matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）

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目录
总述
函数调用格式
应用举例
例1：梯形法求积分
4 O' Y( K3 ~" r5 O+ K3 d例2：不同步长对积分结果的影响

+ P) V! f3 N+ k总述
0 `) Y, _% k6 N
- k; F. M3 ~% G8 O  数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知，则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法，即已知数据点求积分。

3 S" n. [+ t, m! j% }; b
8 F  T8 F9 q6 Y( G
& i- R9 T! }7 X( q
  A* N; s2 Y# W2 l( j0 G6 N函数调用格式
' o5 f' Y; V; X, |9 f( O

• S = trapz(x, y);
  ' V2 W. G# Z* F+ h, H. x7 w

应用举例
8 B  }% {) |5 k, n
! x2 C+ j0 [. U" w' W7 h例1：梯形法求积分


9 t- U  x9 _) N& T8 w9 Y; n

• x = [0:pi/30:pi]';
• y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
• S = trapz(x,y)
    R# P- J4 b. U

: N: b% g, M2 V0 u8 |
结果为：S = [1.9982 0.0000 1.9995]

9 I: I3 Q1 L  U* L) n/ ^6 Z0 S由于选择的步距较大，为 , 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充）
4 j: a1 \$ ?( x2 |1 a9 S
例2：不同步长对积分结果的影响
% ^6 v) z/ ^- x) B( h1 [, H题目： 用定步长法求解积分 ，并讨论不同步长对积分值的影响。
- i% S% V5 }1 p1 l
, m  d$ ]- R  \

• 首先，绘制被积函数的图像：
  ! z$ b, K6 C; N/ _- i: s

- y- L7 a% f& y2 B. x
' C: f& `# o: \4 k* U

• x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
• y=cos(15*x); plot(x,y)
  

" K4 ?1 i8 o3 G


4 i' l& p5 y7 l由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。

$ G) ^! y8 h: ]$ D0 w" `

• 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
  ; q1 \  i: u8 `% h" A7 D7 m5 @

• syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
• h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
• for h=h0
•         x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];  y=cos(15*x);
•         I = trapz(x,y);
•         v = [v; h,I,A-I];
• end
  2 u" E6 M, f8 D

% m7 e! r3 ~1 n7 V! g
# e2 f0 s7 u8 H- o, d+ D8 u* ~2 v( V得出结果如下：
4 b1 L4 I" `; X
* F0 {+ [" S6 p# b) A6 `
3 @' u' ^3 d' ?
可见，随着步距 h h h的减小，计算精度逐渐增加。
/ P. |7 s9 E- Y0 W+ m& ^) A, F2 P

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matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）