matlab矩阵的应用

piday123

! r- r$ Y' C+ k* Y! {- t1、向量组的秩：rank（A）
' p! T& U0 x. v( X
$ o- G0 ?2 ^/ O' A4 t- ~2、判断线性相关性

一般步骤（1）输入向量组

                  （2）用A’将行向量转置为列向量

··                 （3）用rref（A）命令求秩

& U7 @5 s9 U5 K3 N5 O7 W例：判断向量组a1=(1 2 0 1), a2=(1 3 0 -1), a3=(-1 -1 1 0)是否线性相关,并求秩。
7 d1 Z  g3 @4 j# W- t
  r1 O! a' m" V  C! y2 M" o>> A=[1 2 0 1;1 3 0-1;-1 -1 1 0]; %输入矩阵

3 E9 Q& T2 B: a3 K. b# L2 p. v" ]>>A=A’   % 将行向量转置为列向量再求秩
( N  o; x, E4 ~7 j  z5 `+ n$ p3 ^! K1 Q
>>rank(A)   %求秩
, k5 ]+ {- C! ?  T2 U- t! Q
- t4 v. F3 c+ e8 o$ g6 tAns = 3
/ l: E6 m" O. F  R+ B7 }+ u, {
（注意：当rank（A）等于向量组个数时，线性无关，否则线性相关）

     3、求向量组的极大无关组
0 s$ C0 V% C9 [, s8 o" f% J! D3 b
: ?: J: T" S. V! o  R     一般步骤：（1）输入向量组，并将其进行转置

' [" m. M  w# z( y( G% K                    （2）化为分数形式
. F$ \0 O: E5 C
7 P0 g5 m/ f  n/ y+ R$ ^! `! d                    （3）将向量化为行最简型
) T, l0 L, Y9 w, C$ R8 [7 d
7 w9 L4 p" }: N- M* [' ~% O                   （4）对线性相关性进行判断
5 s7 x7 r. H4 \1 s- u
     注：将矩阵化为行最简型的命令为：rref（A）或者rrefmovie（A）

  例1：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

0 b- U' P; M) S9 S. l4 Ia1=(2 -1 3 5)，a2=(4 -3 1 3)，a3=(3 -2 3 4)，
: ^; U  V5 }% F6 G& r- a. y
; k+ x) _: r0 Va4=(4 -1 15 17)，a5=(7 -6 -7 0)
: g) F  B1 v; l% V; S
>> A=[2 -1 3 5;4 -3 1 3;3 -2 3 4;4 -1 15 17;7 -6 -7 0];
5 b3 x3 m& b0 m; ?" ^# I9 K
>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算

: A4 T% m+ C0 T- Z* R/ x" ]" j>> format rat   %分数格式形式
& X) l( g( R, \! ?% u' g8 k$ ^
>> rref(A)  %将A变换为行最简型
6 h- F! [" `! W) R
ans =
6 G) E; R& A7 L- J
' B, v0 k4 E9 y- @  n        1      0    0     2     1

        0      1    0    -3     5
0 U* W, l5 Z/ D; X' j. A
2 T: {" H" P, t9 W& N" f# D        0      0    1     4    -5

        0      0    0     0     0
. ^( y& d# l! e: `) r6 [8 T
因为前三行的向量均不全为0，且第1，2，3列的均为1开头，所以a1，a2，a3为一个极大无关组。

7 t% X, o# V" C

5 s, Z$ Z9 p" @; B例2：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
; U; Z' C5 [' ya1=(1,-2,2,3)，a2=(-2,4,-1,3)，a3=(-1,2,0,3)，a4=(0,6,2,3)，a5=(2,-6,3,4)

解：
/ m: I4 G& s( _( r3 U+ L
A=[1,-2,2,3;-2,4,-1,3;-1,2,0,3;0,6,2,3;2,-6,3,4]
+ q) M  P: Z% Y: j& N& W" y
# N( u' G* N3 R$ U* X>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算
9 ]! ^  n. ]  a8 x7 w/ A# L
>> format rat   %分数格式形式

8 A/ K" p; {! G' `' ^>> rref(A)  %将A变换为行最简型



A1,a2,a4为一个线性无关组，a3，a5可用其其线性表示
! J0 H5 P! C: I) f
$ [6 R, a( O! u% Q/ q3、线性方程组的求解
: q4 z" }5 K1 \5 @2 B! R# S
         （1）使用克莱姆法则求解
+ n/ a" }# X. |$ ^. }

" q4 V0 t4 H/ V9 \

5 x. U# ?0 w& H4 n>> A=[2 1-5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];  %输入系数矩阵

" `! H7 h6 `9 _/ Y>>D=det(A)  %判断解的情况
3 r7 B4 ~9 @2 x: ?4 G
D =  27     
1 _- n$ J% U6 U- `2 i3 |8 v
>> C1=A;C2=A;C3=A;C4=A;b=[8;9;-5;0];
& `. `. [  k5 U
%将A赋值给不同变量

>> C1(:,1)=b;D1=det(C1); %将某行替换为系数列
1 l4 i' p8 R& X( o7 W
; C4 N* U/ E# w5 p4 V7 \- H( \x1=D1/D    %x求解x1

0 z3 o+ Z9 \1 ^" p8 s+ Jx1 = 3
, s6 P( s/ V/ b
>> C2(:,2)=b;D2=det(C2);x2=D2/D

>> C3(:,3)=b;D3=det(C3);x3=D3/D        
9 d( a6 R# n% N' @/ W$ v
>> C4(:,4)=b;D4=det(C4);x4=D4/D
( U; \+ O1 b6 X2 A0 q3 e+ j1 Q; C
* Q$ l: c8 ~# F  [2 j8 U( [（2）使用矩阵左除法求线性方程的解

* M3 X4 e3 v% |  g3 ]线性方程组AX=B的一个解为X=A\B。
& W3 \) d$ f3 z$ i3 l1 w
# a% x9 J7 S" P7 r3 N例：利用左除法求解上题中线性方程组的解.

7 Y" J: X- ]( [. ]0 i1 a! p>> A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];

>>rank(A)

) j3 P* s( {6 q/ J9 ]/ `: m- I% u  u>> b=[8;9;-5;0];
& l/ U, U. w% D* J7 ?) `
>> x=A\b        %左除法
* ?& S5 }* _% t4 k
x =

( y8 `! L7 h# }7 j  }' g9 Y" B    3.0000

/ p" f- I# N: R2 O5 i$ D   -4.0000

   -1.0000
( B8 ]6 ~6 P. t6 L+ h
    1.0000

(3)利用矩阵的行（列）初等变换求线性方程组的通解

7 m& u/ d6 ~( M% ~, x+ |5 j  基本步骤：（1）将线性方程组表示成增广矩阵的形式；
& D" D/ E$ B! O- y( J% `
（2）对增广矩阵实行初等变换，使增广矩阵转化为行阶梯形矩阵；

% |" S/ n6 u: R" y& v! Q, ?0 @) I: y（3）得到方程组的解。

例：求解线性方程组

- o  u4 f7 G6 H0 R. Q2 c9 P
: v, w3 O: c( e" q
# B! r8 z! Y% o
$ }8 T1 @0 K5 W: R! A>>A=[1,1,1,1;0,1,-1,1;2,3,1,3];     %方程组的增广矩阵

( ]  m. B6 G" p: f! ]>>F=rref(A);    %将方程组增广矩阵化为行阶梯形矩阵
& V- M, ~: X: S/ S! ?$ m8 l# I
>>F  %输出增广矩阵的行阶梯形矩阵
' n6 Z9 n  Z4 c
3 o, L  ?0 V: T/ Z1 rF =
. o$ x& h2 d/ ?# f- I
     1     0    2     0
7 p+ j) v4 c2 F, P6 ~4 o0 T
& x) ?$ C4 |, v4 ]) N( B) j6 E     0     1   -1     1

$ l" [! |4 U; h7 l     0     0    0     0

) b; P( ~/ q/ A2 U* G8 v由该阶梯形矩阵，可得方程组：x1=-2x3    x2=x3+1
( G3 l/ k! K7 c1 _# _& d9 B( |6 k; n
; w! D' D! C/ ?9 h( C0 }

" p( ]' g3 I3 B% w（4）求非齐次线性方程组的通解

非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解。
( E' Y1 n( |0 v
* M( T5 Q' m- u' N2 ^: c. o% I一般步骤为：

2 d4 d0 G" h% a第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步；（R(A)与R(A,b)比较，即比较系数矩阵的秩和增广矩阵的秩）

第二步：求AX=b的一个特解；（矩阵除法）
" r3 m% Y7 T7 D9 r5 a/ D+ @
5 @5 k( B- o' Y8 }+ R) @1 B第三步：求AX=0的通解；（利用null命令）

1 x6 A0 t3 P% V第四步：AX=b的通解：AX=0的通解+AX=b的一个特解。

例：判断方程组

6 d' _4 w4 _; p) |%第一步：判断系数矩阵与增广矩阵的秩
6 y; g1 h3 ~2 ~4 j, W
>> A=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1];    %系数矩阵A

3 E+ Z3 b9 J' Y  Z+ O6 v5 k>> b=[1;1;-1];    %常数b
; |* e6 H& n& }: t; X- G5 w, A1 v8 l
>> rank(A)     %系数矩阵的秩
# l6 x4 S4 Q3 K8 i5 r
9 ]! z. I/ z/ N2 B4 rans =

     2
" O: t# C$ Z# D0 n1 h/ q8 n
>> rank([A,b])    %增广矩阵的秩

) U4 e* z# c' [+ ], O6 C+ {. M$ Zans =

     2

%求通解
. A# T& L' A$ [) _" p; W% v
化行最简形，用rref命令
% d) ^5 E! Z2 U
>> rref([A,b])
7 p( G& v4 A  _
ans =
9 u2 j" C7 R+ @- g; z
; s& i) a1 M4 N* D     1    -1    0     0     0
' m' T* E7 T; r, h
6 H4 f  ~* [( B, D. t  q     0     0    1    -1     1
" e* y5 K8 ^9 G4 q6 v& f
5 @% H- j% Y9 p2 z7 w     0     0    0     0     0

6 y( D  O# W9 I9 {/ Z) o取x2,x4为自由变量,从而通解为：x1=x2,x3=x4+1

9 X" n/ \5 Q" p0 i* |% `（2）先求出特解及导出组的基础解系, 用命令null，例如：
& X) \* [0 n6 K3 ]
>>x0=A\b       %方程组的一个特解

x0 =
# j8 }  U1 s0 A5 ?, f0 t8 Q
     0

" [2 F" @5 F# X7 m- _5 g$ ^     0

     1
) p# q9 S7 o5 I
+ l. B/ ?' L3 N+ e+ ^. \& j     0
# `/ B, o/ ]& ?9 L5 g! j! w
& K( S, U8 w; g2 ?5 d4 g3 V  `>>x1=null(A)    %求导出组的基础解系
) c5 C7 `* W) w4 k/ }" p9 L. R+ A
x1 =
6 s. B! C5 m! R/ E* c
# f! J0 w! u0 ?! g. U  -0.7071               0

   -0.7071               0
, I+ F* ~  B* ]& Q# }7 Q
   -0.0000        0.7071
8 G/ T% E. _8 g& T9 F9 n8 O
  -0.0000       0.7071

5 b0 C+ u; n- O5 ^) X% I故原方程组的通解为

* J2 h& \% {9 g2 g4 i(x1,x2,x3,x4)=(0,0,1,0)+c1(-0.7071,-0.7071,0,0)   +c2(0,0, 0.7071, 0.7071),c1,c2为任意常数.

. F# v, z( [5 A. M9 m( mnull是用来求齐次线性方程组的基础解系的，加上'r'则求出的是一组最小正整数解，如果不加，则求出的是解空间的规范正交基。(x1=null(A,'r'))

yesnyes

xie xie xie

ldezgr

LZ辛苦，学习学习

SsaaM7

非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解

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很清楚   感谢分享