Matlab求解线性方程组、非线性方程组

abcde1234

求解线性方程组
solve，linsolve
, A/ F7 c2 {/ o" I" E+ b0 R3 s1 |  F例：
4 f3 m  c8 [3 v$ U* x' YA=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];
%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格
$ f5 o( G  r! Q" n! P9 j, vB=[3;1;1;0]
X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量
X=linsolve(A,B)
- L# T0 I( R1 `diff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。
% v+ E1 Y, L+ _' A' n4 x- X" @6 ~8 o
例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式
- l( `- F5 L" D, _- vdiff(F); %matlab区分大小写
/ F; [2 O& f7 u* Ypretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式

8 E% t  |3 j) a; D+ \
非线性方程求解
fsolve(fun,x0,options)
其中fun为待解方程或方程组的文件名；
x0位求解方程的初始向量或矩阵；
option为设置命令参数
- t4 l: }) J8 O9 T建立文件fun.m：
function y=fun(x)
y=[x(1)-0.5*sin(x(1))-0.3*cos(x(2)), ...
x(2) - 0.5*cos(x(1))+0.3*sin(x(2))];
7 k. V% m: ?9 I5 _0 q5 x' R+ o9 N
>>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))
$ X% o7 T/ V% {5 c# M: U注：
" ~$ Y4 d5 `/ W5 h...为续行符
5 B  I  N8 g! _0 am文件必须以function为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。
0 D% Q; G0 A, ~7 b2 W* x: n

' y2 s! V4 g5 X) D4 P% j2 R' ]Matlab求解线性方程组
- ]9 w" `. {, y. x6 ~/ RAX=B或XA=B
+ E2 C" p3 R2 {' R. K4 i: T在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如：
X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；
X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。
" \2 ^  k; G! Z# f对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。
, }) u1 C* T0 p, P9 D4 n
如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：
m＝n 恰定方程，求解精确解；
% [( _9 T4 ~" b- L4 R: _m>n 超定方程，寻求最小二乘解；
* s' S! s) @& x* cm<n 不定方程，寻求基本解，其中至多有m个非零元素。
8 c- _6 \* x: V+ Z1 q' q针对不同的情况，MATLAB将采用不同的算法来求解。


( t/ o  ]  q  }7 d* v$ o8 C/ d一．恰定方程组
5 f- g. @. i9 e' o" w( l恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：
2 W2 e& g# A8 ^! P7 c3 NAx=b 其中A是方阵，b是一个列向量；
! E9 ?- [$ `3 i  U9 j  G, p3 @在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：
4 c: y* w" M* L: j) x7 E9 }$ g（1）利用cramer公式来求解法；
（2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；
9 S* ?0 Y) J$ B( V4 l（3）利用gaussian消去法；
# V5 G* K5 u/ k( s) l（4）利用lu法求解。
+ d% g& U0 Q0 V1 l( m4 f一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在lu分解的基础上进行。
# D# H) _1 H) E在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\b。
. ~, [0 B# F2 |在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行lu分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。
如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。
注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用A\b的解法。因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。
; l8 n! ~5 ]9 O
3 Y3 }4 k2 l' D$ \; u0 `& v, M二．超定方程组
1 |1 I9 @6 x- [9 L对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；
【例7】
; i. Z! O, A: l+ E0 t求解超定方程组
A=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13]
8 D1 a) \( D) c0 n! ^* L: AA=
2 -1 3
3 1 -5
9 O* Q' l* v2 L: a* J4 -1 1
7 I7 W" ~. P% r" s1 U4 [$ ?1 3 -13
b＝[3 0 3 -6]’;
$ d1 [/ [6 T! O$ \rank(A)
9 Q* a3 D) w% f8 L9 wans=
; A( d7 w& P, C! w3
x1=A\b
" a: h6 y7 C- Dx1=
1.0000
2.0000
1.0000
9 J! z+ Z- Q9 X6 Y  ~x2=pinv(A)*b
x2=
$ ?' b2 Z+ J8 z& \% {$ `. V1.0000
+ d5 @. Z+ `4 k5 X3 Q2.0000
1.0000
A*x1-b
ans=
1.0e-014
-0.0888
2 w3 B0 l, ?# E* W6 P-0.0888
-0.1332
0
可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。
$ k0 U' b& N' j
& l* \, D, ]! l- y  X! @三．欠定方程组
: y0 p2 Y5 G( G. ^欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。
【例8】
8 a* [: F8 G* t* J3 U解欠定方程组
A＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5]
A=
1 -2 1 1
1 -2 1 -1
4 ]% ^1 v4 C9 q( X; `! c" E1 -2 1 -1
$ r7 m% ~& T9 \( h5 j+ K1 -2 1 5
: d2 K% P$ @: @% Q. a( J& _9 Ab=[1 -1 5]’
0 W2 O8 Z+ ^6 }) S9 T* Jx1=A\b
Warning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015
x1=
0
) @( Y& ~: V0 K) {-0.0000
$ [" g/ B6 C; S# M( V0
1.0000
x2=pinv(A)*b
* F5 E2 V7 r" I2 F3 ^( |x2=
6 [) Q% D' x' P$ `0
-0.0000
0.0000
1.0000
" x6 A; [4 Y% J5 C8 F( t$ Q; M
四．方程组的非负最小二乘解
4 g2 L6 M7 R) H- z在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：
# x) u% }# ]! H* z6 M3 C( \（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x 的条件下；
' m# c- n- X7 u' o（2）X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩阵的－1范数越大，求解的误差越大；
  M  I+ e. ]5 M（3）[X,W]=nnls(A,b) 当x(i)=0时，w(i)<0；当下x(i)>0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。
/ d3 |& \1 H3 e: {+ r$ i6 ?【例9】求方程组的非负最小二乘解
A=[3.4336 -0.5238 0.6710
+ B2 X  ~& s3 m1 x, U$ l- _: s-0.5238 3.2833 -0.7302
: b- v, k- n! i) J0.6710 -0.7302 4.0261];
b=[-1.000 1.5000 2.5000];
[X,W]=nnls(A,b)
8 j5 }' Q+ B6 z. X9 ?X=
0 h4 ~* F2 a+ \# o  Q0
0.6563
0.6998
9 j/ r9 X8 e$ K1 cW=
' F  e) h' U3 ~% T/ ^9 {! C-3.6820
$ }8 }/ q- r6 K! h5 i0 Y-0.0000
/ I; b) k% Y3 S* t1 @/ p% g-0.0000
x1=A\b
$ e$ n: K0 H4 I/ b( @x1=
-0.3569
1 \( @8 p* |" i1 }( O0.5744
. O$ S" {4 [# p" x0 ^' a7 {0.7846
A*X-b
: P) l) t5 K4 A4 g, C4 fans=
$ ~' C5 Q- j7 V1.1258
0.1437
' |% z) k- C0 l4 J- u  h, P-0.1616
A*x1-b
5 h! |8 T* H2 ~. `: F$ u1 k8 qans=
1.0e-0.15
-0.2220
+ Q+ x+ p: P8 H6 T$ H0.4441
( C2 E. s  ^5 D5 L, W0

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