模拟信号采样及离散时间傅里叶变换（DTFT）案例分析

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这篇中使用的模拟信号为上篇：使用 MATLAB 实现模拟信号的近似及其连续傅里叶变换
. h' D; Q. @% ?7 b
! P/ _' t3 I- X% V中使用的模拟信号：

! y/ s/ I$ J& ^: |& Z
9 A7 M) y: Z2 o) k# F+ B" s1 x
为了研究在频域数量上的采样效果，对该信号使用两种不同的采样频率采样。
# M& A7 J, x0 J& w6 E7 m
% h- M% \/ p6 R6 B0 na. 在 fs = 5000 对信号进行采样，求出并画出其离散时间傅里叶变换；
- \3 V8 ~1 N9 `, ~8 b
* U7 t9 P; D3 v5 ]8 K$ B/ }b. 在 fs = 1000 对信号采样，求出并画出其离散时间傅里叶变换。

题解：
4 d% i1 O$ n: k9 s) ~
上篇也分析了，信号的带宽为2kHz，奈奎斯特频率就为 4000 样本/s，它小于第一问给出的采样频率，所以频谱混叠几乎不存在。

我们通过MATLAB验证下：
& ^+ w$ R/ M& t5 S1 R( r/ ?

• clc
• clear
• close all
• % Analog signal
• Dt = 0.00005;
• t = - 0.005：Dt:0.005;
• xa = exp(-1000 * abs(t));
• % Discrete-time signal
• Ts = 0.0002;
• n = -25:25;
• x = exp(-1000*abs(n*Ts));
• %Discrete-time Fourier Transform
• K = 500;
• k = 0:1:K;
• w = pi*k/K;
• X = x*exp(-j*n'*w);
• X = real(X);
• w = [-fliplr(w),w(2:K+1)];
• X = [fliplr(X),X(2:K+1)];
• subplot(2,1,1);
• plot(t*1000,xa);
• xlabel('t in msec');ylabel('x(n)');
• title('Discrete signal');
• hold on
• stem(n*Ts*1000,x);
• gtext('Ts = 0.2msec');
• hold off
• subplot(2,1,2);
• plot(w/pi,X);
• xlabel('Frequency in pi units');ylabel('X(w)');
• title('Discrete - time Fourier Transform');
  

   
9 d0 C8 \( W! U+ p8 b+ B

继续作答第二问，将采样间隔改为0.001s，10ms时间区间内能采样11个点。

4 X& n: i& q7 c2 u" }3 ?4 |

• clc
• clear
• close all
• % Analog signal
• Dt = 0.00005;
• t = - 0.005：Dt:0.005;
• xa = exp(-1000 * abs(t));
• % Discrete-time signal
• Ts = 0.001;
• n = -5:5;
• x = exp(-1000*abs(n*Ts));
• %Discrete-time Fourier Transform
• K = 500;
• k = 0:1:K;
• w = pi*k/K;
• X = x*exp(-j*n'*w);
• X = real(X);
• w = [-fliplr(w),w(2:K+1)];
• X = [fliplr(X),X(2:K+1)];
• subplot(2,1,1);
• plot(t*1000,xa);
• xlabel('t in msec');ylabel('x(n)');
• title('Discrete signal');
• hold on
• stem(n*Ts*1000,x);
• gtext('Ts = 1msec');
• hold off
• subplot(2,1,2);
• plot(w/pi,X);
• xlabel('Frequency in pi units');ylabel('X(w)');
• title('Discrete - time Fourier Transform');
    A/ a; X6 |! q0 S* ^) a  m

   
4 H( p3 _& e% v8 O, J# E
很明显，这个DTFT7已经变了，也就是发生了频谱混叠。
  W3 P* _6 u# q# A( |2 F
. C' D8 J$ e( c

yin123

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