用 MATLAB 实现离散时间傅里叶变换（DTFT）的两个案例分析

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+ ~- w2 q6 i# S$ P7 v/ @1 O: e先给出离散时间傅里叶变换的简单介绍：
; {: h8 B5 b4 g9 }6 `2 w2 I
如果 x(n) 是绝对可加的，即
9 V) X! D) @% }  s/ k# R


8 V3 x: `6 g& i7 D8 t, [4 {那么它的离散时间傅里叶变换给出为：



& ?# ], K. Z9 p) Vw 称为数字频率，单位是每样本 rad（弧度）或 （弧度/样本）（rad/sample）

案例1：
求 的离散时间傅里叶变换 ，并用MATLAB将 在 之间的501个等分点上求值，并画出它的幅度、相位、实部和虚部。

题解：
7 C: o* ~8 ]0 p: C' T
, ~$ ^# W$ z3 p  k( B1 F由于x(n)是无限长的序列，所以不能直接用MATLAB直接从x(n)得到 。然而，我们可以用它对表达式 在 频率点上求值，然后画出它的幅度和相位（实部或虚部）。

' n1 ]! I& O, p- |. A2 ]

! i* k2 x1 N2 K# g- e, }( ?
, z# }0 V- H5 I% |2 Y7 U! ]; Q

% L, H# H2 F8 z7 l脚本：
4 O% g3 `$ U% C  X- h  E
: ~% B5 Y( s& Y9 t9 S

• clc
• clear
• close all
• w = [0:500]*pi/500; %[0,pi] axis divided into 501 points
• X = exp(j*w)./( exp(j*w) - 0.5*ones(1,501) );
• magX = abs(X);
• angX = angle(X);
• realX = real(X);
• imagX = imag(X);
• subplot(2,2,1)
• plot(w/pi,magX);
• grid;
• title('Magnitude Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Magnitude');
• subplot(2,2,2)
• plot(w/pi,angX);
• grid;
• title('Angle Part')
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Radians');
• subplot(2,2,3)
• plot(w/pi,realX);
• grid
• title('Real Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Real');
• subplot(2,2,4);
• plot(w/pi,imagX);
• grid;
• title('Imaginary Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Imaginary');
  

     
3 c# Z7 M# {. T

6 a( b* J: a6 Y
案例2：
求下面有限长序列的离散时间傅里叶变换：
& `, y* H4 x3 q+ C7 F

2 I8 H5 U. v- T# V" l: Q' d6 _
+ @( ?8 ~5 f; P$ a% y! s在[0,pi]之间的501个等分频率上进行数值求值。

- H5 D3 a! u5 K* B题解：
% m7 r$ m, W! [( C4 u/ ]( |
. C) E4 o8 h# o
) y" s5 g: W' `. V* q& B0 p2 Q
我们可以直接对上式进行MATLAB编程，但是这种方法在有限长序列的DTFT中不是太方便，我们可以直接由 x(n) 来求它的DTFT。

我们使用向量化的编程方法，最后得到一个通用的公式。推导如下：
6 ]. B8 l' T6 h- Q
2 r; ]" \4 d% A+ Q8 _
( }& w% D9 M4 z$ m. t. c2 w7 T* e

用MATLAB实现如下：

3 R! p( m/ ~( P( A8 u! ~& W+ D8 \

• k = [0:M];
• n = [n1:n2];
• X = x * (exp(-j * pi/M)).^(n'*k);
  . f% w; ]( C' _! F+ ?

7 \1 ]$ i3 O' T! H) T
2 o' }& }. F+ i$ S! x6 m* j8 M. ]给出MATLAB脚本语言如下：

  U) T. C' h- q+ M8 Q: Q" `

• clc
• clear
• close all
• n = -1:3;
• x = 1:5;
• k = 0:500;
• w = (pi/500)*k;
• X = x * (exp(-j * pi/500)).^(n' * k);
• magX = abs(X);
• angX = angle(X);
• realX = real(X);
• imagX = imag(X);
• subplot(2,2,1);
• plot(w/pi,magX);
• title('Magnitude Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Magnitude');
• subplot(2,2,2);
• plot(w/pi,angX);
• title('Angle Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Radians');
• subplot(2,2,3);
• plot(w/pi,realX);
• title('Real part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Real');
• subplot(2,2,4);
• plot(w/pi,imagX);
• title('Imaginary Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Imaginary');
  ) w9 d" y* z  c3 W' `( q3 e

2 L! k9 b% h( D: H, H) b7 ]      

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