对离散时间傅里叶变换DTFT采样

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1 l# m) M% @3 N) B1 x& R: y5 p上篇（对离散序列的傅里叶分析大总结(一)）的最后讨论了有限长序列与周期序列之间的关系，首先给出了有限长序列以及由其构成的周期序列之间的关系，具体参看，得出的结论是：

6 F/ O9 P1 N& K1 m4 u9 A
/ @" Z7 L* R2 n& d9 Z
今天的主题：
今天的主题讨论了非周期序列与周期序列之间的更一般的关系：
4 K! H3 H* s: S2 W6 ^7 ?
/ q: y# N! l' H& p" X先给出非周期有限长序列以及其DTFT，然后对其傅里叶变换（DTFT）进行等间隔采样，等间隔采样后的序列的逆变换对应的序列是什么样的呢？
! w1 r' v. v' H9 e6 I6 C0 o' a
0 T8 M5 ]9 [+ A, B+ A7 e4 X! Z是不是有限长序列的周期延拓？

' t" r! S8 G/ G1 D+ X看下面的分析：

( T1 h: S; C- X7 W2 B8 @8 _% X* a

6 R7 a+ u$ C; ^$ G, D2 A


9 ~9 I" E* @5 S& j1 u

可见，是一个周期延拓关系，延拓周期为N。
# Z* E; {. y3 j+ A
( y( p% x% g; D有意义的举例讨论：
5 N0 P( u$ E  _# {" q, z6 f7 L下面再给出一个十分有意思的讨论：

情形一：
) X  |% W; }* r8 N* w在下图中，x[n]是长度为9的序列，对其进行傅里叶变换（DTFT）得到 ，对 进行等间隔采样，间隔为 ，取N=12，也就是间隔为 ，得到采样后的序列为 ，该序列对应的时域波形为 下图（b），也就是对x[n]的周期延拓，周期为12。




; L5 G0 R$ @3 F) m2 N4 x情形二：
/ Q9 T  y- a- s' c/ i/ }; z( {同样是这个有限长序列x[n]：


  \! X( `# B* ?6 @2 e0 Q/ C2 }' ?( ~
0 b; q& g7 \! a+ a# W当N=7的时候，对应的 为：
: v* i& g. N+ L7 e# t
$ N: w# f9 h7 F) a& u2 I' j' u

. @' K8 P* p& m; k0 p. e5 S可见，发生了混叠现象。
. J/ m! R, i1 ~9 G4 `& I6 O
下面对其进行解释：

5 `% F0 t' i& [0 G; m5 T情形一的情况， 的一个周期是x[n]，这是没有发生混叠的情况，但对于情形二， 的一个周期就不再等于x[n]了，这是由于时域波形x[n]周期延拓后发生了混叠。

7 L0 k0 e  L# g4 Z% a. V尽管如此，下式依然成立：
: v, j+ @* g- `


也就是说在这两种情况下， 的DFS系数都是x[n]的傅里叶变换在频率 整数倍的等间隔点上的采样值。

& P  ~( B4 w4 H4 O' k" q. t对于情形一，原来的序列x[n]可以从 中抽取一个周期而恢复。

同样，傅里叶变换 也可以从频率上以 等间隔地采样来恢复。
" Y& O; b" J- l" x7 ?
& u. |( U" h  d9 {% F与之相反，对于情形二，x[n]不能用取出 的一个周期的方法来恢复。

类似地，如果采样间隔只有 ， 也不能由它的采样来恢复。
0 y1 P$ Q+ X- M+ U& V4 ~5 M
+ c- w- E( Q! J# R' C) U/ E* E- w实际上，情形一说明的情况是，已经用足够小的间隔（在频率上）对x[n]的傅里叶变换采样，以便能够由这些样本来恢复该变换。而情形二，表示一种对傅里叶变换欠采样的情况。
# C+ N$ u. i$ ]4 g
4 ^$ X9 v8 x; M/ `在欠采样的情况下， 与 的一个周期之间的关系可以认为是时域产生混叠的一种形式。
- D0 T# G4 |" ^  F
显然，只要 为有限长，时域混叠就可以避免，正如信号的傅里叶变换只要是带宽有限的，其频域混叠也可以避免。

- I- g7 V7 h5 z4 F. I6 H$ D8 }, J5 Y& d
/ c; c% S" G% U. l/ @6 b1 e/ a最重要的结论：
# ?/ q0 R) U6 d3 Z/ F从上面的讨论中，我们已经看出：
3 A' X; \( N9 u2 L. h
3 Y/ ?2 z/ T6 R0 A* S; C0 t4 i

重磅内容：

9 o  ?5 F3 v0 u8 z$ c
& p% j; j" V: u& Q9 J! J& {( g
& ~! M. }- T$ P) ]% n9 }$ l( }7 E在推导、讨论和应用DFT时，我们应该始终记住：通过傅里叶变换的采样值来表示，实际上是利用一个周期序列来表示有限长序列，该周期序列的一个周期正是要表示的有限长序列。
3 O$ R% t: |/ m5 d* j/ Y

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