符号值最接近的浮点表示
r ( v7 [8 q8 q% q	返回该符号值最接近的有理数型(为系统默认方式)，可表示为p/q、p*q、10^q、pi/q、2^q和sqrt(p)形式之一
e	返回最接近的带有机器浮点误差的有理值

例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
& e6 o. g" r. k0 ^% @ a=sym('sin(2)')
7 g7 v8 I4 j7 T
a =
sin(2)  
1 R; Z! y7 m* c! ]& C

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. H1 v) n, P% x; P: f eig(A)                 %计算特征值

ans =
' y6 M9 B5 \2 G[ 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]
[ 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]  
$ T6 Y2 V) Z9 N7 I) a! W2 V; z
【例3.5】符号表达式f=2x2+3x+4与g=5x+6的代数运算。
6 f; l, m" Q5 R' e# m( K3 Y f=sym('2*x^2+3*x+4')
+ T0 q5 i2 v+ g
! w/ @1 J( B7 t1 h4 S% Y  P& `f =
2*x^2+3*x+4  
g=sym('5*x+6')

g =
9 W2 I! q3 Q8 c' H- j% V5*x+6  
3 @) y9 x. Y7 r8 f; z' k f+g                %符号表达式相加

, f2 B7 M- P9 t% W2 z" O7 }ans =
2*x^2+8*x+10  
f*g                %符号表达式相乘
# K( E: d# ~$ M8 |( E/ u
: L: d. _* Y' r$ q/ w: }; K* Kans =
(2*x^2+3*x+4)*(5*x+6)  
3.2.2符号数值任意精度控制和运算
' U% }9 x9 z# H, J1. Symbolic Math Toolbox中的算术运算方式
在Symbolic Math Toolbox中有三种不同的算术运算：
§      数值型：MATLAB的浮点运算。
§      有理数型：Maple的精确符号运算。
( ?. h8 ^2 S& }, r) M§      VPA型：Maple的任意精度运算。
0 B" K! ^" U3 T* V2 L8 i2 |, J
2. 任意精度控制
任意精度的VPA型运算可以使用digits和vpa命令来实现。
0 P+ Z& f3 n2 c+ P$ S! h$ ?语法：
       digits(n)                    %设定默认的精度
说明：n为所期望的有效位数。digits函数可以改变默认的有效位数来改变精度，随后的每个进行Maple函数的计算都以新精度为准。当有效位数增加时，计算时间和占用的内存也增加。命令“digits”用来显示默认的有效位数，默认为32位。
语法：
       S=vpa(s,n)                %将s表示为n位有效位数的符号对象
说明：s可以是数值对象或符号对象，但计算的结果S一定是符号对象；当参数n省略时则以给定的digits指定精度。vpa命令只对指定的符号对象s按新精度进行计算，并以同样的精度显示计算结果，但并不改变全局的digits参数。
0 b. s; c) J& O2 }' r% f& R【例3.6】对表达式file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1.468/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gif进行任意精度控制的比较。
6 j3 j% C4 n% I& C a=sym('2*sqrt(5)+pi')
7 j2 s) J% I0 K  ]# _2 c2 p
) ]' N( E1 C4 i+ g3 p. ^/ ^a =
( w# E3 a( m0 X, J! O$ r+ S6 H2*sqrt(5)+pi  
) [* E: [. R, L- O2 ?, n& x8 e  { digits      %显示默认的有效位数

/ G5 X. i) W1 a( o
Digits = 32
   
vpa(a)      %用默认的位数计算并显示
. x; q% r/ `: ~1 t: Q) m
ans =
7.6137286085893726312809907207421  
vpa(a,20)       %按指定的精度计算并显示

ans =
3 l) @: G: J0 g4 E: ?7.6137286085893726313  
digits(15)      %改变默认的有效位数
/ E6 M& F; v' i" r vpa(a)      %按digits指定的精度计算并显示

7 Y  U  u/ Z7 h- G3 mans =
! o" G) t; Z4 F) j$ b6 j" k7.61372860858937  
( X- k8 d" r  y
6 N1 n% d) w; F8 ]4 f3 B2 z3. Symbolic Math Toolbox中的三种运算方式的比较
2 v8 }# O/ b# \, t+ |【例3.6续】用三种运算方式表达式比较2/3的结果。
% s  D- U# \( O9 ?* b' [4 O# z2 P1 d4 Ca1 =2/3      %数值型
% O# Q" Y$ M7 P8 E
% ]5 g- }- ^0 G. Ta1 =
    0.6667  
a2 = sym(2/3)    %有理数型

a2 =
; _- Z6 W  |4 f  n2/3  
a3 =vpa('2/3',32) %VPA型
+ s& P" w3 `7 c  _
& q" M, M: D" Qa3 =
.66666666666666666666666666666667  
程序分析：
- T% {# K/ T! \§      三种运算方式中数值型运算的速度最快。
§      有理数型符号运算的计算时间和占用内存是最大的，产生的结果是非常准确的。
; S( |, N* \, F; R/ F6 H8 J§      VPA型的任意精度符号运算比较灵活，可以设置任意有效精度，当保留的有效位数增加时，每次运算的时间和使用的内存也会增加。
§      数值型变量a1结果显示的有效位数并不是存储的有效位数，在第一章中介绍显示的有效位数由“format”命令控制。如下面修改“format”命令就改变了显示的有效位数：
' J  }" `) i( ?) N format long
" L" ~7 ~% n# b* S; ~0 n a1

a1 =
* L: V, w1 V  G; ^6 K; O2 w   0.66666666666667  
' }7 n/ ]- h  w# Q4 Y3.2.3符号对象与数值对象的转换
4 M6 E2 n2 V3 h3 d, a1. 将数值对象转换为符号对象
sym命令可以把数值型对象转换成有理数型符号对象，vpa命令可以将数值型对象转换为任意精度的VPA型符号对象。
3 y: d" s( u9 M9 e+ {. I
2. 将符号对象转换为数值对象
使用double、 numeric函数可以将有理数型和VPA型符号对象转换成数值对象。
4 X/ g7 j/ M4 o5 [9 h语法：
       N=double(S)              %将符号变量S转换为数值变量N
# I, c1 i/ p; q4 O0 e" p       N=numeric(S)           %将符号变量S转换为数值变量N
【例3.7】将符号变量file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1.468/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif与数值变量进行转换。
; ?7 r6 M; ^/ t6 M clear
1 s$ O0 C" t3 g* Z/ z5 ]a1=sym('2*sqrt(5)+pi')
0 z5 V" `" B& V$ l' L
+ ]: a0 v& T. O( z2 ga1 =
6 @8 U+ U5 W: H3 S( }& v2*sqrt(5)+pi  

b1=double(a1)             %转换为数值变量
5 S9 ~( L% A5 o" [# B; @
b1 =
    7.6137  
7 V# ?: s2 `4 F/ s# @
1 r- z5 M% N3 `8 q a2=vpa(sym('2*sqrt(5)+pi'),32)
) `' p8 [+ r# j, g8 O
a2 =
7.6137286085893726312809907207421  

b2=numeric(a2)         %转换为数值变量
( ?1 G& c) e: \6 o% w' g- i: R
2 L8 Q5 T) I7 T; T- a, C) q  Sb2 =
    7.6137  
【例3.7续】由符号变量得出数值结果。
+ u; Z% U/ ^4 ~1 k, @: U7 { b3=eval(a1)

b3 =
    7.6137  
用“whos”命令查看变量的类型，可以看到b1、b2、b3都转换为双精度型：
( H% r! E+ d+ a1 k whos

      Size                   Bytes Class

# r8 I; o, U; ^+ q        1x1                      148 sym object
9 Y4 f5 L% r( q8 v: Z        1x1                      190 sym object
* Y' D2 `  g1 ?* Q" u% `        1x1                        8 double array
0 u3 i9 H' [9 O1 }/ [' E        1x1                        8 double array
6 r3 I) \+ u' _9 W        1x1                        8 double array
' q; N7 S$ B. p& Q  p9 ?
Grand total is 50 elements using 362 bytes  
3.3符号表达式的操作和转换
2 [$ i" g) k& f0 B) E3.3.1符号表达式中自由变量的确定
6 F( ^' @0 v/ L9 g$ U, g+ ?( [1. 自由变量的确定原则
，MATLAB将基于以下原则选择一个自由变量：
§      小写字母i和j不能作为自由变量。
§      符号表达式中如果有多个字符变量，则按照以下顺序选择自由变量：首先选择x作为自由变量；如果没有x，则选择在字母顺序中最接近x的字符变量；如果与x相同距离，则在x后面的优先。
( ^3 s4 G) t% e$ x# r( w$ X; d§      大写字母比所有的小写字母都靠后。
! O1 Y  E( I% T" d2 Q" T
" h: t+ w( s+ r2. findsym函数
如果不确定符号表达式中的自由符号变量，可以用findsym函数来自动确定。
语法：
. u8 S5 G" C+ ^0 a/ c- _% X9 D$ F- v       findsym(EXPR,n)        %确定自由符号变量
说明：EXPR可以是符号表达式或符号矩阵；n为按顺序得出符号变量的个数，当n省略时，则不按顺序得出EXPR中所有的符号变量。
( J9 k! _2 |8 {6 d. g4 T【例3.8】得出符号表达式中的符号变量。
f=sym('a*x^2+b*x+c')
! l# w1 i0 f4 \* Q) x$ h' i) W
" P/ a' U9 b% B- `4 t; Hf =
4 q8 T5 {6 ~9 S3 H* V$ ja*x^2+b*x+c  
  j  [$ R# Z- [" ?2 \* H findsym(f)         %得出所有的符号变量
- |: _' m: q6 H5 @5 H8 y4 u( [2 O
ans =
a, b, c, x  
$ B# m5 G3 U* `* D3 }  K3 m g=sym('sin(z)+cos(v)') [/hide]
1 ~2 ~( U6 @: U4 I1 ^+ p
% u" v) h) g' {9 _: j4 e

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