matlab实现数值积分 【二】（integral函数）

uperrua

如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。
1 x! b( r7 D, [# W目录
函数调用格式
应用举例
+ D  s5 `$ Y* C" N3 O例1：求解数值解并检验其精度
例2：分段函数积分
; N4 c* A5 T! s! z5 T: X# K. y. \例3：与梯形法比较
例4：大范围积分
* |- h5 j% c* \- }+ m$ ?例5：广义积分的数值计算
例6：含参函数数值积分
' U3 y# }0 `- ~" w+ Y

* ?+ A* `% ^: v/ T9 b% H函数调用格式

- N8 |2 ]" F) M8 C# f2 j+ \: `


7 g; X& O  K# k& ]! P% O应用举例
例1：求解数值解并检验其精度
计算积分


/ j  _: L8 i$ {

• f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数
• y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解
  

结果为  y=0.96610514647531
* r4 D- s- z- Y! x, @
求解解析解：
) T8 R9 U$ d1 q4 Jsyms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
结果为：y0=0.96610514647531

结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。
( r, k1 i: G1 W7 _3 Q6 l

) F& M0 X6 q* a9 Z例2：分段函数积分
( X2 d0 W: r1 G7 ~8 S8 W
' z# v$ w: H& {) r$ j, l给定如下分段函数：
( O) ]0 Z- N8 ]( w7 F+ p; Z
计算积分值 。
& u" N( v7 _) i: _4 B

• 绘制 f ( x )填充图
  

• x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
• y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图
  

' c4 @0 U% v: R+ P- ?5 q

• 求解与验证
  : x( w% i  x* M8 e0 Y

& S1 ?7 b2 m) n9 ]; m
! q" |; b! @! S3 g& A* X5 K

• f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• I1 = integral(f,0,4)   %//数值解
• I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20)   %//提高精度
• syms x
• f = piecewise( x<=2, exp(x^2),  x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
• I0 = vpa(int(f,x,0,4))   %//解析解
  , o% b' d$ z% N7 t. g, x

- }# v9 m) i- C# j; z4 C, J
结果为：

5 G) }) o- g4 C
/ o( |% Z6 k6 P9 ^: M( m9 D3 O% r
! @6 g2 z8 J2 p: M; }2 F0 q6 y
) G. t/ E* u! ?" X3 c例3：与梯形法比较

重新计算积分

9 a% B. |# z/ x7 K" ]) K9 v' q
0 P" [4 `; X; |0 s/ ?# b

• 梯形法求解链接
• 数值求解：
  

• f = @(x) cos(15*x);
• S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)
  

结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。
$ C3 J6 `' b* h' H( a* M/ s

+ d- @: _2 B/ A3 K- u例4：大范围积分

计算积分
$ h5 o- P4 H- j" C
- }' K3 k. G# e: m! t4 _! V
7 Q( [; ]% h# s! h* }* z

• f = @(x)cos(15*x);
• I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解
  

0 A) u( O& K" T6 M3 U% e
解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
6 z# ]3 r5 M4 u$ J  q% i' s9 G1 e数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066


& T3 P' ]$ M' `$ `4 Q; p3 c" S例5：广义积分的数值计算
计算
+ H7 L4 _0 q0 r+ x
/ K- ~0 C" A8 @+ `" z" p, P
! v$ u5 C3 T9 c7 H6 x; N2 ~

• f = @(x) exp(-x.^2);
• I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解
  

' O, ^3 P+ V, n3 |1 C' E( @
" ]5 i  T! |8 s7 B' W解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057
& T2 H$ V. H! t0 i$ A9 b2 o/ k9 w数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957

2 V* Q6 @; p2 p. \
例6：含参函数数值积分

  {3 `2 z+ G1 M绘制积分函数 曲线

• a = 0:0.1:4;
• f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
• I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
• plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')
  

% _9 v! Z7 a9 E9 Q4 E
- A! B! c3 r. P! m3 ]) Y0 q
" G7 v# J2 n' W; x

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matlab实现数值积分 【二】（integral函数）