matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）

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" A% U1 X1 @* B目录
3 U: n1 l& F" y4 s) W1 U总述
( @) L, t6 J) j函数调用格式
( K, e$ g5 [" W  H应用举例
2 Y; b: O2 J) z: h例1：梯形法求积分
  e% n  R  X0 m% T9 l* n, ~2 }! z例2：不同步长对积分结果的影响


总述

  数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知，则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法，即已知数据点求积分。

函数调用格式
2 q. h$ L, b: u  g0 G. v

• S = trapz(x, y);
  

7 V1 p3 z+ M; ~
1 v0 F' {0 R. r应用举例例1：梯形法求积分

/ F1 q: B6 E1 d5 k/ \4 v" ]" ~8 d5 ]

• x = [0:pi/30:pi]';
• y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
• S = trapz(x,y)
  8 U0 L9 K( A4 a/ J

& M  u/ H. q( V  j
1 t) @# Z. ~8 ~, J: B6 H

结果为：S = [1.9982 0.0000 1.9995]

由于选择的步距较大，为h＝π／30=0.1, 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充）

例2：不同步长对积分结果的影响

题目： 用定步长法求解积分

，并讨论不同步长对积分值的影响。

• 首先，绘制被积函数的图像：
  9 n7 k1 Q: X6 v1 `5 [

• x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
• y=cos(15*x); plot(x,y)
  

! g$ E$ T* C' T$ I
由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。
% h3 ~* U6 ~. @, {6 h4 r4 O; Z/ m+ C
6 J7 s( X+ `, I) T# U7 l

• 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
  

• syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
• h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
• for h=h0
•         x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];  y=cos(15*x);
•         I = trapz(x,y);
•         v = [v; h,I,A-I];
• end
  

得出结果如下：

, l" Y, ^0 ?# D% ^" x

0 {" [! s, y) o) e可见，随着步距 h h h的减小，计算精度逐渐增加。
1 r8 U$ z: D9 P5 t. `6 k' t6 {



5 @5 C3 f7 i+ P! ]* y9 v* }
$ l" t1 O4 a" d
* w0 I, H; _3 |3 C: z- o7 Q
! b; g+ h2 J  R3 @% s' ?

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matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）